三角函数模型的简单应用案例探究.docx

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1、三角函数模型的简单应用案例探究1.6三角函数模型的简洁应用-潮汐问题 1.6三角函数模型的简洁应用-潮汐问题 教学目标： 1、能正确分析收集到的数据，选择恰当的函数模型刻画数据所蕴含的规律，能依据问题的实际意义，利用模型说明有关实际问题，为决策供应依据。 2、巩固三角函数的有关学问，会初步利用图象解三角不等式，巩固二分法求相应方程近似解。 3、培育学生数学应用意识；提高学生利用信息技术处理一些实际计算的实力。 教学重点： 用三角函数模型刻画潮汐改变规律，用函数思想解决具有周期改变的实际问题 教学难点： 对问题实际意义的数学说明，从实际问题中抽象出三角函数模型。 教学媒体：几何画板 教学流程：

2、给出出港口水深数据，提出问题 依据散点图形特征，选择适当的函数拟合 求解函数模型 利用函数模型解决实际问题 反思解题过程，总结解题方法，提炼数学思想 教学过程： 1情景展示，新课导入 2问题提出，探究解决 【师】若干年后，假如在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于那个港口的一些什么状况？ 【生】水深状况。 【师】是的，我们要到一个生疏的港口时，是特别想得到有关那个港口的水深与时间的对应关系。 请同学们看下面这个问题。 问题探究1：如图所示，下面是钱塘江某个码头在今年春季每天的时间与水深的关系表： 时间 0.00 3.00 6.00 9.00 12.0

3、0 15.00 18.00 21.00 24.00 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0请同学们细致视察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？ 小组合作发觉，代表发言。可能结果： 1）水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米。 2）水的深度起先由5.0米增加到7.5米，后渐渐削减始终削减到2.5，又起先渐渐变深，增加到7.5米后，又起先削减。 3）水深改变并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性改变规律。 4）学生活动：作图更加直观明白这种周期性改变规律。（探讨数据的两种形式） 平安水深，即： ， 探讨求解方法：用代数的方法？几何的角度？（电脑作图并呈现）

4、 通过图象可以看出，当快要到P时刻的时候，货船就要停止卸货，驶向深水区。那么P点的坐标如何求得呢？（学生思索，探讨，沟通）求P点横坐标即解方程 数形结合，二分法求近似解： 由图得点P点横坐标在6，7，故我们只须要算出6，6.5，7三个时刻的平安水深与实际水深的数值表就可以回答上面的问题。 时间 实际水深 平安水深 是否平安 60 5米 43米 平安 65 42米 41米 较平安 70 38米 40米 危急货船应当在6时30分左右驶离港口。（可能有的同学有些异议，可以探讨） 从这这个问题可以看出，假如有时候时间限制不当，货船在卸货的过程中，就会出现货还没有卸完，不得已要短暂驶离港口，进入深水区，

5、等水位上涨后在驶回来。这样对公司来说就会造成才力、物力上的巨大奢侈？那该怎么来做呢？（学生探讨） 可以加快卸货速度，也就是加快平安深度下降速度。 问题探究4：若船的吃水深度为4米，平安间隙为1.5米，该船在2：00起先卸货，货物卸空后吃水深度为2米，为了保证进入码头后一次性卸空货物，又能平安驶离码头，那么每小时吃水深度至少要以多少速度削减？-探究3的变式（学生课后探究） 3课时小结，相识深化 （师生一起归纳） 3-1回顾整个探究过程，经验了第一阶段：收集数据-画散点图 其次阶段：依据图象特征-选模、求模、验模 第三阶段：函数模型应用 3-2在整个探究过程，我们用到数学常见的一些思想方法： （1

6、）对实际问题处理过程是，首先是挖掘其中的数学本质，将实际问题转化为数学问题；体现了数学中的转化思想； （2）在对一些数据处理的过程用到了估算的思想； （3）在用代数方法处理困难的一些题目的解决中，用到了数形结合的思想； （4）在方程的求解过程中，用到了算法中“二分法”思想。 4老师演示激发学生思索并进一步探究：生活中哪些现象与三角函数模型有关？-周期性 5作业布置，延时探究 4-1电视台的不同栏目播出的时间周期是不同的，有的每天播出，有的隔天播出，有的一个星期播出一次。请查阅当地的电视节目预报，统计不同栏目的播出周期。 4-2请调查我们杭州某个地区的每天的用电状况，制定一项“消蜂平谷”的电价方

7、案。 4-3一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？收集其他有关数据，并供应理论证据支持你的结论。 高二数学三角函数模型的简洁应用 1.6三角函数模型的简洁应用教学目的【学问与技能】1.驾驭三角函数模型应用基本步骤:(1)依据图象建立解析式;(2)依据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简洁函数模型.2.利用收集到的数据作出散点图，并依据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.【过程与方法】一、练习讲解：习案作业十三的第3、4题3、一根为Lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摇摆时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数

8、关系是，（1）求小球摇摆的周期和频率；（2）已知g=980cm/s2，要使小球摇摆的周期恰好是1秒，线的长度l应当是多少？解：（1）；（2）.4、略（学生看书）二、应用举例：例1如图，某地一天从614时的温度改变曲线近似满意函数yAsin(wxj)b(1)求这一天614时的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式. 本题是探讨温度随时间呈周期性改变的问题.问题给出了某个时间段的温度改变曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特殊留意自变量的改变范围.例2画出函数y|sinx|的图象并视察其周期.本题利用函数图象的直观性，通过视察图象而获得对函数性质的

9、相识，这是探讨数学问题的常用方法.明显，函数与正弦函数有紧密的联系.练习：教材P65面1题例3如图，设地球表面某地正午太阳高度角为q，d为此时太阳直射纬度，j为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是q90|jd|.当地夏半年d取正值，冬半年d取负值.假如在北京地区(纬度数约为北纬40)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？本题是探讨楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题干脆抽象为与三角函数有关的简洁函数模型，然后依据所得的模型解决问题。应当留意在困难的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科学问来帮助理解问题。例4海水

10、受日月的引力，在肯定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常状况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.015:007.524:005.0(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，平安条例规定至少要有1.5米的平安间隙(船底与洋底的距离)，该船何时能进入港

11、口？在港口能呆多久？(3)若某船的吃水深度为4米，平安间隙为1.5米，该船在2:00起先卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度削减，那么该船在什么时间必需停止卸货，将船驶向较深的水域？本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要留意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要留意考虑实际意义。关于课本第64页的“思索”问题，事实上，在货船的平安水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。练习：教材P65面3题三、小结：1、三角函数模型应用基本步骤:(1)依据图象建立解析式;(2)依据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简洁函

12、数模型.2、利用收集到的数据作出散点图，并依据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.四、作业习案作业十四及十五。补充例题：一半径为3m的水轮如右图所示,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动4圈,假如当水轮上P点从水中出现时(图中P0)点起先计算时间.(1)求P点相对于水面的高度h(m)与时间t(s)之间的函数关系式;(2)P点第一次达到最高点约要多长时间? 高二数学三角函数模型的简洁应用324-1.6三角函数模型的简洁应用【学问与技能】1.驾驭三角函数模型应用基本步骤:(1)依据图象建立解析式;(2)依据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简洁函数模型.2.利用收集到的

13、数据作出散点图，并依据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.【过程与方法】例1是探讨温度随时间呈周期性改变的问题.问题给出了某个时间段的温度改变曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特殊留意自变量的改变范围.例2利用函数图象的直观性，通过视察图象而获得对函数性质的相识，这是探讨数学问题的常用方法.明显，函数与正弦函数有紧密的联系.例3是探讨楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题干脆抽象为与三角函数有关的简洁函数模型，然后依据所得的模型解决问题。应当留意在困难的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科学问来帮助理解问题。例4本题的解答中，给

14、出货船的进、出港时间，一方面要留意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要留意考虑实际意义。关于课本第73页的“思索”问题，事实上，在货船的平安水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。补充例题例题：一根为Lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摇摆时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是，（1）求小球摇摆的周期和频率；（2）已知g=980cm/s2，要使小球摇摆的周期恰好是1秒，线的长度l应当是多少？解：（1）；（2）.【情态与价值】一、选择题1.初速度v0，放射角为，则炮弹上升的高度

15、y与v0之间的关系式为（）A.B.C.D.2.当两人提重为的书包时，夹角为，用力为，则为_时，最小（）AB.C.D.3.某人向正东方向走x千米后向右转，然后朝新的方向走3千米，结果他离动身点恰好千米，那么x的值为（）AB.C.D.二、填空题4.甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为，从甲楼顶望乙楼顶俯角为，则甲、乙两楼的高度分别为_5.一树干被台风吹断折成角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是_.三、解答题6.三个力同时作用于O点且处于平衡，已知，求7、有一长为的斜坡，它的倾斜角为，现在要倾斜角改为，则坡底要伸长多少?中学数学必修四1.6三角函数模型的简洁应用导学案 1.6

16、三角函数模型的简洁应用【学习目标】1.体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期改变现象的重要函数模型2.让学生体验一些具有周期性改变规律的实际问题的数学建模思想，从而培育学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等实力。【新知自学】学问回顾：1三角函数的周期性yAsin(x)(0)的周期是T_；yAcos(x)(0)的周期是T_；yAtan(x)(0)的周期是T_.2函数yAsin(x)k(A0，0)的性质(1)ymax_，ymin_.(2)A_，k_.(3)可由_确定，其中周期T可视察图象获得(4)由x1_，x2_，x3_，x4_，x5_中的一个确定的值3三角函数模型的

17、应用三角函数作为描述现实世界中_现象的一种数学模型，可以用来探讨许多问题，在刻画周期改变规律、预料其将来等方面都发挥着非常重要的作用 新知梳理：1、创设情境、激活课堂生活中普遍存在着周期性改变规律的现象，昼夜交替四季轮回，潮涨潮散、云卷云舒，心情的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象-1.6三角函数模型的简洁应用。 2、结合三角函数图象的特点，思索后写出下列函数的周期(1)y|sinx|的周期是_；(2)y|cosx|的周期是_；(3)y|tanx|的周期是_；(4)y|Asin(x)|(A0)的周期是_；(5)y|As

18、in(x)k|(Ak0)的周期是_；(6)y|Atan(x)|(A0)的周期是_ 对点练习：1、如图所示，单摆从某点起先来回摇摆，离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s6sin100t6，那么单摆来回摇摆一次所需的时间为()A.150sB.1100sC50sD100s 2若函数f(x)3sin(x)对随意x都有f6xf6x，则f6等于()A3或0B3或0C0D3或3 3.如图所示，设点A是单位圆上的肯定点，动点P从点A动身在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数df(l)的图象大致是() 【合作探究】典例精析：题型一、由图象探求三角函数模型

19、的解析式例1如图，某地一天从614时的温度改变曲线近似满意函数（1）求这一天614时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式 变式练习：某动物种群数量1月1日低至最小值700,7月1日高至最大值900，其总量在此两值之间改变，且总量与月份的关系可以用函数来刻画，试求该函数表达式。 题型二、由解析式作出图象并探讨性质例2画出函数的图象并视察其周期 变式练习：的周期是的周期是的周期是 规律总结：利用图象的直观性，通过视察图象而获得对函数性质的相识，是探讨数学问题的常用方法；本题也可用代数方法即周期性定义验证：的周期是（体现数形结合思想！） 题型三、应用数学学问解决实际问题例3如图，设地球表面某地

20、正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是当地夏半年取正值，冬半年取负值假如在北京地区(纬度数约为北纬)的一幢高为的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？ 变式练习：沟通电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E2203sin100t6来表示，求：(1)起先时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间 【当堂达标】1、据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)Asin(x)bA0，0，|2的模型波动(x为月份)，已知3月份达

21、到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，依据以上条件可确定f(x)的解析式为()Af(x)2sin4x47(1x12，xN*)Bf(x)9sin4x4(1x12，xN*)Cf(x)22sin4x7(1x12，xN*)Df(x)2sin4x47(1x12，xN*)2、如图所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面距离为h.(1)求h与间关系的函数解析式；(2)设从OA起先转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式3、如图表示电流I与时间t的函数关系式：IAsin(t)在

22、同一周期内的图象(1)据图象写出IAsin(t)的解析式；(2)为使IAsin(t)中t在随意一段1100的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数的最小值是多少？ 【课时作业】1、函数y2sinm3x3的最小正周期在23，34内，则正整数m的值是_ 2设某人的血压满意函数式p(t)11525sin(160t)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是_ 3一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摇摆时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式时s3cosglt3，其中g是重力加速度，当小球摇摆的周期是1s时，线长l等于_ 4

23、、如图所示，一个摩天轮半径为10m，轮子的底部在地面上2m处，假如此摩天轮按逆时针转动，每30s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时起先计时(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m. 5.如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，假如当水轮上点P从水中出现时(图中点P0)起先计算时间(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约须要多少时间？ 【延长探究】如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数yAsinx(A0，0)，x的图象，且图象的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的平安，限定MNP120.(1)求A，的值和M，P两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ 第13页 共13页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页