正弦函数诱导公式教案（2）.docx

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1、正弦函数诱导公式教案（2）余弦函数诱导公式教案（2）4正弦函数和余弦函数的定义域诱导公式-余弦函数一、教学目标：1、学问与技能（1）了解随意角的余弦函数概念；（2）理解余弦函数的几何意义；（3）驾驭余弦函数的诱导公式；（4）能利用五点作图法作出余弦函数在0，2上的图像；（5）娴熟依据余弦函数的图像推导出余弦函数的性质；（6）能区分正、余弦函数之间的关系；（7）驾驭利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。2、过程与方法类比正弦函数的概念，引入余弦函数的概念；在正、余弦函数定义的基础上，将三角函数定义推广到更加一般的状况；让学生通过类比，联系正弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函数的诱导公式；能学

2、以致用，尝试用五点作图法作出余弦函数的图像，并能结合图像分析得到余弦函数的性质。3、情感看法与价值观使同学们对余弦函数的概念有更深的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习主动性；培育学生分析问题、解决问题的实力；让学生体验自身探究胜利的喜悦感，培育学生的自信念；使学生相识到转化“冲突”是解决问题的有效途经；培育学生形成实事求是的科学看法和锲而不舍的钻研精神。二、教学重、难点重点:余弦函数的概念和诱导公式，以及余弦函数的性质。难点:余弦函数的诱导公式运用和性质应用。三、学法与教学用具我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正弦函数

3、推广到随意角的状况；现在我们就应当与正弦函数的概念作比较，得出余弦函数的概念；同样地，可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公式。用五点作图的方法作出ycosx在0，2上的图像，并由图像直观得到其性质。教学用具:投影机、三角板第一课时余弦函数的概念和诱导公式一、教学思路【创设情境，揭示课题】在初中，我们不但学习了正弦函数，也学习了余弦函数，sin。同样地，当我们把角放在平面直角坐标系中以后，就可以得到余弦函数的定义。下面请同学们类比正弦函数的定义，自主学习课本P30P31.【探究新知】1余弦函数的定义在直角坐标系中，设随意角与单位圆交于点P（a，b）,那么点P的横坐标a叫做角余弦函数，记

4、作：acos(R).通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将余弦函数表示为ycosx(xR).如图，有向线段OM称为角的余弦线。其实，由相像三角形的学问，我们知道，只要已知角的终边上随意一点P的坐标（a，b），求出|OP|，记为r，则角的正弦和余弦分别为：sin，cos.在今后的解题中，我们可以干脆运用这种方法，简化运算过程。2余弦函数的诱导公式从右图不难看出，角和角2，2，（）的终边与单位圆的交点的横坐标是相同的，所以，它们的余弦函数值相等；角和角，的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数，所以，它们的余弦函数值互为相反数。由此归纳出公式：cos(2)coscos()coscos(2)cosc

5、os()coscos()cos请同学们视察右图，角与角的正弦、余弦函数值有什么关系？由图可知，RtOMPRtOMP,点P的横坐标cos与点P的纵坐标sin()相等；点P的纵坐标sin与点P的横坐标cos()互为相反数。我们可以得到：sin()coscos()sin问题与思索：验证公式sin()coscos()sin以上公式统称为诱导公式，其中可以是随意角。利用诱导公式，可以将随意角的正、余弦函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。【巩固深化，发展思维】1例题讲评例1已知角的终边经过点P（2，4）(如图)，求角的余弦函数值。解：x2，y4，r|OP|2cos例2假如将例1中点P的坐标改为（2t，4

6、t）(t0)，那么怎样求角的余弦函数值。解：(提示：在r|OP|2|t|中，分t0和t0两种状况，见教材P31)例3求值：（1）cos（2）cos（3）cos()（4）cos(1650)（5）cos(15015)解：（1）coscos（2）cos（2）coscos（）cos0.9239(3)、（4）、（5）略，见教材P33例4化简：解：（略）2学生练习二、归纳整理，整体相识（1）请学生回顾本节课所学过的学问内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？三、课后反思4正弦函数和余弦函数的

7、定义与诱导公式导学案 4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式导学案班级：_小组：_姓名：_学习目标:一、【目标】1.借助单位圆相识和理解正弦函数、余弦函数的概念。2.会利用单位圆探讨正弦函数、余弦函数的周期性。3.知道诱导公式的推导过程；能概括诱导公式的特点。4.能敏捷运用诱导公式娴熟正确地进行求值、化简及变形。5.提高对三角函数中单位圆思想的相识，培育借助图形直观进行视察、感知探究、发觉及逻辑推理的实力，渗透驾驭分类探讨及数形结合的思想方二、【学习重点、难点】重点:正弦函数、余弦函数的单位圆定义法;用联系的观点，发觉并证明诱导公式。难点:正弦函数、余弦函数的定义理解；如何引导学生从单位圆的对称

8、性与随意角终边上点的对称性，发觉问题，提出探讨方法。教学安排：第一课时： 一、复习1、在RtABC中，C90，分别写出A的三角函数关系式：sinA_，cosA=_，sinB_，cosB=_，比较上述中，sinA与cosB，cosA与sinB的表达式，你有什么发觉？2.周期函数：3.同角三角函数关系：二预习1.在直角坐标中，以_为圆心，以_为半径的圆叫做单位圆。2.正弦函数、余弦函数定义：一般地，在直角坐标系中，对随意角（弧度制），使角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v），那么点P的纵坐标v，叫作角的正弦函数，记作v。点P的纵坐标u，叫作角的余弦函数，记作u.通

9、常,我们用x，y分别表示自变量与因变量，将正、余弦函数分别表示为ysinx，ycosx.定义域：_，值域：_.3、在直角坐标系中，设是一个随意角,它的终边上随意一点P(x,y),那么:正弦=_，余弦=_。4.当角的终边分别在第一、二、三、四象限时，正弦函数值、余弦函数值的正负号：象限三角函数第一象限其次象限第三象限第四象限5.周期性：终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(2k)sin(kZ)，说明对于随意一个角，每增加2的整数倍，其正弦函数值不变。所以，正弦函数是随角的改变而周期性改变的，正弦函数是周期函数，2k（kZ，k0）为正弦函数的周期。2是正弦函数的正周期中最小的一个，称为_。一般地

10、，对于周期函数f(x)，假如它全部的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的_。（余弦函数ycosx同上）.三、合作探究例1：将各特别角的三角函数值填入下表。x0y=sinxy=cosx 例2已知角的终边经过点P（2，4），求角的正弦函数值、余弦函数值。 四、自我训练1.已知角的终边经过点P(-2,-3)，求角的正弦、余弦值.2.确定下列各三角函值的符号：cos250;sin(-/4);sin(-672);cos3; 3.已知sin0且cos0,确定角的象限. 其次课时： 一，问题的提出求下列三角函数的值，公式一都能解决吗？是否有必要探讨新的公式？sin1110=二，自主学

11、习（一）学问梳理：则公式一的作用：4.（1）的终边与角终边关于_对称（2）的终边与角终边关于_对称（3）的终边与角终边关于_对称（4）的终边与角终边关于_对称5.如图,设为一随意角，的终边与单位圆的交点为P(x,y),角的终边与单位圆的交点为P0,点P0与点P关于_成中心对称,因此点P0的坐标是_于是,我们有: 公式二：_ 类比公式二的得来，得：公式三：_ 类比公式二,三的得来，得：公式四：_对公式一，二，三，四用语言可概括为：上述公式的作用：将分别加上，三角函数值（会否）变更？是否可以得出，形如的角，求三角函数值的一般方法或口诀？ （二）合作探究1、利用公式求下列三角函数值（1）cos210

12、；(2)（3）；（4） 拓展1：将下列三角函数转化为锐角三角函数（1）=_（2）=_(3)=_(4)=_ 通过练习，你认为：（）公式一至公式四如何理解记忆？（）你能够自己归纳一下把随意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？2、化简 3、化简：（1）sin(+180)cos()sin(180)（2）sin()cos(2+)tan() （三）学习小结：1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有肯定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法.2.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要留意整体把握、敏捷变通. 正弦、

13、余弦的诱导公式概念辨析 正弦、余弦的诱导公式概念辨析公式二：sin(180+)=-sincos(180+)=-cos用弧度制可表示如下：sin(+)=-sincos(+)=-cos它刻画了角180+与角的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角的正弦值（或余弦值）是一对相反数这是因为若设的终边与单位圆交于点P(x，y)，则角终边的反向延长线，即180+角的终边与单位圆的交点必为P(-x，-y)（如图4-5-1）由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y，cos=x,sin(180+)=-y,cos(180+)=-x,sin(180+)=

14、-sin，cos(180+)=-cos 公式三：sin()=sincos()=cos它说明角-与角的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等这是因为，若没的终边与单位圆交于点P(x，y)，则角-的终边与单位圆的交点必为P(x，-y)（如图4-5-2）由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y，cos=x,sin(-)=-y,cos(-)=x,所以：sin(-)=-sin,cos(-)=cos公式二、三的获得主要借助于单位圆及正弦函数、余弦函数的定义依据点P的坐标精确地确定点P的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质事实上，在图1中，点P与点P关于原点对称，而在图2中，点P与点P关于x轴对称直观的对

15、称形象为我们精确写出P的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性2关于公式四和公式五公式四是：sin(180-)=sincos(180-)=-cos用弧度制可表示如下：sin(-)=sincos(-)=-cos公式五是：sin(360-)=-sincos(360-)=cos用弧度制可表示如下：sin(2-)=-sincos(2-)=cos这两组公式均可由前面学过的诱导公式干脆推出（公式四可由公式二、三推出，公式五可由公式一、三推出），体现了把未知问题化为已知问题处理这一化归的数学思想公式的推导并不难，然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的3关于用一句话概括五组诱导公式的问题五组诱

16、导公式可概括为：+k360（kZ），-，180，360-的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号这里的“同名三角函数值”是指等号两边的三角函数名称相同；“把看成锐角”是指原本是随意角，这里只是把它视为锐角处理；“前面加上一个符号”是指的同名函数值未必就是最终结果，前面还应添上一个符号（正号或负号，主要是负号，正号可省略），而这个符号是把随意角视为锐角状况下的原角原函数的符号教学时应留意讲清这句话中每一词语的含义，特殊要讲清为什么要把随意角看成锐角建议通过实例分析说明 正弦、余弦的诱导公式典型例题 正弦、余弦的诱导公式例题讲析例1求下列三角函数的值(1)sin240

17、；(2)；(3)cos(-252)；(4)sin（-）解：（1）sin240=sin(180+60)sin60=(2)=cos=；(3)cos(-252)=cos252=cos(180+72)=cos72=0.3090；(4)sin（-）=sin=sin=sin=说明：本题是诱导公式二、三的干脆应用通过本题的求解，使学生在利用公式二、三求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练本例中的（3）可运用计算器或查三角函数表 例2求下列三角函数的值(1)sin(-11945)；(2)cos；(3)cos(-150)；(4)sin.解：(1)sin(11945)=sin11945=sin(180-6015

18、)=sin6015=0.8682(2)cos=cos()=cos=(3)cos(-150)=cos150=cos(180-30)=cos30=；(4)sin=sin()=sin=.说明：本题是公式四、五的干脆应用，通过本题的求解，使学生在利用公式四、五求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练本题中的（1）可运用计算器或查三角函数表例3求值：sincossin略解：原式=-sin-cos-sin=-sin-cos+sin=sin+cos+sin=+0.3090=1.3090.说明：本题考查了诱导公式一、二、三的应用，弧度制与角度制的换算，是一道比例1略难的小综合题利用公式求解时，应留意符号 例4

19、求值：sin(-1200)cos1290+cos(-1020)sin(-1050)+tan855.解：原式sin(120+3360)cos(210+3360)+cos(300+2360)-sin(330+2360)+tan(135+2360)sin120cos210cos300sin330+tan135sin(18060)cos(180+30)cos(36060)sin(360-30)+=sin60cos30+cos60sin30tan45=+-1=0说明：本题的求解涉及了诱导公式一、二、三、四、五以及同角三角函数的关系与前面各例比较，更具有综合性通过本题的求解训练，可使学生进一步娴熟诱导公式

20、在求值中的应用值得指出的是教材中的诱导公式未介绍正切，因此，计算tan135的值时应先用商数关系把tan135改写成,再将分子分母分别用诱导公式进而求出tan135的值 例5化简：.略解：原式=1.说明：化简三角函数式是诱导公式的又一应用，应当熟识这种题型 例6化简：解：原式=.说明：本题可视为例5的姐妹题，相比之下，难度略大于例5求解时应留意从所涉及的角中分别出2的整数倍才能利用诱导公式一 例7求证：证明：左边=，右边=，所以，原式成立 例8求证证明：左边tan3右边，所以，原式成立说明：例7和例8是诱导公式及同角三角函数的基本关系式在证明三角恒等式中的又一应用，具有肯定的综合性尽管问题是以

21、证明的形式出现的，但其本质是等号左、右两边三角式的化简 例9已知求：的值解：已知条件即，又，所以：=说明：本题是在约束条件下三角函数式的求值问题由于给出了角的范围，因此，的三角函数的符号是肯定的，求解时既要留意诱导公式本身所涉及的符号，又要留意依据的范围确定三角函数的符号 例10已知,求:的值.解：由，得，所以故=1tan2tan2=1+.说明：本题也是有约束条件的三角函数式的求值问题，但比例9要困难一些它对于学生娴熟诱导公式及同角三角函数关系式的应用提高运算实力等都能起到较好的作用 例11已知的值解：因为，所以：=m由于所以于是：=，所以：tan(=.说明：通过视察，获得角与角之间的关系式=

22、-（），为顺当利用诱导公式求cos()的值奠定了基础，这是求解本题的关键，我们应当擅长引导学生视察，充分挖掘的隐含条件，努力为解决问题找寻突破口，本题求解中一个显明的特点是诱导公式中角的结构要由我们通过对已知式和欲求之式中角的视察分析后自己构造出来，在思维和技能上明显都有较高的要求，给我们全新的感觉，它对于培育学生思维实力、创新意识，训练学生素养有着很好的作用 例12已知cos，角的终边在y轴的非负半轴上，求cos的值解：因为角的终边在y轴的非负半轴上，所以：=，于是2（）=从而所以=说明：本题求解中，通过对角的终边在y轴的非负半轴上的分析而得的=，还不能立刻将未知与已知沟通起来然而，当我们通过视察，分析角的结构特征，并将它表示为2（）后，再将=代入，那么未知和已知之间随即架起了一座桥梁，它为利用诱导公式快速求值扫清了障碍通过本题的求解训练，对于培育学生的视察分析实力以及思维的敏捷性和创建性必将大有裨益 第13页 共13页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页