《等差数列前n项和》教案分析.docx

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1、等差数列前n项和教案分析等差数列的前n项和等差数列的前n项和教学目标1.把握等差数列前项和的公式,并能运用公式解决简洁的问题.(1)了解等差数列前项和的定义,了解逆项相加的原理,理解等差数列前项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;(2)用方程思想熟识等差数列前项和的公式,利用公式求;等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母,已知其中三个量求另两个值;(3)会利用等差数列通项公式与前项和的公式探讨的最值.2.通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从非凡到一般,再从一般到非凡的思维规律,初步形成熟识问题,解决问题的一般思路和方法.3.通过公式推导的过程教学,对学生进行思维敏捷性与广袤性

2、的练习,发展学生的思维水平.4.通过公式的推导过程,呈现数学中的对称美;通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的好用性,引导学生要擅长视察生活,从生活中发觉问题,并数学地解决问题.教学建议(1)学问结构本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用,首先通过详细的例子给出了求等差数列前项和的思路,而后导出了一般的公式,并加以应用;再与等差数列通项公式组成方程组,共同运用,解决有关问题.(2)重点、难点分析教学重点是等差数列前项和公式的推导和应用,难点是公式推导的思路.推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路,即从非凡问题的解决中提炼一般方法,再试图运用这一方法解

3、决一般状况,所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要.等差数列前项和公式有两种形式,应依据条件选择适当的形式进行计算;另外反用公式、变用公式、前项和公式与通项公式的综合运用体现了方程(组)思想.高斯算法表现了大数学家的聪慧和巧思,对一般学生来说有很大难度,但大多数学生都听说过这个故事,所以难点在于一般等差数列求和的思路上.(3)教法建议本节内容分为两课时,一节为公式推导及简洁应用,一节侧重于通项公式与前项和公式综合运用.前项和公式的推导,建议由详细问题引入,使学生体会问题源于生活.强调从非凡到一般,再从一般到非凡的思索方法与探讨方法.补充等差数列前项和的最大值、最小值问题.用梯形

4、面积公式记忆等差数列前项和公式.等差数列的前项和公式教学设计示例教学目标1.通过教学使学生理解等差数列的前项和公式的推导过程,并能用公式解决简洁的问题.2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从非凡到一般,再从一般到非凡的思想方法,通过公式的运用体会方程的思想.教学重点,难点教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用,难点是获得推导公式的思路.教学用具实物投影仪,多媒体软件,电脑.教学方法讲授法.教学过程一.新课引入提出问题(播放媒体资料):一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔?(课件设计见课件展示)问题

5、就是(板书)“”这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法特别高超,回忆他是怎样算的.(由一名学生回答,再由学生探讨其高超之处)高斯算法的高超之处在于他发觉这100个数可以分为50组,第一个数与最终一个数一组,其次个数与倒数其次个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算,快速精确得到了结果.我们希望求一般的等差数列的和,高斯算法对我们有何启发?二.讲解新课(板书)等差数列前项和公式1.公式推导(板书)问题(幻灯片):设等差数列的首项为,公差为,由学生探讨,探讨高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一:运用

6、基本量思想,将各项用和表示,得,有以下等式,问题是一共有多少个,好像与的奇偶有关.这个思路好像进行不下去了.思路二:上面的等式其实就是,为回避个数问题,做一个改写,两式左右分别相加,得,于是有:.这就是倒序相加法.思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得,于是.于是得到了两个公式(投影片):和.2.公式记忆用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式,这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前项和的两个公式.3.公式的应用公式中含有四个量,运用方程的思想,知三求一.例1.求和:(1);(2)(结果用表示)解题的关键是数清项数,小结数项数的方法.例2.等差数列中前多少项的和是9900?本题实质

7、是反用公式,解一个关于的一元二次函数,注意得到的项数必需是正整数.三.小结1.推导等差数列前项和公式的思路;2.公式的应用中的数学思想.四.板书设计等差数列的前n项和说课稿 等差数列的前n项和说课稿 一、教材结构与内容简析本节内容选自普遍中学课程标准试验教科书(北师大版)必修5第一章第四节等差数列的前n项和第一课时，是在学生学习了等差数列定义及通项公式的基础上学习和探讨的，是进一步学习其它数列学问的基础。等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着亲密的联系。 二、教学目标 依据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学

8、目标： 认知目标：驾驭等差数列前n项和公式，能较娴熟应用等差数列前n项和公式求和。 实力目标经验公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特别到一般的探讨方法，学会视察、归纳、反思。 情感目标：获得发觉的成就感，逐步养成科学严谨的学习看法，提高代数推理的实力。 三、教学重点、难点 教学重点：等差数列前n项和公式 教学难点：获得等差数列前n项和公式推导的思路 四、教法和学法 教法：采纳探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在老师的启发引导下，以学生独立自主和合作沟通为前提，以“等差数列前n项和公式发觉”为基本探究内容，让学生的思维由问题起先，到猜想的得出，猜想的探究，公式的推导，并逐步得到深化

9、。 学法：指导学生驾驭“视察猜想推导应用”这一思维方法，实行个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学学问应用于对等差数列前n项和公式的探究。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新，逐步培育学生发觉问题、探究问题、解决问题的实力和创建性思维的实力。 五、教学程序 （一）创设情境，布疑激趣 “爱好是最好的老师”，假如一节课有个好的开头，那就意味着胜利了一半。因此，我通过对实际问题的引入，使学生一起先就能对这节课所探讨的问题引起爱好，使其立即进入到探讨者的角色中来，并从这一简洁的例子进入我们今日的课题。 （二）探寻特例，提出猜想 1激发学生思维，从自

10、身熟识的特例高斯问题入手进行探讨，发觉差数列前n项和公式。 2让学生总结得出猜想：差数列前n项和与它的首项，末项，及项数有怎样的关系? （三）找寻途径，证明猜想 1让学生用倒序相加法证明差数列前n项和公式。 2与等差数列通项公式结合得另一个公式。 3运用差数列前n项和公式求解本节课问题。 （四）初步应用，深化相识 用公式也是教学的重点。为了让学生较娴熟驾驭公式，可采纳设计变式题的教学手段，通过“选择公式”，“变用公式”，“知三求二”三个层次来促进学生新的认知结构的形成。 通过三道例题，主要让学生在详细问题中如何选用公式，变用公式及知三求二在数列中的应用，提高学生的计算实力 （五）小结反思，提高

11、相识 通过以上的探讨过程，同学们主要学到了那些学问和方法？你对此有何体会？ 1.等差数列前n项和公式:= 2公式的推证用的是倒序相加法 3在两个求和公式中,各有四个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.(体现了方程思想) 意图：使学生对本节课所学学问的结构有一个清楚的相识，能抓住重点进行课后复习 （六）当堂检测 旨在了解学生对本节课学问的驾驭状况，驾驭学情，为了以后更好的进行教学。 （七）作业布置， 必做题是让学生巩固所学的学问，娴熟公式的应用。依据学生的特点，为了促进数学成果优秀学生的发展，培育他们分析问题解决问题的实力，我们设计了选做题，达到分层教学的目的 六、设计理

12、念把“数学发觉的权力”还给学生 长期以来，我们的课堂教学太过于重视结论，轻视过程.为了应付考试，为了使对公式定理应用达到所谓的“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采纳题海战术来进行强化.在数学概念公式的教学中往往采纳的所谓“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用公式的解题机器，这样的学生面对新问题就手足无措. 数学是思维的体操，是培育学生分析问题、解决问题的实力及创建实力的载体.新课程提倡：强调过程，强调学生探究新学问的经验和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必需让学生追求过程的体验. 基于以上相识，在设计本节课时，老师所考虑的不是简洁地告知学生差数列前n项和公式的内

13、容，而是创设一些数学情境，让学生自己去发觉，从发觉公式的过程中让学生体会到：公式并不是凭空产生的，发觉公式并不都是高不行攀的事情，通过我的努力，也可以做一些看似数学家才能完成的事.在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大地激发了学生的学习爱好，也提高了他们提出问题、解决问题的实力，培育了他们的创新实力，这正是新课程所提倡的教学理念. 等差数列的前n项和教案 教学设计22.2等差数列的前n项和整体设计教学分析本节等差数列求和共分2课时，第1课时是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生驾驭等差数列求和公式，并能利用它解决数列求和的有关问题等差数列求和公式的推导，是由计算工厂堆放

14、的钢管数这一实例引入的，采纳了倒序相加法，思路的获得得益于等差数列随意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的相识和发觉，通过对等差数列求和公式的推导，使学生能驾驭“倒序相加”这一重要数学方法第2课时的主要内容是让学生进一步娴熟驾驭等差数列的通项公式和前n项和公式，进一步了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题通过本节课的教学使学生对等差数列的前n项和公式的相识更为深刻，并进一步感受数列与函数、数列与不等式等方面的联系，促进学生对本节内容认知结构的形成通过探究一些特别数列求和问题的思路和方法，体会数学思想方法的运用在本节教学中，应让学生融入问题情境中，经验学问的形成和发

15、展，通过视察、活动、探究、沟通、反思，来相识和理解等差数列的求和内容在学法上，引导学生去联想、探究，同时激励学生大胆猜想，学会探究在教法上，遵循学生的认知规律，充分调动学生的主动性，让学生经验学问的形成和发展过程，激发他们的学习爱好，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位通过等差数列概念的归纳概括，培育学生的视察、分析问题的实力和主动思维、追求新奇的创新意识三维目标1通过经验等差数列求和公式的发觉、探究过程，驾驭等差数列前n项和公式的推导及应用，会利用等差数列通项公式与前n项和的公式探讨Sn的最值2学会常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展通过例题及其变式例题的训练

16、，进一步娴熟驾驭等差数列的通项公式和前n项和公式3通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学来源于生活，又服务于生活的好用性，引导学生要擅长视察生活，从生活中发觉问题，并用数学学问解决问题重点难点教学重点：驾驭等差数列的前n项和公式；会用等差数列的前n项和公式解决一些简洁的问题，能用多种方法解决数列求和问题教学难点：对等差数列求和公式的深刻理解及其敏捷应用课时支配2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(情境导入)我们在日常生活中经常遇到这样的事情：(可利用多媒体课件或幻灯片)有一堆钢管放置如图1，请你帮助管理人员算一算一共有钢管多少根？求图2共有多少朵花？当然一根根地数钢管或一朵朵地

17、数小花能算出来，但有没有更好的方法呢？若让你求出第100层的钢管数或让你求出第100个圆圈上的小花数，那么你怎样求呢？这事实上就是等差数列的求和问题，由此绽开新课图1图2 思路2.(事例导入)关于“加薪的学问”有一报道如下：在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案，一是每年年末加1000元；二是每半年结束时加300元请选一种，一般不擅长数学的，很简单选择前者因为一年加1000元总比两个半年共加600元要多其实，由于加工资是累计的，时间稍长，往往其次种方案更有利例如，在其次年的年末，依第一种方案可以加得100020003000(元)；而其次种方案在第一年加得(300600)元，其

18、次年加得90012002100(元)，总数也是3000元但到第三年，第一种方案可得1000200030006000(元)，其次种方案则为3006009001200150018006300(元)，比第一种方案多了300元第四年、第五年会更多因此，你若在该公司干三年以上，则应选择其次种方案以上材料的正确解答恰是我们要探讨的数列求和问题，由此导入新课推动新课新知探究提出问题(1)老师出示幻灯投影1.印度泰姬陵(TajMahal)是世界七大建筑奇迹之一，所在地是阿格拉市泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征陵寝以宝石镶饰，图案之细

19、致令人叫绝传闻当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(该问题给予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段) (2)老师出示幻灯投影2.高斯是宏大的数学家、天文学家高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：12100？”过了两分钟，正值大家在：123；336；4610；算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1231005050.”你知道高斯是如何算出答案的吗？(3)依据问题(1)(2)你能探究出等差数列的求和公式吗？(4)等差数列的前

20、n项和公式有什么结构特征？(5)怎样运用这两个公式解决数列求和问题？活动：老师引导学生探究以上两个闻名的历史问题，一方面展示了历史文化奇迹，如问题(1)，另一方面切身感受一下历史名人的成长踪迹，激发学生的探究爱好高斯是18世纪德国闻名的数学家，被称为历史上最宏大的三位数学家之一，他与阿基米德、牛顿齐名，是数学史上一颗光线四射的巨星.10岁的小高斯能快速写出12399100(1100)(299)(398)(5051)101505050，将加法问题转化为乘法运算，快速精确地得到了结果，的确思维非凡可见作为数学王子的高斯从小就擅长视察，敢于思索，因此能从一些简洁的事物中发觉和找寻出某些规律性的东西今

21、日我们重温这段历史，是想让学生从中感悟学习的真谛，站在巨人的肩膀上去学习，事实上，高斯用的是首尾配对相加的方法也就是：11002993985051101，有50个101，所以123100501015050.高斯算法的高超之处在于他发觉这100个数可以分为50组，第一个数与最终一个数一组，其次个数与倒数其次个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，每组数的和均相等，都等于101,50个101就等于5050了高斯的这种算法，就是等差数列求和的方法，也就是我们将要探究的等差数列的前n项和问题现在，我们再来探究前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案，在图中我们取下第1层到第21层，得到下图，则下图中第1

22、层到第21层一共有多少颗宝石呢？这是求“12321”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了要是偶数项的数求和就好首尾配成对了高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的状况求和，适用于偶数个项，我们是否有简洁的方法来解决这个问题呢？我们发觉用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形平行四边形中的每行宝石的个数均为22个，共21行则三角形中的宝石个数就是121212.这种方法不需分奇、偶个项的状况就可以求和，很有创意，用数学式子表示就是：12321，2120191，这就是我们数学中一种求和的重要方法“倒序相加法”探究了以上两个实际问题的求和，学生对数学求和问题有了肯定的相识，比较

23、以上两种探究过程学生自然会思索能否把“倒序相加法”推广到随意一个等差数列呢？这种类比的联想就是思维才智的出现为了降低难度，老师可先与学生一起探究123n的问题，得到如下算式：123n1nnn1n221(n1)(n1)(n1)(n1)(n1)可知123nn1n2.再进一步探究，等差数列an的前n项和的问题，让学生明白Sn就表示an的前n项和，即Sna1a2a3an，依据倒序相加法可得如下算式：Sna1a2a3an，Snanan1an2a1，2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)(ana1).依据上节课等差数列的性质有a1ana2an1a3an2ana1.所以，2Snn(a1an)由此可得

24、等差数列an的前n项和公式：Snna1an2这就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半将等差数列的通项公式ana1(n1)d代入上式，可得等差数列an前n项和的另一公式：Snna1nn12d以上两种推导过程都很精彩，一是用的“倒序相加法”，二是用的基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n项求和的两种不同的公式这两种求和公式都很重要，都称为等差数列的前n项和公式从以上探究我们可以看出这两个公式是可以转化的，从结构特征看，前一个公式反映了等差数列随意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质；后一个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间

25、的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较两个公式从不同角度反映了数列的性质两个公式的共同点是须要知道a1和n，不同点是前者还需知an，后者还须要知道d.从方程角度看两公式共涉及5个元素：a1，d，n，an，Sn，老师要点拨学生留意这5个元素，其中a1，d称为基本元素因为等差数列的首项a1，公差d已知，则此数列完全确定，因此等差数列中不少问题都可转化为求基本元素a1和d的问题，这往往要依据已知条件列出关于a1，d的方程组，再解这个方程组求出a1，d.探讨结果：(1)(3)略(4)前一个公式的结构特征是可与梯形面积公式(上底下底)高2相类比，上底就是等差数列的首项a1，下底是第n

26、项an，高是项数n；后一个公式是二次函数的形式(5)运用这两个公式解题时要让学生明确解方程或方程组的思路应用示例例1计算：(1)123n；(2)135(2n1)；(3)2462n；(4)123456(2n1)2n.活动：对于刚学完公式的学生来讲，干脆解答课本上的例1跨度太大因此先补充了这样一个干脆运用公式的题目目的是让学生快速熟识公式，用基本量观点相识公式，教学时可让学生自己去解答完成，只是对(4)需做必要的点拨：本小题数列共有几项？是否为等差数列？能否干脆运用Sn公式求解？若不能，应如何解答？引导学生视察，本小题中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原

27、式135(2n1)(2462n)n2n(n1)n.有的学生可能视察得很快，本小题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为1，故可得另一解法：原式(1)(1)(1)(1)n.解：(1)123nnn12；(2)135(2n1)n12n12n2；(3)2462nn2n22n(n1)；(4)原式n.点评：本例前3小题干脆利用等差数列求和公式，对于(4)小题给我们以启示：在解题时我们应细致视察，找寻规律，往往会找寻到好的方法留意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解变式训练已知等差数列an满意a2a44，a3a510，则它的前10项的和S10等于()A138B135C95D23答案：

28、C解析：由a2a44，a3a510，可解得d3，a14，a10a19d23，S10a1a1021095. 例2(教材本节例2)活动：通过本例介绍由求和公式求通项公式的方法，分析求和公式与二次函数的联系并结合边注引导学生探究数列中项的性质问题教学中应引起高度重视，可让学生自己探究，老师赐予适当点拨点评：求使Sn最小的序号n值的方法许多，可激励学生课后进一步探究例3已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？活动：老师与学生一起探究，本例的已知条件是在等差数列an中，S10310，S201220.由前面我们所学知道，将已知条件代入等差数列前n项

29、和的公式后，可得两个关于a1与d的关系式，它们都是关于a1与d的二元一次方程，解这个二元一次方程组可求得a1与d，a1与d确定了，那么就可求出这个等差数列的前n项和公式解：方法一：由题意可知S10310，S201220，将它们代入公式Snna1nn12d，得到10a145d310，20a1190d1220.解这个关于a1与d的方程组，得到a14，d6，所以Sn4nnn1263n2n.方法二：由S10a1a10210310，得a1a1062，S20a1a202201220.所以a1a20122.，得10d60，所以d6.代入，得a14，所以有Sna1nnn12d3n2n.点评：本例的给出方式是设

30、问“由这些条件能确定这个等差数列的前n项和吗”，而不是“求这个数列的前n项和”这就更深了一层，让学生领悟到a1与d一旦确定，那么这个等差数列就确定了，同时通过本例也让学生领悟等差数列中a1与d是所给5个量中的基本量.5个量中已知3个量则可求其他量，只需通过构造方程或方程组，运用方程思想即可解决问题教学时老师要充分利用本题的训练价值，使学生娴熟地驾驭这一基本题型解完后老师要再引领学生反思总结变式训练设Sn为等差数列an的前n项和，S414，S10S730，求S9.解：由S414，S10S730，4a16d14，10a145d7a121d30，即2a13d7，a18d10.解得a12，d1，S99

31、a136d54. 例4已知数列an的前n项和为Snn212n，求这个数列的通项公式这个数列是等差数列吗？假如是，它的首项与公差分别是什么？活动：这是一道合作探究题教学时给出肯定的时间让学生对本题进行思索探究本题给出了一个数列的前n项和的式子，来推断它是否是等差数列解题的动身点是从所给的和的公式去求出通项那么通项与前n项和的公式有何种关系呢？由Sn的定义可知，当n1时，S1a1；当n2时，anSnSn1，即anS1，n1，SnSn1，n2.这种由已知数列的Sn来确定数列通项的方法对随意数列都是可行的本题即用这种方法求出的通项an2n12，我们从中知道它是等差数列，这时当n1也是满意的，但是不是全

32、部已知Sn求an的问题都能使n1时，anSnSn1满意呢？请同学们来探究一下解：依据Sna1a2an1an与Sn1a1a2an1(n1)，可知当n1时，anSnSn1n212n(n1)212(n1)2n12，当n1时，a1S11212132.也满意式，所以数列an的通项公式为an2n12.由此可知，数列an是一个首项为32，公差为2的等差数列点评：假如一个数列的前n项和公式是常数项为0，且是关于n的二次型函数，则这个数列肯定是等差数列，从而使我们能从数列的前n项和公式的结构特征上来相识等差数列实质上等差数列的两个求和公式中皆无常数项通过本例，老师应提示学生留意：这事实上给出了已知数列前n项和求

33、其通项公式的一个方法，即已知数列an的前n项和Sn，则ana1，n1，SnSn1，n2.这种已知数列Sn来确定an的方法对于任何数列都是可行的，但要强调a1不肯定满意由SnSn1an求出的通项表达式因此最终要验证首项a1是否满意已求出的an.这点要引起学生足够的留意变式训练已知数列an的前n项和Sn32n22052n，求数列an的通项公式解：由条件，知当n1时，a1S1321220521101.当n2时，anSnSn1(32n22052n)32(n1)22052(n1)3n104.把n1代入上式也适合数列通项公式为an3n104(nN*) 知能训练1等差数列an中，(1)已知a15，an95，

34、n10，求Sn；(2)已知a1100，d2，n50，求Sn.2已知an是一个等差数列，且a21，a55.(1)求an的通项an；(2)求an前n项和Sn的最大值答案：1解：由等差数列求和公式，干脆求得：(1)Sn500；(2)Sn2550.2解：(1)设an的公差为d，由已知条件，a1d1，a14d5，解出a13，d2，所以ana1(n1)d2n5.(2)Snna1nn12dn24n4(n2)2，所以n2时，Sn取到最大值4.课堂小结1本节的小结由学生来完成，首先回顾总结本节都学习了哪些内容？(两个重要的等差数列求和公式)通过等差数列的前n项和公式的推导，你都从中学到了哪些数学思想方法？(数列

35、倒序相加法)对你今后的学习有什么启发指导？2你是怎样从方程的角度来理解等差数列求和公式的？又是怎样从等差数列的性质来理解等差数列的求和公式的？上节学习的等差数列的通项与本节学习的等差数列的求和公式有什么联系？本节的重要题型是什么？作业课本习题22A组8、9.设计感想本教案设计力求突出实际背景的教学，以大量的日常生活实例及古今中外的数列故事来铺垫学生学习等差数列的本质内涵除了本教案设计的几个实例，教学时还可依据实际状况再补加一些实例背景本教案设计突出了发散思维的训练通过一题多解，多题一解的训练，比较优劣，换个角度视察问题，这是数学发散思维的基本素养说究竟，学数学，其实是要使人聪慧，使人的思维更加

36、缜密本节的思索与探究没有涉及，设计的意图是留给学有余力的学生课后选做鉴于习题22B组中3,4,5,6都有肯定的难度，因此也设计为选做(设计者：周长峰) 第2课时导入新课思路1.上一节课我们一起探究推导了等差数列的求和公式，得到了求和公式的两种形式我们知道以前在公式的学习过程中，不仅要会对公式正用、逆用及变形用，还要从运动、改变的观点来相识公式，从函数及数列结合的角度透彻理解公式这里公式Snna1nn12d表明Sn是关于n的二次函数，且常数项为0，那么你能看出点列(n，Sn)均在同一条抛物线上吗？这样的抛物线有什么特点？由此绽开新课思路2.上一节课我们从几个日常生活中的实例探究了等差数列的很重要

37、的公式，我们也知道等差数列有着非常丰富的好玩性质，那么依据等差数列的特点，你能探究出等差数列的哪些重要结论呢？比如单调性、奇偶性、最大值等老师引导学生由此导入新课推动新课新知探究提出问题1回忆上节课等差数列前n项和公式的推导方法，并写出等差数列前n项和的两个公式.2等差数列求和公式中共有几个量？基本量是什么？3等差数列前n项和公式与二次函数有着怎样的关系？4你能探究出哪些与和有关的等差数列的性质？5怎样利用所学学问敏捷地处理求和问题？活动：老师与学生一起回忆上节课我们用倒序相加法探究的等差数列的两个求和公式：Snna1an2，Snna1nn12d.在公式涉及的5个量a1，d，n，an，Sn中，

38、知三可求其二其中a1，d是最基本的两个量我们称为基本元素，在等差数列的不少问题中，我们往往都转化为这两个量来求当然假如熟识并驾驭一些常用结论及性质，往往能找到简洁明快、轻快美丽的敏捷解题技巧，提高我们的解题速度下面我们探究等差数列求和的一些性质问题从等差数列的两个求和公式中我们可以看出，公式里不含常数项老师引导学生进一步探究，假如a1，d是确定的，那么Snna1nn12dd2n2(a1d2)n.可以看出当d0时，Sn是关于n的二次式从图象角度看(n，Sn)在二次函数yAx2Bx(A0)的图象上所以当d0时，数列S1，S2，S3，Sn的图象是抛物线yAx2Bx图象上的一群孤立点，这样我们就可以借

39、助于二次函数的有关性质(如单调性、最值等)来处理等差数列前n项和Sn的有关问题若d0，则Snna1.因此我们可以得出这样的结论：数列an为等差数列的充要条件是：数列an的前n项和可以写成Snan2bn的形式(其中a、b为常数)且公差为2a.结合二次函数图象与性质我们还可得到：当a10，d0时，由am0am10Sm为最大值；当a10，d0时，由am0am10Sm为最小值通过详细例子验证、猜想并推广到一般，我们还可得到：设等差数列an的前n项和为A，紧接着n项的和为B，再紧接着n项的和为C，则A，B，C，也成等差数列通过以上这些探究，我们在处理等差数列有关和的问题时可有更多的选择余地，而且有些解法

40、更加简洁、快捷，提高了我们解题的质量和效果如下例：已知等差数列an中，a2a519，S540，求a10，则可这样解：S55a340，a38，a2a5a3da32d2a3d16d19，得d3.a10a37d29.此解法比常规解法优越得多，这类解题技巧在等差数列中比比皆是，让学生在解题探究中细心领悟探讨结果：(1)(4)(5)略(2)等差数列求和公式中共有5个量，其中a1，d是基本量(3)等差数列求和公式可看作n的二次函数式，上节课的例题中初步涉及了这一思想，本节将作进一步的探究应用示例例1已知等差数列5,427，347，的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值活动：本例目的是让学生在上节初步

41、理解的基础上，对等差数列求和公式的二次函数特征做进一步的螺旋提升我们知道，等差数列an的前n项和公式可以写成Snd2n2(a1d2)n，所以Sn可以看成函数yd2x2(a1d2)x(xN*)当xn时的函数值另一方面，简单知道Sn关于n的图象是一条抛物线上的一些点，因此我们可以利用二次函数来求n的值解：由题意知，等差数列5,427，337，的公差为57，所以Snn225(n1)(57)75n5n214514(n152)2112556.于是，当n取与152最接近的整数7或8时，Sn取得最大值点评：我们能否换一个角度再来思索这个问题呢？由已知，它的首项为5，公差为57.因为它的首项为正数，公差小于零

42、，因而这个数列是个单调递减数列，当该数列的项出现负数时，则它的前n项的和肯定会起先减小，在这样的状况下先求出它的通项，求得结果是ana1(n1)d57n407.令an57n4070，得到了n8，这样就可以知道a80，而a90.从而便可以发觉S7S8，从第9项和Sn起先减小，由于a80对数列的和不产生影响，所以就可以说这个等差数列的前7项或8项的和最大这就是上节课留给学生课后探究的问题老师与学生一起归纳一下这种解法的规律：当等差数列an的首项大于零，公差小于零时，它的前n项的和Sn有最大值，可通过an0，an10求得n的值当等差数列an的首项不大于零，公差大于零时，它的前n项的和Sn有最小值，可

43、以通过an0，an10求得n的值有了这种方法再结合前面的函数性质的方法，我们求等差数列的前n项的和的最值问题就可从通项与求和两个角度入手解决：(1)利用an取值的正负状况来探讨数列的和的改变状况；(2)利用Sn：由Snd2n2(a1d2)n利用二次函数求得Sn取最值时n的值变式训练已知an1024lg21n(lg20.3010)，nN*.问前多少项之和最大？前多少项之和的肯定值最小？(让一位学生上黑板去板演)解：(1)an10241nlg20an11024nlg20?1024lg2n1024lg21?3401n3403.所以n3402.(2)Sn1024nnn12(lg2)，当Sn0或Sn趋近

44、于0时其肯定值最小，令Sn0，即1024nn12(lg2)0，得n2048lg216804.99.因为nN*，所以有n6805. 例2等差数列an中，a10，S9S12，求该数列前多少项的和最小？活动：写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路教学时，老师充分让学生合作探讨此题，从不同角度来探究此题的解法，老师只是赐予必要的点拨解法一：设等差数列an的公差为d，则由题意，得9a1129(91)d12a11212(121)d，即3a130d，d110a1.又a10，d0.Snna112n(n1)d12dn2212dnd2(n212)22128d.d0，Sn有最小值又nN*，当n10或

45、n11时，Sn取最小值解法二：由ana1n1d0，an1a1nd0，即1110n10，1110n0，解得10n11.取n10或n11时，Sn取最小值解法三：S9S12，即a1a2a9a1a2a12，a10a11a120，即3a110.又a10，前10项或前11项的和最小点评：解完本题后老师引领学生对以上三种解法进行反思总结本题的三种解法从三个不同的视角说明白等差数列前n项和的最值问题，方法迥异，殊途同归，由此看出等价转化思想在简化运算中的作用，其中第一种解法运算量偏大，不简单进行究竟，即便做对了，所花时间也较多，要让学生深刻领悟这一点事实上，本题还能探究出另一种解法图象法S9S12，Sn的图象所在的抛物线的对称轴为x912210.5，又a10，数列an的前10项或前11项和最小例3(教材本节例3)活动：本例是教材等差数列部分的最终一个例题，目的是让学生通过学到的等差数列学问，解决实际问题教学时，老师引导学生分析题中的数量关系，视察教化储蓄的规律通过分析知李先生的每个100元的利息依次可组成等差数列，然后得出算式求解点评：解决本例的关键是建立等差数列的数学模型例4已知等差数列an中，公差d0，其前n项和为Sn，且满意：a2a345，a1a414.(1