二次根式的加减导学案.docx

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1、二次根式的加减导学案二次根式的加减 21.3二次根式的加减(1) 第一课时 教学内容 二次根式的加减 教学目标 理解和驾驭二次根式加减的方法 先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解再总结阅历，用它来指导根式的计算和化简 重难点关键 1重点：二次根式化简为最简根式 2难点关键：会判定是否是最简二次根式 教学过程 一、复习引入 学生活动：计算下列各式 （1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3 老师点评：上面题目的结果，事实上是我们以前所学的同类项合并同类项合并就是字母不变，系数相加减 二、探究新知 学生活动：计

2、算下列各式 （1）2+3（2）2-3+5 （3）+2+3（4）3-2+ 老师点评： （1）假如我们把当成x，不就转化为上面的问题吗？ 2+3=（2+3）=5 （2）把当成y； 2-3+5=（2-3+5）=4=8 （3）把当成z； +2+ =2+2+3=（1+2+3）=6 （4）看为x，看为y 3-2+ =（3-2）+ =+ 因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2与表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的 （板书）3+=3+2=5 3+=3+3=6 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 例1计算 （1）+（2）+ 分析：第一步，将

3、不是最简二次根式的项化为最简二次根式；其次步，将相同的最简二次根式进行合并 解：（1）+=2+3=（2+3）=5 （2）+=4+8=（4+8）=12 例2计算 （1）3-9+3 （2）（+）+（-） 解：（1）3-9+3=12-3+6=（12-3+6）=15 （2）（+）+（-）=+- =4+2+2-=6+ 三、巩固练习 教材P19练习1、2 四、应用拓展 例3已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3其次，依据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再

4、合并同类二次根式，最终代入求值 解：4x2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y2-6y+9=0 （2x-1）2+（y-3）2=0 x=，y=3 原式=+y2-x2+5x =2x+-x+5 =x+6 当x=，y=3时， 原式=+6=+3 五、归纳小结 本节课应驾驭：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并 六、布置作业 1教材P21习题2131、2、3、5 2选作课时作业设计 3.课后作业:同步训练 第一课时作业设计 一、选择题 1以下二次根式：；中，与是同类二次根式的是（） A和B和C和D和 2下列各式：3+3=6；=1；+=2；=2，其中错

5、误的有（） A3个B2个C1个D0个 二、填空题 1在、3、-2中，与是同类二次根式的有_ 2计算二次根式5-3-7+9的最终结果是_ 三、综合提高题 1已知2.236，求（-）-（+）的值（结果精确到0.01） 2先化简，再求值 （6x+）-（4x+），其中x=，y=27 答案: 一、1C2A 二、126-2 三、1原式=4-=2.2360.45 2原式=6+3-（4+6）=（6+3-4-6）=-， 当x=，y=27时，原式=-=- 21.3二次根式的加减(2) 其次课时 教学内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题 教学目标 通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解

6、应用题 重难点关键 讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点 教学过程 一、复习引入 上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；其次步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固 二、探究新知 例1如图所示的RtABC中，B=90，点P从点B起先沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B起先沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动问：几秒后PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示） 分析：设x秒后PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，

7、依据三角形面积公式就可以求出x的值 解：设x后PBQ的面积为35平方厘米 则有PB=x，BQ=2x 依题意，得：x2x=35 x2=35 x= 所以秒后PBQ的面积为35平方厘米 PQ=5 答：秒后PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5厘米 例2要焊接如图所示的钢架，大约须要多少米钢材（精确到0.1m）？ 分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度 解：由勾股定理，得 AB=2 BC= 所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD =2+5+2 =3+7 32.24+713.7（m） 答：要焊接一个如图所示的钢架，大约须要13.7m的钢材 三、巩固练习

8、教材P19练习3 四、应用拓展 例3若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式） 分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|，才由同类二次根式的定义得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b 解：首先把根式化为最简二次根式： =|b| 由题意得 a=1，b=1 五、归纳小结 本节课应驾驭运用最简二次根式的合并原理解决实际问题 六、布置作业 1教材P21习题2137 2选用课时作业设计 3.课后作业:同步训练 作业设计 一、选择题 1已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那

9、么斜边的长应为（）（结果用最简二次根式） A5BC2D以上都不对 2小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米（结果同最简二次根式表示） A13BC10D5 二、填空题 1某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，鱼塘的宽是_m（结果用最简二次根式） 2已知等腰直角三角形的直角边的边长为，那么这个等腰直角三角形的周长是_（结果用最简二次根式） 三、综合提高题 1若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值 2同学们，我们以前学过完全平方公式a22ab+b2=（ab）2，你肯定娴

10、熟驾驭了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么全部的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（）2，5=（）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们视察： （-1）2=（）2-21+12=2-2+1=3-2 反之，3-2=2-2+1=（-1）2 3-2=（-1）2 =-1 求：（1）； （3）你会算吗？ （4）若=，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由 答案: 一、1A2C 二、12022+2 三、1依题意，得， 所以或或或 2（1）=+1 （2）=+1 （3）=-1 （4）理由：两边平方得a2=m+n2 所以 21.3二次根式的加减(3) 第三课时 教学内容 含有二次根式的单项式与单项式

11、相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用 教学目标 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用 复习整式运算学问并将该学问运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算 重难点关键 重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律； 难点关键：由整式运算学问迁移到含二次根式的运算 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题: 1计算 （1）（2x+y）zx（2）（2x2y+3xy2）xy 2计算 （1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现它主要有（1）单项式单项

12、式；（2）单项式多项式；（3）多项式单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用 二、探究新知 假如把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立 整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义非常广泛，可以代表全部一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式 例1计算: （1）（+）（2）（4-3）2 分析：刚才已经分析，二次根式仍旧满意整式的运算规律，所以干脆可用整式的运算规律 解：（1）（+）=+ =+=3+2 解：（4-3）2=42-32 =2- 例2计算 （1）（+6）（3-）（2）（+）（-） 分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘

13、以多项式运算在乘法公式运算中仍旧成立 解：（1）（+6）（3-） =3-（）2+18-6 =13-3 （2）（+）（-）=（）2-（）2 =10-7=3 三、巩固练习 课本P20练习1、2 四、应用拓展 例3已知=2-，其中a、b是实数，且a+b0， 化简+，并求值 分析：由于（+）（-）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可 解：原式=+ =+ =（x+1）+x-2+x+2 =4x+2 =2- b（x-b）=2ab-a（x-a） bx-b2=2ab-ax+a2 （a+b）x=a2+2ab+b2 （a+b）x=（a+b）2

14、a+b0 x=a+b 原式=4x+2=4（a+b）+2 五、归纳小结 本节课应驾驭二次根式的乘、除、乘方等运算 六、布置作业 1教材P21习题2131、8、9 2选用课时作业设计 3.课后作业:同步训练 作业设计 一、选择题 1（-3+2）的值是（） A-3B3- C2-D- 2计算（+）（-）的值是（） A2B3C4D1 二、填空题 1（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是_ 2（1-2）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_ 3若x=-1，则x2+2x+1=_ 4已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_ 三、综合提高题 1化简 2当x=时，求+的值（结果用最

15、简二次根式表示） 课外学问 1同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式 练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（） A与B与 C与D与 2互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与x+1+就是互为有理化因式；与也是互为有理化因式 练习：+的有理化因式是_； x-的有理化因式是_ -的有理化因式是_ 3分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母

16、中的根号的目的 练习：把下列各式的分母有理化 （1）；（2）；（3）；（4） 4其它材料：假如n是随意正整数，那么=n 理由：=n 练习：填空=_；=_；=_ 答案: 一、1A2D 二、11-24-243244 三、1原式 = =-（-）=- 2原式 =2（2x+1） x=+1原式2（2+3）=4+6. 二次根式的加减法(2)导学案 课题12.3二次根式的加减法（2）自主空间学习目标(1)使学生驾驭二次根式的运算方法，明确运算依次、运算律及乘法公式在二次根式的运算中仍旧适用；.(2)正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算。学习重难点教学重点正确运用二次根式的性质及运算法则进行二

17、次根式的混合运算教学难点二次根式的运算法则教学流程预习导航1.二次根式的乘除法是怎样进行的？二次根式的加减法是怎样进行的？2什么叫同类二次根式？举例说明。3回顾整式的乘法公式：分别用符号表示多项式乘法公式；平方差公式；完全平方公式；合作探究一、概念探究：1怎样计算：？小组探讨，全班沟通。类比：怎样计算（a-b）（a+2b）？怎样计算：？回顾：（a-b）（a+b）_呢？课堂小结：在进行二次根式的混合运算时，我们曾学过的整式运算的运算律仍旧适用。 二、例题分析：例、计算：（）（）分析：（1）视察二次根式的特点，类比多项式乘法（2）留意合并同类项与化简例4.计算：（）（）合作探究分析：（1）类比平方

18、差公式与完全平方公式，干脆运用公式（2）结果要进行化简三、展示沟通1.计算:(1)(2) 四、提炼总结本节课学习了二次根式的运算，在进行运算时要留意什么？1.二次根式四则混合运算的依次和整式的四则混合运算的依次是一样的,含相同二次根式的项要合并.2.运算律同样适用于二次根式的运算.3.计算结果要最简.当堂达标1.计算的结果是（）A：B：C：D：2.计算的值是（）A：4B：-4C：2D：-23.若，是的小数部份，则4.计算（1）当堂达标（2）（3） 5.在RtABC中，C=90，AB=,AC=求RtABC的周长和面积. 6.先化简，后求值：，其中 二次根式导学案 张家港市一中2022-2022学

19、年度其次学期八年级数学学案初二班姓名学号课题：12.1二次根式主备：施帅1.了解并熟记二次根式的概念，理解二次根式的意义并能确定被开方数中字母的取值范围。2.理解公式（）2=a（a0）,，并能利用公式进行二次根式的化简一、基本概念1.定义:一般地，式子_（0）叫做二次根式，a叫做_。2.要使有意义,那么a_0，_0.3当0时，=4.= 二、探究实践1.下列各式是二次根式吗?(1)(2)6(3)(4)(5)(6)(7)(8)、异号) 2.要使下列式子有意义，x的取值范围是什么？（1）（2）（3）（4） （5）（6）（7）（8） 3.在实数范围内将下列各式因式分解：（1）（2）3a2-4b2(3)

20、 4.解答题（1），求x+y的值。 （2）若二次根式的值为3，求x的值。 5.计算：（1）（2） （4）(5)(6)(7) 6.拓展延长(1)若，那么的取值范围是 (2)当x时，等式成立 (3)已知，化简：=_ (4)已知三角形的三边长分别为a、b、c，且，那么= (5)若化简的结果是,则x的取值范围是 (6)已知，化简求值： 初二数学巩固练习姓名学号班级1的平方根是_2若2x-1+|y-1|=0，那么x=_，y=_3已知ABC的三边长分别为a、b、c,且a、b、c满意，则ABC的形态是三角形4.当x时，在实数范围内有意义.当x时，有意义.若有意义，则=_5若，那么的取值范围是.6计算=_=_

21、=_.7已知，化简：=_.8已知三角形的三边长分别为a、b、c，且，化简=9一个数的算术平方根是a，比这个数大3的数为（）A、a+3B.3C.+3D.a2+310.使式子有意义的未知数x有（）个A0B1C2D多数11若，则的取值范围是（）ABCD12若，则的值为（）A1BC1D13当时，化简等于（）AB2CD0 14求出下列二次根式中字母a的取值范围：(1)(2)(3)(4) 15在实数范围内因式分解：(1)(2)5y2-4 16.已知a、b为实数，且，求a、b的值 17化简（1）. （2）. 18对于题目“化简并求值：其中”，甲乙两人的解答不同甲的解答是：；乙的解答是：.谁的解答是错误的？为什么？ 第19页 共19页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页第 19 页 共 19 页