初中数学复习知识点：二次函数.docx

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1、初中数学复习知识点：二次函数初中数学二次函数学问点总结 初中数学二次函数学问点总结 I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0，且a确定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下,IaI还可以确定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0）顶点式：y=a(x-h)2+k抛物线的顶点P（h，k）交点式：y=a(x-x)(x-x)仅限于与x轴有交点A（x，0）和B（x

2、，0）的抛物线注：在3种形式的相互转化中，有如下关系:h=-b/2ak=(4ac-b2)/4ax,x=(-bb2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特殊地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当=b2-4ac=0时，P在x轴上。3.二次项系数a确定抛物线的开口方向和大小。当a0时，抛物

3、线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同确定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右。5.常数项c确定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-bb24ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）V.二次函数与一元二次方程特殊地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c，当y=0时，二次函

4、数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。1二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a0)的图象形态相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 当h0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到，当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，

5、再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；因此，探讨抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清晰了这给画图象供应了便利2抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象：当a0时，开口向上，当a0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，4ac-b2/4a)

6、3抛物线y=ax2+bx+c(a0)，若a0，当x-b/2a时，y随x的增大而减小；当x-b/2a时，y随x的增大而增大若a0，当x-b/2a时，y随x的增大而增大；当x-b/2a时，y随x的增大而减小4抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴肯定相交，交点坐标为(0，c)；(2)当=b2-4ac0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根这两点间的距离AB=|x-x|当=0图象与x轴只有一个交点；当0图象与x轴没有交点当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y0；当a0时，图象落在x轴的下

7、方，x为任何实数时，都有y05抛物线y=ax2+bx+c的最值：假如a0(a0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值6用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a0)(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a0)(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a0)7二次函数学问很简单与其它学问综合应用，而

8、形成较为困难的综合题目。因此，以二次函数学问为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现 二次函数学问点归纳 二次函数学问点归纳 一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c(a0)，则称y为x的二次函数。二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c(a0)顶点式：y=a(x-h)2+k(a0)，此时抛物线的顶点坐标为P(h，k)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0)仅用于函数图像与x轴有两个交点时，x1、x2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A(x1，0)和B(x2，0)，对称轴所在的直线为x=注：在3种形式的相互转化中，有

9、如下关系：h=-，k=;x1,x2=;x1+x2=-三、二次函数的图像从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。四、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P。特殊地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-，)。当x=-时，y最值=，当a0时，函数y有最小值;当a0时，函数y有最大值。当-=0时，P在y轴上(即交点的横坐标为0);当=b2-4ac=0时，P在x轴上(即函数与x轴只有一个交点)。3.二次项系数a确定抛物线的开口方向和大小(即形态)。当a0时，抛物线开口向上;当a0

10、时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小。对于两个抛物线，若形态相同，开口方向相同，则a相等;若形态相同，开口方向相反，则a互为相反数。4.二次项系数a和一次项系数b共同确定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即：当对称轴在y轴左边时，a与b同号(即ab当对称轴在y轴右边时，a与b异号(即ab0)。5.常数项c确定抛物线与y轴交点位置，抛物线与y轴交于点(0，c)。6.抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交点个数与方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根;=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点，对应方

11、程有两个相同的实数根。=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点，对应方程没有实数根。五、二次函数与一元二次方程二次函数(以下称函数)y=ax2+bx+c(a0)，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。(参考四-6)六、常用的计算方法1、求解析式的时候：若给定三个一般点的坐标，则设为一般式y=ax2+bx+c(a0)，分别将三点坐标代入组成三元一次方程组，然后解此方程组求出a、b、c，再代回设的一般式中即可求出解析式;若给定有顶点坐标或对称轴、最值，则设为顶点式y=a(x-h)2+k(

12、a0)，再找一点坐标代入即可求出a，再代回设的顶点式即可求出解析式;若给定有与x轴的交点坐标，则设为交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a0)，再找一点坐标代入即可求出a，再代回设的交点式即可求出解析式。以上方法特殊要留意括号内的正负号。2、若求函数与x轴的交点坐标，让y=0，解一元二次方程所得的根就是交点的横坐标;3、若求函数的顶点坐标，用配方的方法或者干脆套用顶点坐标的公式;4、若求函数的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者干脆套用最值的公式(同顶点坐标)。5、当须要判定函数y=ax2+bx+c(a0)与x轴没有交点时，需判定方程ax2+bx+c=0的lt;0，同理，与x轴只有一个交

13、点时，=0，与x轴有两个交点时，gt;0。对的判定方法仍旧是用配方的方法。 初中数学复习学问点：一次函数 初中数学复习学问点：一次函数 一、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b则此时称y是x的一次函数。特殊地，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx（k为常数，k0）二、一次函数的性质： 1.y的改变值与对应的x的改变值成正比例，比值为k即：y=kx+b（k为随意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次

14、函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点） 2性质： （1）在一次函数上的随意一点P（x，y），都满意等式：y=kx+b。 （2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。 3k，b与函数图像所在象限： 当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。当b0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b0时，直线必通过三、四象限。特殊地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当k0时，直线只通过一、三象限；当k0

15、时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 （2）因为在一次函数上的随意一点P（x，y），都满意等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b和y2=kx2+b （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最终得到一次函数的表达式。五、一次函数在生活中的应用： 1.当时间t肯定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度f肯定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。六、常用公式： 1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/23.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/24.求随意线段的长：(x1-x2)2+(y1-y2)2（注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和） 第8页 共8页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页