七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版.docx

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1、七年级数学下册因式分解知识点归纳湘教版七年级下册因式分解小结与复习学案湘教版 七年级下册因式分解小结与复习学案湘教版 因式分解一、因式分解的概念例1下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的为()A.a(x+y)=ax+ayB.x2-4x+4=x(x-4)+4C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+6x=（x+4）（x-4）分析：要充分理解因式分解的概念和详细要求.选项A属于整式乘法；B只是分解了局部，没有整体化成整式的积的形式；而D左右两边不相等，不属于恒等变形，因而也不属于分解因式.解：选C.二、因式分解的方法例2因式分解：2(a-3)2-a+3=.分析：留意到-a+3提出负号

2、后可变成（a-3），所以考虑将负号提出，添括号后提取公因式（a-3）.解：2(a-3)2-a+3=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)(2a-6-1)=(a-3)(2a-7).留意：留意本题在提取公因式(a-3)后要将剩余部分合并.例3因式分解：4m2+9(m+n)2+12m(m+n).分析：可将(m+n)看做一个整体，利用完全平方公式分解.解：4m2+9(m+n)2+12m(m+n)=(2m)2+22m3(m+n)+3(m+n)2=2m+3(m+n)2=(5m+3n)2.留意：当所要分解的多项式符合公式的“项数”时，留意敏捷进行整体运用.例4因式分解：a2(2x-3)+9(3-2x).分析

3、：先提取(2x-3)，然后用平方差公式分解，留意后一项的符号改变.解：a2(2x-3)+9(3-2x)=(2x-3)(a2-9)=(2x-3)(a+3)(a-3).三、因式分解相关的计算例5已知x=a+b，y=a-b，用简便方法计算代数式(x2+y2)2-(x2-y2)2的值.分析：将代数式(x2+y2)2-(x2-y2)2用平方差公式分解后，每个括号内合并，然后视察与x，y的关系，再将x=a+b，y=a-b代入求解.解：(x2+y2)2-(x2-y2)2=(x2+y2+x2-y2)(x2+y2-x2+y2)=2x22y2=4x2y2=4(xy)2=4(a+b)(a-b)2=4a4-8a2b2

4、+4b4.例6计算.分析：若干脆计算，则分母中的计算量很大，考虑括号内的部分能否用完全平方公式分解.解：=.四、因式分解相关的说明例7已知a2+b2=1，x2+y2=1.试说明：(ax+by)2+(bx-ay)2=1.分析：将所证式子的左边整理成用a2+b2和x2+y2表示，故考虑将左边因式分解.(ax+by)2+(bx-ay)2=a2x2+2abxy+b2y2+b2x2-2abxy+a2y2=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2=(a2+b2)x2+(a2+b2)y2=(a2+b2)(x2+y2).因为a2+b2=1，x2+y2=1，所以(ax+by)2+(bx-ay)2=1.留意：此题采

5、纳“欲进先退”的策略，即要进行分解因式，先进行整式的乘法，待到式子化简后，再分解因式进行说明.五、因式分解的实际应用例8已知大正方形的周长和小正方形的周长相差88cm，它们的面积相差836cm2，求这两个正方形的边长.分析：设大正方形的边长为xcm，小正方形的边长为ycm，则依据它们的周长相差88cm，可得4(x-y)=88.又因为它们的面积相差836cm2，所以x2-y2=836，依据这两个方程可求出x，y的值，但是两个方程的数值较大，计算困难，因此可以考虑将x2-y2=836用因式分解法变形，求解.解：设大正方形的边长为xcm，小正方形的边长为ycm，依据题意得方程组等价于将代入，得x+y

6、=38.和组成方程组得解得x=30，y=8.所以大正方形的边长是30cm，小正方形的边长是8cm.误区点拨误区一因式对分解的概念理解不透彻例1下列从左到右的变形是分解因式的是()A.B.C.D.=错解：选B、C、D.错因分析：B中只是将部分写成积的形式，不符合因式分解的概念，C中是整式的乘法，和因式分解正好互为逆运算；D中的a-1实质上是，不是整式，而分解因式是要求把多项式写成整式的积的形式，所以不正确.正解：选A.误区二多项式分解不彻底例2因式分解a4-2a2+1.错解：a4-2a2+1=(a2)2-2a2+1=(a2-1)2.错因分析：括号内的a2-1还可以利用平方差分解，然后利用积的平方

7、写成(a+1)2(a-1)2.正解：a4-2a2+1=(a2)2-2a2+1=(a2-1)2=(a+1)2(a-1)2.误区三利用公式出现偏差例3因式分解(x+y)2-4xy.错解：(x+y)2-4xy=（x+y+2xy）(x+y-2xy).错因分析：4xy不是一个整式的平方的形式，不能干脆利用平方差公式分解.正解：(x+y)2-4xy=x2+y2+2xy-4xy=x2+y2-2xy=(x-y)2.误区四提公因式漏项例4分解因式3a2bc3-12abc2+3abc.错解：3a2bc3-12abc2+3abc=3abc(ac2-4c).错因分析：最终一项提取公因式3abc后，还剩余1单独成一项.

8、正解：3a2bc3-12abc2+3abc=3abc(ac2-4c+1).教学反思： 因式分解-提公因式法学问点归纳 因式分解-提公因式法学问点归纳 学问体系梳理因式分解-把一个多项式变成几个整式的积的形式；（化和为积）留意：1、因式分解对象是多项式；2、因式分解必需进行到每一个多项式因式不能再分解为止；3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性；分解因式的作用分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。分解因式的一些原则（1）提公因式优先的原则即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取

9、公因式。（2）分解彻底的原则即分解因式必需进行到每一个多项式因式都再不能分解为止。（3）首项为负的添括号原则即假如多项式的首项系数为负，应先添上带“”号的括号，并遵循添括号法则。因式分解的首要方法提公因式法1、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。2、提公因式法：假如一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法安排律，把各项共有的因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。3、运用提取公因式法应留意几点：（1）提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。（2）公因式必需是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提

10、到括号外面去，才算完成了提取公因式。（找最高公因式）（3）对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。提公因式法分解因式的关键：1、确定最高公因式；（各项系数的最大公约数与相同因式的最低次幂之积）2、提出公因式后另一因式的确定；（用原多项式的每一项分别除以公因式）典型例题、方法导航考点一：因式分解的意义【例1】推断下列变形哪些是因式分解？（1）-（）（2）-（）（3）-（）（4）-（）（5）-（）【例2】依据整式乘法与因式分解的关系连线 【例3】已知关于的多项式分解因式为，求的值。 变式议练一1、下列从左边到右边的

11、变形，是因式分解的是（）A、B、C、D、2、辨析下列因式分解是否正确，若错误请改正。（1）分解因式不彻底：（2）提出公因式后漏项：考点二：提公因式法【例4】分解因式：（1）（2）（3） （4）（5） 变式议练二：1、多项式与多项式的公因式是；2、若多项式的一个因式是，那么另一个因式是（）、3、若是的因式，则p为（）A、15B、2C、8D、24、把下列各式分解因式：（1）（2） （3）（4） 考点三：提公因式法的应用【例5】计算：（1）（2） 变式议练三：1、已知，则；2、计算：；3、已知，求的值。 考点四：实力拓展【例6】已知，求的值； 【例7】已知：，求代数式的值。 【例8】已知整数、使等式

12、对随意的均成立，求的值；（山东省竞赛题) 变式议练四：1、多项式可以分解为两个整式的积，其中一个整式为，求另一个整式； 2、分解因式： 3、（IT杯赛）化简：. 欢乐体验将一个乒乓球的半径增加，其周长增加，将地球的半径增加，其周长增加，比较与的大小； 七年级数学下册旋转学问点归纳湘教版 七年级数学下册旋转学问点归纳湘教版第五章旋转 一.学问框架 二学问概念 1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。（图形的旋转是图形上的每一点在平面上围着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，

13、对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形态没有变更。）2.旋转对称中心：把一个图形围着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0，大于360）。3中心对称图形与中心对称： 中心对称图形：假如把一个图形围着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。 中心对称：假如把一个图形围着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。 4.中心对称的性质： 关于中心对称的两个图形是全等形。 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称

14、中心平分。 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同始终线上）且相等。 一、细心选一选(每小题3分，共30分) 1下面的图形中，是中心对称图形的是（） C 2平面直角坐标系内一点P（2,3）关于原点对称的点的坐标是（） A（3，2）B(2,3）C（2，3）D(2，3）33张扑克牌如图1所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180后得到如图（2）所示，则她所旋转的牌从左数起是（） A第一张B其次张C第三张D第四张4在下图右侧的四个三角形中，不能由ABC经过旋转或平移得到的是（） AABCD 5如图3的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（） A向右平移7格 B 以AB的垂直平分线为对称轴作轴对

15、称，再以AB为对称轴作轴对称0 C绕AB的中点旋转180，再以AB为对称轴作轴对称D以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格 6从数学上对称的角度看，下面几组大写英文字母中，不同于另外三组的一组是（） AANEGBKBXNCXIHODZDWH 7如图4，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边和等边CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相的三角形对数有()A1对B2对C3对D4对 8下列这些困难的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（ ） A30B45C60D9

16、0 9如图5所示，图中的一个矩形是另一个矩形顺方向旋转90后形成的个数是（）Al个B2个 ABC互得到 时针 C3个D4个 10如图6，ABC和ADE都是等腰直角三角形，C和ADE都是直角，点C在AE上，ABC围着A点经过逆时针旋转后能够与ADE重合得到图7，再将图23A4作为“基本图形”绕 着A点经过逆时针连续旋转得到图7.两次旋转的角度分别为（） 图6 A45，90B90，45C60，30D30，60 二、耐性填一填（每小题3分，共24分）11关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过，而且被_平分. 12在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五种图形中，既是轴对称图形，又是中心对

17、称图形的是_ 图 7 13时钟上的时针不停地旋转，从上午8时到上午11时，时针旋转的旋转角是_ 14如图8，ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转60，得ABC，则ABB是三角形.15已知0，则点（2，3）关于原点的对称点1在第象限 16如图9，COD是AOB绕点O顺时针方向旋转40后所得的图形，点C恰好在AB上，AOD90，则D的度数是 17如图10，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积是. 18如图,四边形ABCD中，BAD=C=90，AB=AD，AEBC于E，若线段AE=5，则S四边形ABCD 。 A D BE 三、细心解一解（共46分

18、） 19（6分）如图12，四边形ABCD的BAD=C=90,AB=AD,AEBC于E,BEA旋转后能与DFA重合。 (1）旋转中心是哪一点?(2）旋转了多少度? (3）假如点A是旋转中心，那么点B经过旋转后，点B旋转到什么位置？ 20（4分）如图13，请画出ABC关于点O点为对称中心的对称图形 21（6分）如图14，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(4，1) 把ABC向上平移5个单位后得到对应的A1B1C1，画出A1B1C1，并写出C1的坐标；以原点O为对称中心，再画出与A1B1C1关于原点O对称的A2B2C2，并写

19、出点C2的坐标 18（4分）如图15，方格中有一条漂亮可爱的小金鱼(1）若方格的边长为1，则小鱼的面积为 (2）画出小鱼向左平移3格后的图形（不要求写作图步骤和过程）22（6分）如图16,E、F分别是正方形ABCD的边CD、DA上一点，且CEAFEF，请你用旋转的方法求EBF的大小 2319（8 ABC和DEF将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点OAA CA EF BB(E)B(E)D 图图图 （1）当DEF旋转至如图位置，点B(E)，C，D在同始终线上时，AFD与DCA的数量关系 是2分（2）当DEF接着旋转至如图位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由（3）在图中，连接BO，AD，探究BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明 第12页 共12页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页