九年级数学竞赛图表信息问题教案.docx

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1、九年级数学竞赛图表信息问题教案九年级数学竞赛动态几何问题透视辅导教案 【例题求解】【例1】如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到ABC的位置，设BC=1，AC=，则顶点A运动到点A的位置时，点A经过的路途与直线所围成的面积是(黄冈市中考题)思路点拨解题的关键是将转动的图形精确分割RtABC的两次转动，顶点A所经过的路途是两段圆弧，其中圆心角分别为120和90，半径分别为2和，但该路途与直线所围成的面积不只是两个扇形面积之和【例2】如图，在O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AAAB，BBAB，且AA=AP，BB=BP，连结AB，当点P从点A移到点

2、B时，AB的中点的位置()A在平分AB的某直线上移动B在垂直AB的某直线上移动C在AmB上移动D保持固定不移动(荆州市中考题)思路点拨画图、操作、试验，从中发觉规律 【例3】如图，菱形OABC的长为4厘米，AOC60，动点P从O动身，以每秒1厘米的速度沿OAB路途运动，点P动身2秒后，动点Q从O动身，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿OAB路途运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线设P点运动的时间为秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为厘米，请你回答下列问题：(1)当=3时，的值是多少?(2)就下列各种情形：02；24；46；68求与之间的函数关

3、系式(3)在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下与的关系(吉林省中考题)思路点拨本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将各段分别探讨、画图、计算 注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动改变的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去视察、探究、探讨此类问题，是一种重要的解题策略建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，很多相关问题就转化为求函数值或自变量的值【例4】如图，正方形ABCD中，有始终径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F，分别从点B、点A同时动身，点E沿线段BA以1m秒的速度向点A运动

4、，点F沿折线ADC以2cm秒的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为2(秒)(1)当为何值时，线段EF与BC平行?(2)设12，当为何值时，EF与半圆相切?(3)当12时，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P的位置是否发生改变?若发生改变，请说明理由；若不发生改变，请赐予证明，并求AP：PC的值(江西省中考题)思路点拨动中取静，依据题意画出不同位置的图形，然后分别求解，这是解本例的基本策略，对于(1)、(2)，运用相关几何性质建立关于的方程；对于(3)，点P的位置是否发生改变，只需看是否为肯定值 注：动态几何问题常通过视察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或改变规律，而把

5、特定的运动状态，通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想 【例5】O1与O2相交于A、B两点；如图(1)，连结O2O1并延长交O1于P点，连结PA、PB并分别延长交O2于C、D两点，连结CO2并延长交O2于E点已知O2的半径为R，设CAD=(1)求：CD的长(用含R、的式子表示)；(2)试推断CD与PO1的位置关系，并说明理由；(3)设点P为O1上(O2外)的动点，连结PA、PB并分别延长交O2于C、D，请你探究CAD是否等于?CD与POl的位置关系如何?并说明理由(济南市中考题)思路点拨对于(1)、(2)，作出圆中常见协助线；对于(3)，P点虽为OOl上的一个动点，但O1、O2一些量

6、(如半径、AB)都是定值或定弧，运用圆的性质，把角与孤联系起来学力训练1如图，ABC中，C=90，AB=12cm，ABC=60，将ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB延长线上的D处，则AC边扫过的图形的面积是cm(=3.14159，最终结果保留三个有效数字)(济南市中考题)2如图，在RtABC中，C=90，A=60，AC=cm，将ABC绕点B旋转至ABC的位置，且使A、B、C三点在同一条直线上，则点A经过的最短路途的长度是cm(黄冈市中考题)3一块等边三角形的木板，边长为l，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从起先至结束走过的路径长度为()ABC4D(烟台市中考题)4把ABC沿AB边平移

7、到ABC的位置，它们的重叠部分的面积是ABC的面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA是()ABC1D(荆门市中考题)5如图，正三角形ABC的边长为6厘米，O的半径为r厘米，当圆心O从点A动身，沿着线路ABBCCA运动，回到点A时，O随着点O的运动而移动(1)若r=厘米，求O首次与BC边相切时AO的长；(2)在O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的状况?写出不同的状况下，r的取值范围及相应的切点个数；(3)设O在整个移动过程中，在ABC内部，O未经过的部分的面积为S，在S0时，求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围(江西省中考题) 6已知：如图，O韵直径为10，弦AC

8、=8，点B在圆周上运动(与A、C两点不重合)，连结BC、BA，过点C作CDAB于D设CB的长为，CD的长为(1)求关于的函数关系式；当以BC为直径的圆与AC相切时，求的值；(2)在点B运动的过程中，以CD为直径的圆与O有几种位置关系，并求出不同位置时的取值范围；(3)在点B运动的过程中，假如过B作BEAC于E，那么以BE为直径的圆与O能内切吗?若不能，说明理由；若能，求出BE的长(太原市中考题)7如图，已知A为POQ的边OQ上一点，以A为顶点的MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且MAN=POQ=(为锐角)当MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置起先，按逆时针方向旋转(MAN保持

9、不变)时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平移移动设OM=，ON=(0)，AOM的面积为S，若cos、OA是方程的两个根(1)当MAN旋转30(即OAM=30)时，求点N移动的距离；(2)求证：AN2=ONMN；(3)求与之间的函数关系式及自变量的取值范围；(4)试写出S随改变的函数关系式，并确定S的取值范围(河北省中考题)8已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=3cm，C60，BDCD(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B起先沿BC边向点C以2cms的速度运动，点Q从点C起先沿CD边向点D以1cms的速度运动，当P、Q分别从B、C同时动身时，写出五边形ABPQD的

10、面积S与运动时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围(不包含点P在B、C两点的状况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由(青岛市中考) 9已知：如图，E、F、G、H根据AE=CG，BF=DH，BFnAE(n是正整数)的关系，分别在两邻边长、的矩形ABCD各边上运动设AE=，四边形EFGH的面积为S(1)当n=l、2时，如图、，视察运动状况，写出四边形EFGH各顶点运动到何位置，使?(2)当n=3时，如图，求S与之间的函数关系式(写出自变量的取值范围)，探究S随增大而改变的规律；猜想四边形EFG

11、H各顶点运动到何位置，使；(3)当n=k(k1)时，你所得到的规律和猜想是否成立?请说明理由(福建省三明市中考题)10如图1，在直角坐标系中，点E从O点动身，以1个单位秒的速度沿轴正方向运动，点F从O点动身，以2个单位秒的速度沿轴正方向运动，B(4，2)，以BE为直径作O1(1)若点E、F同时动身，设线段EF与线段OB交于点G，试推断点G与O1的位置关系，并证明你的结论；(2)在(1)的条件下，连结FB，几秒时FB与O1相切?(3)如图2，若E点提前2秒动身，点F再动身，当点F动身后，E点在A点左侧时，设BA轴于A点，连结AF交O1于点P，试问PAFA的值是否会发生改变?若不变，请说明理由，并

12、求其值；若改变，恳求其值的改变范围(武汉市中考题) 参考答案 中考数学图表信息题复习教案 中考复习专题(八)图表信息 教学目标： 通过解答这类试题，让学生学会视察、挖掘图象（表）所含的信息，提高对所得到的信息进行分类、合成、提取、加工的实力，从而提高学生解决图像信息问题的实力 教学重、难点：通过训练，提高学生“识图”和“用图”的实力，以及收集、整理和加工信息实力. 教学过程： 一、题型归析 图象（表）信息类试题是题设条件或结论中包含有图象（表）的试题，这类题目的解题条件主要靠图象（表）给出，在解答这类试题的过程中，要细致视察、挖掘图象（表）所含的信息，并对所得到的信息进行分类、合成、提取、加工

13、，最终求得问题的解答它主要表现在数轴、直角坐标系、点的坐标、一次函数、二次函数、反比例函数的图象、好用统计图象及部分几何图形等，所供应的形态特征、位置特征、改变趋势等的数学基础学问，很好的考查了学生的视察分析问题的实力这类题目的图象（表）信息量大，大多数条件不是干脆告知，而是以图象（表）形式映射出来，较为隐藏，解答它不仅要有扎实的数学基础学问，而且要有较强的读图（表）、识图（表）、分析图（表）的实力发觉挖掘出题目所隐含的条件来达到解题的目的，这类题目在中考中仍有升温的趋势 解这类题的一般步骤是：（1）视察图象，获得有效信息；（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；（3）选择适当的

14、数学工具，通过建立数学模型来解决 二、例题解析： 题型1?表达信息题 此类题目一般以表格的形式出现，通过表格对数据进行收集、整理，得出与解题相关的信息，从而解决实际应用问题 【例1】辽南素以“苹果之乡”著称，某乡组织20辆汽车装运A、B、C三种水果42吨到外地销售.按规定每辆车只装同一种苹果，且必需装满.每种苹果不少于2车. 苹果品种ABC 每辆汽车运载量(吨)2.22.12 每吨苹果获利(百元)685 设x辆车装运A种苹果，用y辆车装运B种苹果，依据上表供应的信息，求x与y间的函数关系式，并求x的取值范围； 设此次外销活动的利润为w(百元)，求w与x的函数关系式以及最大利润并支配相应的车辆安

15、排方案. 【分析】先从表中得到，每辆车装载苹果的重量，依据苹果总量，与总车数来列方程： 得：2.2x+2.1y+2（20-x-y）=42，整理得0.2x+0.1y=2.所以y=-2x+20（X大于等于2，且小于等于9的整数.（2）W=6X+8y+5(20-X-y）因为y=-2X+20，所以W=6X+8(-2X+20)+520-X-(-2X+20) 整理得W=-5X+160(X大于等于2，且小于等于9的整数).所以当X=2时W有最大值150. 此时用2辆车装A种苹果，用16辆车装运B种苹果，用2辆车装运C种苹果有最大利润，且最大利润为15000元. 题型2?图形、图象信息题 此类题目以图形、图象

16、的形式出现，题型新奇，给出的形式有形象的人物及各自的语言表述，在活泼的氛围里，给出题目详细内容，在考查学生的建模实力，有时候用方程，有时候用不等式 【例2】在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间x(h)的关系如图所示.请依据图象所供应的信息解答下列问题： 甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是，从点燃到燃尽所用的时间分别是_； 分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式； 当x为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等？ 【分析】从图像上可以看出，纵坐标是蜡烛的高度，横坐标是燃烧时间，于纵坐标的交点就是蜡烛的长度，于横坐标的交点就是燃烧尽所用的时间；两

17、图象的交点就是高度相等时的时间. 【思路点拨】要想求出一次函数解析式，关键是要找出图象上的两个关键点的坐标这样我们就可以用待定系数法求出此函数的解析式了 三、诊断自测 1.如图，三个大小相同的正方形拼成六边形，一动点从点动身沿着方向匀速运动，最终到达点.运动过程中的面积（）随时间（t）改变的图象大致是（） 2.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B动身，沿路途BCD作匀速运动，那么ABP的面积S与点P运动的路程之间的函数图象大致是（） ABCD 3.如图，AB是半圆O的直径，点P从点O动身，沿O-A-弧AB-B-O的路径运动一周设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关

18、系的是（） 4.为了迎接2022年巴西世界杯，足球协会举办了一次足球赛，其计分方法和嘉奖方案（每人）如下表： 胜一场平一场负一场 积分310 奖金/元15007000 当竞赛进行到每队各竞赛12场时，A队（11名队员）共积分20分，并且没有负场. (1)推断A队胜、平各几场？ (2)若每场竞赛每名队员均得出场费500元，那么A队的某一名队员在这12场竞赛中所得奖金和出场费的和是多少？ 九年级数学竞赛圆幂定理教案 【例题求解】【例1】如图，PT切O于点T，PA交O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB=(成都市中考题)思路点拨综合运用圆幂定理、勾股定理求PB长

19、注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特别、不断深化的过程，大致经验了四个阶段：(1)平行线分线段对应成比例；(2)相像三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来；(4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来 【例2】如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于点E，且与CD相切，若AB=4，BE=5，则DE的长为()A3B4CD(全国初中数学联赛题)思路点拨连AC，CE，由条件可得很多等线段，为切割线定理的运用创设条件 注：圆中线段的算，经常须要综合相像三角形、直角三角形、圆幂定理等学问，通过代数化获解，加强对图形的

20、分解，注意信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键 【例3】如图，ABC内接于O，AB是O的直径，PA是过A点的直线，PAC=B(1)求证：PA是O的切线；(2)假如弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，AE：BE=2：3，求AB的长和ECB的正切值(北京市海淀区中考题)思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富学问(1)问的证明为切割线定理的运用创建了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并找寻x与k的关系，建立x或k的方程 【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、

21、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE(四川省竞赛题)思路点拨由切割线定理得EG2=EFEP，要证明EG=DE，只需证明DE2=EFEP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明 注：圆中的很多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁须要留意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF4求：(1)cosF的值；(2)BE的长(成都市中考题)思路点拨解决本例的基础是

22、：熟识圆中常用协助线的添法(连OE，AE)；熟识圆中重要性质定理及角与线段的转化方法对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从BEFEAF，RtAEB入手 注：当直线形与圆结合时就产生错综困难的图形，擅长分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手：(1)多视点视察图形如本例从D点看可用切线长定理，从F点看可用切割线定理(2)多元素分析图形图中有没有特别点、特别线、特别三角形、特别四边形、全等三角形、相像三角形(3)将以上分析组合，找寻联系 学力训练1如图，PT是O的切线，T为切点，PB是O的割线，交O于A、B两点，交弦CD于点M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则

23、PT的长为(绍兴市中考题)2如图，PAB、PCD为O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD=3如图，AB是O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是O的切线，D为切点，过点B作O的切线交CD于点F，若AB=CD=2，则CE=(天津市中考题) 4如图，在ABC中，C=90，AB=10，AC=6，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为()A64B32C36D8(苏州市中考题) 5如图，O的弦AB平分半径OC，交OC于P点，已知PA、PB的长分别为方程的两根，则此圆的直径为()ABCD(昆明市中考题) 6如图，O的直径Ab垂直于弦CD，垂足为H，点P是AC上一点(点P不与A、

24、C两点重合)，连结PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F，给出下列四个结论：CH2=AHBH；ADAC：AD2=DFDP；EPC=APD，其中正确的个数是()A1B2C3D4(福州市中考题)7如图，BC是半圆的直径，O为圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，ADBC于点D(1)若B=30，问AB与AP是否相等?请说明理由；(2)求证：PDPO=PCPB；(3)若BD：DC=4：l，且BC10，求PC的长(绍兴市中考题)8如图，已知PA切O于点A，割线PBC交O于点B、C，PDAB于点D，PD、AO的延长线相交于点E，连CE并延长交O于点F，连AF(1)求证：P

25、BDPEC；(2)若AB=12，tanEAF=，求O的半径的长(北京市崇文区中考题)9如图，已知AB是O的直径，PB切O于点B，PA交O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交O于F、G，且BE、BD恰哈好是关于x的方程(其中为实数)的两根(1)求证：BE=BD；(2)若GEEF=，求A的度数(山西省中考题) 10如图，ABC中，C=90，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点E，与AC相切于点D，已知AD=2，AE=1，那么BC=(山东省临沂市中考题) 11如图，已知A、B、C、D在同一个圆上，BC=CD，AC与BD交于E，若AC=8，CD=4，且线段BE、ED为正整数，则

26、BD=12如图，P是半圆O的直径BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AHBC于H，若PA=1，PB+PC=(2)，则PH=()ABCD13如图，ABC是O的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D，且EFAB，若AB=2，则DE的长为()ABCD114如图，已知AB为O的直径，C为O上一点，延长BC至D，使CD=BC，CEAD于E，BE交O于F，AF交CE于P，求证：PE=PC(太原市竞赛题)15已知：如图，ABCD为正方形，以D点为圆心，AD为半径的圆弧与以BC为直径的O相交于P、C两点，连结AC、AP、CP，并延长CP、AP分别交AB、BC、O于E、H、F三点，连结OF(1)求证：AEPCEA

27、；(2)推断线段AB与OF的位置关系，并证明你的结论；(3)求BH:HC(四川省中考题)16如图，PA、PB是O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若PE=2，CD=1，求DE的长(国家理科试验班招生试题) 17如图，O的直径的长是关于x的二次方程(是整数)的最大整数根，P是O外一点，过点P作O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B、C是直线PBC与O的交点，若PA、PB、PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA+PB+PC的值(全国初中数学竞赛题) 第15页 共15页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页