高二数学《抛物线中的焦点弦问题》集体备课.docx

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1、高二数学抛物线中的焦点弦问题集体备课高二数学下册抛物线学问点总结 高二数学下册抛物线学问点总结 抛物线的性质： 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x=-b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特殊地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P(-b/2a，(4ac-b2)/4a) 当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a确定抛物线的开口方向和大小。 当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同确定对称轴的位置。

2、 当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。 5.常数项c确定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于(0，c) 6.抛物线与x轴交点个数 =b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。 =b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 =b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-bb2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a) 焦半径： 焦半径：抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F p2，0的距离|PF|x0p2. 求抛物线方程的方法： (1)定义法：依据条件确定动点满意的几何特征，从而确定p的值，得到抛

3、物线的标准方程 (2)待定系数法：依据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要留意抛物线标准方程有四种形式从简洁化角度动身，焦点在x轴的，设为y2ax(a0)，焦点在y轴的，设为x2by(b0) 练习题： 设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,准线为l,AC,已知以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点.BFD=90,ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程。 【解析】因为以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点, 所以BFD为等腰直角三角形,故斜边|BD|=2p, 又点A到准线l的距离d=|FA|=|FB|=p, 所以SABD=4=|BD|d=2pp, 所以p=2. 所以圆F的圆心

4、为(0,1),半径r=|FA|=2, 圆F的方程为x2+(y-1)2=8. 高考数学抛物线复习教案 1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线2抛物线的图形和性质：顶点是焦点向准线所作垂线段中点。焦准距：通径：过焦点垂直于轴的弦长为。顶点平分焦点到准线的垂线段：。焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。全部这样的圆过定点F、准线是公切线。焦半径为直径的圆：以焦半径FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。全部这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直

5、径的圆必与准线相切。全部这样的圆的公切线是准线。3抛物线标准方程的四种形式：4抛物线的图像和性质：焦点坐标是：，准线方程是：。焦半径公式：若点是抛物线上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：，焦点弦长公式：过焦点弦长抛物线上的动点可设为P或或P5一般状况归纳：方程图象焦点准线定义特征y2=kxk0时开口向右(k/4,0)x=k/4到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x=k/4的距离k0时开口向左x2=kyk0时开口向上(0,k/4)y=k/4到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y=k/4的距离k0时开口向下抛物线的定义：例1：点M与点F(4，0)的距离比它到直线l：x6=0的距离4

6、.2，求点M的轨迹方程分析：点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等，符合抛物线定义答案：y2=16x例2：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长分析：这是敏捷运用抛物线定义的题目基本思路是：把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和解：如图831，y2=4x的焦点为F(1，0)，则l的方程为y=x1由消去y得x26x+1=0设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1+x2=6又A、B两点到准线的距离为，则点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。例3:(1)已知抛物线的标准方程是y2=10x，求它的焦点坐标和

7、准线方程；(2)已知抛物线的焦点是F(0，3)求它的标准方程；(3)已知抛物线方程为y=mx2(m0)求它的焦点坐标和准线方程；(4)求经过P(4，2)点的抛物线的标准方程；分析：这是为驾驭抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求P值(留意p0)特殊是(3)题，要先化为标准形式：，则(4)题满意条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解答案：(1)，(2)x2=12y(3)，；(4)y2=x或x2=8y例4求满意下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点（3，2）；（2）焦点在直线x2y4=0上分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定

8、一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应绽开相应的探讨解：（1）设所求的抛物线方程为y2=2px或x2=2py（p0），过点（3，2），4=2p（3）或9=2p2p=或p=所求的抛物线方程为y2=x或x2=y，前者的准线方程是x=，后者的准线方程是y=（2）令x=0得y=2，令y=0得x=4，抛物线的焦点为（4，0）或（0，2）当焦点为（4，0）时，=4，p=8，此时抛物线方程y2=16x；焦点为（0，2）时，=2，p=4，此时抛物线方程为x2=8y所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=8y，对应的准线方程分别是x=4，y=2 常用结论过抛物线y22px的焦点

9、F的弦AB长的最小值为2p设A(x1，y)，1B(x2，y2)是抛物线y22px上的两点，则AB过F的充要条件是y1y2p2设A，B是抛物线y22px上的两点，O为原点，则OAOB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0) 例5：过抛物线y2=2px(p0)的顶点O作弦OAOB，与抛物线分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：y1y2=4p2分析：由OAOB，得到OA、OB斜率之积等于1，从而得到x1、x2，y1、y2之间的关系又A、B是抛物线上的点，故(x1，y1)、(x2，y2)满意抛物线方程从这几个关系式可以得到y1、y2的值证：由OAOB，得，即y1y2=x1x2，又，所以

10、：，即而y1y20所以y1y2=4p2弦的问题例1A,B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，满意OAOB(O为坐标原点)求证：(1)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB经过一个定点(3)作OMAB于M，求点M的轨迹方程解：(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=2px1,y22=2px2,y12y22=4p2x1x2,OAOB,x1x2+y1y2=0,由此即可解得：x1x2=4p2,y1y2=4p2(定值)(2)直线AB的斜率k=,直线AB的方程为yy1=(x),即y(y1+y2)y1y2=2px,由(1)可得y=(x2p),直线AB过定点C(2p,0)(3

11、)解法1:设M(x,y),由(2)知y=(x2p)(i),又ABOM,故两直线的斜率之积为1,即=1(ii)由(i),(ii)得x22px+y2=0(x0)解法2:由OMAB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点)马上可求出例2定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标解：如图，设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则x=,y=,又设点A，B，M在准线:x=1/4上的射影分别为A/,B/,M/,MM/与y轴的交点为N，则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,x=(x1+x2

12、)=(|AF|+|BF|)(|AB|)=等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x)由得16k2x28(k2+2)x+k2=0依题意|AB|=|x1x2|=3,k2=1/2,此时x=(x1+x2)=y=即M(,),N(,)例3设一动直线过定点A(2,0)且与抛物线相交于B、C两点,点B、C在轴上的射影分别为,P是线段BC上的点,且适合,求的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形解析:设,由得又代入式得由得代入式得:由得或,又由式知关于是减函数且,且所以Q点轨迹为一线段(抠去一点):(且)例4已知抛物线,焦点为F,始终线与抛物线交于A、B两点,且,且AB的垂直平分线恒过定点S(

13、6,0)求抛物线方程;求面积的最大值解:设,AB中点由得又得所以依题意,抛物线方程为由及,令得又由和得:例5定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标解：如图，设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则x=,y=,又设点A，B，M在准线:x=1/4上的射影分别为A/,B/,M/,MM/与y轴的交点为N，则|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|)(|AB|)=等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x)由得16k2x28(k2+2)x+k2

14、=0依题意|AB|=|x1x2|=3,k2=1/2,此时x=(x1+x2)=y=即M(,),N(,) 综合类(几何)例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴？解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进行比较，假如相等，则MQ/x轴，为此，将方程联立，解出直线OP的方程为即令，得M点纵坐标得证由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐思路二：利用命题“假如过抛物线的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为、，那么”来证设、，并从及中消去x，得到，则有结论，即又直线OP的方程为，得因为在抛物线上，所以从而这一证法运算较

15、小思路三：直线MQ的方程为的充要条件是将直线MO的方程和直线QF的方程联立，它的解（x,y）就是点P的坐标，消去的充要条件是点P在抛物线上，得证这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小说明：本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在），简单证明成立例2已知过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求RAB的最大面积分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以为三角形的底，只要确定高的最大值即可解：设AB所在的直线方程为将其代入抛物线方程，消去x得当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，RAB的面积有最大值设直

16、线l方程为代入抛物线方程得由得，这时它到AB的距离为RAB的最大面积为例3直线过点，与抛物线交于、两点，P是线段的中点，直线过P和抛物线的焦点F，设直线的斜率为k（1）将直线的斜率与直线的斜率之比表示为k的函数；（2）求出的定义域及单调区间分析：过点P及F，利用两点的斜率公式，可将的斜率用k表示出来，从而写出，由函数的特点求得其定义域及单调区间解：（1）设的方程为：，将它代入方程，得设，则将代入得：，即P点坐标为由，知焦点，直线的斜率函数（2）与抛物线有两上交点，且解得或函数的定义域为当时，为增函数例4如图所示：直线l过抛物线的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两点，求证：对于这抛物线的任何给定

17、的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可依据垂直且平分列方程得冲突结论；别一方面也可以依据l上任一点到C、D距离相等来得冲突结论证法一：假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线l与抛物线交于A、B两点，所以直线l的斜率存在，且不为零；直线CD的斜率存在，且不为0设C、D的坐标分别为与则l的方程为直线l平分弦CDCD的中点在直线l上，即，化简得：由知得到冲突，所以直线l不行能是抛物线的弦CD的垂直平分线证法二：假设直线l是弦CD的垂直平分线焦点F在直线l上，由抛物线定义，到抛物线的准线的距离相等，CD的垂直平分线l：与直线l和抛物线有两上交点

18、冲突，下略例5设过抛物线的顶点O的两弦OA、OB相互垂直，求抛物线顶点O在AB上射影N的轨迹方程分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点；待求得的关系后再用动点坐标来表示，也可结合几何学问，通过奇妙替换，简化运算解法一：设则：，即，把N点看作定点，则AB所在的直线方程为：明显代入化简整理得：，由、得：，化简得用x、y分别表示得：解法二：点N在以OA、OB为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设，则以OA为直径的圆方程为：设，OAOB，则在求以OB为直径的圆方程时以代，可得由得：例6如图所示，直线和相交于点M，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若AMN为锐

19、角三角形，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满意的抛物线方程解：以为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系由题意，曲线段C是N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点设曲线段C满意的抛物线方程为：其中、为A、B的横坐标令则，由两点间的距离公式，得方程组：解得或AMN为锐角三角形，则，又B在曲线段C上，则曲线段C的方程为例7如图所示，设抛物线与圆在x轴上方的交点为A、B，与圆在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点（1）求（2）求ABQ面积的最大

20、值分析：由于P、Q均为弦AB、CD的中点，故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标，由两点距离公式即可求出解：（1）设由得：，由得，同类似，则，（2），当时，取最大值例8已知直线过原点，抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴上，且点和点关于直线的对称点都在上，求直线和抛物线的方程分析：设出直线和抛物线的方程，由点、关于直线对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程或设，利用对称的几何性质和三角函数学问求解解法一：设抛物线的方程为，直线的方程为，则有点，点关于直线的对称点为、，则有解得解得如图，、在抛物线上两式相除，消去，整理，得，故，由，得把代入，得直线的方程为，抛物线的方程为解法二：设点、关于的对称

21、点为、，又设，依题意，有，故，由，知，又，故为第一象限的角、将、的坐标代入抛物线方程，得，即从而，得抛物线的方程为又直线平分，得的倾斜角为直线的方程为说明：(1)本题属于点关于直线的对称问题解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大，若不细致、镇静，难于解得正确结果解法二是利用对称图形的性质来解，它的技巧性较强，一时难于想到(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法，须要重点驾驭例9如图，正方形的边在直线上，、两点在抛物线上，求正方形的面积分析：本题考查抛物线的概念及其位置关系，方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及分

22、析问题、解决问题的实力解：直线，设的方程为，且、由方程组，消去，得，于是，(其中)由已知，为正方形，可视为平行直线与间的距离，则有，于是得两边平方后，整理得，或当时，正方形的面积当时，正方形的面积正方形的面积为18或50说明：运用方程（组）的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法，本题应充分考虑正方形这一条件例10设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，求这彗星与地球的最短距离分析：利用抛物线有关性质求解解：如图，设彗星轨道方程为，焦点为，彗星位于点处直线的方程为解方程组得，故

23、故，得由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点，所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点焦点到抛物线顶点的距离为，所以彗星与地球的最短距离为或，（点在点的左边与右边时，所求距离取不同的值）说明：(1)此题结论有两个，不要漏解；(2)本题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点，其证明如下：设为抛物线上一点，焦点为，准线方程为，依抛物线定义，有，当时，最小，故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点例11如图，抛物线顶点在原点，圆的圆心是抛物线的焦点，直线过抛物线的焦点，且斜率为2，直线交抛物线与圆依次为、四点，求的值分析：本题考查抛物线的定义，圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题

24、的实力，本题的关键是把转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题解：由圆的方程，即可知，圆心为，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为，设抛物线方程为，为已知圆的直径，则设、，而、在抛物线上，由已知可知，直线方程为，于是，由方程组消去，得，因此，说明：本题假如分别求与则很麻烦，因此把转化成是关键所在，在求时，又奇妙地运用了抛物线的定义，从而避开了一些繁杂的运算11.已知抛物线y2=2px(p0)，过焦点F的弦的倾斜角为(0),且与抛物线相交于A、B两点.（1）求证：|AB|=;(2)求|AB|的最小值.（1）证明：如右图，焦点F的坐标为F（,0）.设过焦点、倾斜角为的直线方程为y=

25、tan（x-）,与抛物线方程联立，消去y并整理，得tan2x2-(2p+ptan2)x+=0.此方程的两根应为交点A、B的横坐标，依据韦达定理，有x1+x2=.设A、B到抛物线的准线x=-的距离分别为|AQ|和|BN|，依据抛物线的定义，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p=.（2）解析：因|AB|=的定义域是0，又sin21，所以，当=时，|AB|有最小值2p.12.已知抛物线y2=2px(p0)的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分，求证：为定值，本题若推广到椭圆、双曲线，你能得到什么结论？解析：（1）当ABx轴时，m=n=p，=.（2）当AB不垂直于x轴时

26、，设AB:y=k(x-),A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,m=+x1,n=+x2.将AB方程代入抛物线方程，得k2x2-(k2p+2p)x+=0,=.本题若推广到椭圆，则有=（e是椭圆的离心率）；若推广到双曲线，则要求弦AB与双曲线交于同一支，此时，同样有=(e为双曲线的离心率).13.如右图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且?|MA|=|MB|.（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且EMF=90，求EMF的重心G的轨迹方程.（1）证明：设M（y02,y0），直线ME的斜率为?k(k0),则直线MF

27、的斜率为-k，直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).由得ky2-y+y0(1-ky0)=0.解得y0yE=,yE=,xE=.同理可得yF=,xF=.kEF=（定值）.（2）解析：当EMF=90时，MAB=45，所以k=1，由（1）得E（1-y0）2,（1-y0)）F（1+y0）2,-(1+y0)）.设重心G（x,y），则有消去参数y0,得y2=(x0).14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1,-3）、N（5，1），若点C满意=?t+(1-t)(tR),点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点.（1）求证：;(2)在x轴上是否存在一点P（m,0），使得过点P任作抛物线的一

28、条弦，并以该弦为直径的圆都过原点.若存在，恳求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.（1）证明：由=t+(1-t)(tR)知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：y+3=(x-1),即y=x-4.由(x-4)2=4xx2-12x+16=0.x1x2=16，x1+x2=12，y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16.x1x2+y1y2=0.故.（2)解析：存在点P（4，0），使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点.由题意知：弦所在的直线的斜率不为零，故设弦所在的直线方程为：x=ky+4，代入y2=x，得y2-4ky-1

29、6=0,y1+y2=4k,y1y2=-16.kOAkOB=-1.OAOB,故以AB为直径的圆都过原点.设弦AB的中点为M(x,y)，则x=(x1+x2),y=(y1+y2).x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k(4k）+8=4k2+8.弦AB的中点M的轨迹方程为：消去k，得y2=2x-8. 抛物线的简洁几何性质 2.3.2抛物线的简洁几何性质（一）教学目标：1驾驭抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2能依据抛物线的几何性质对抛物线方程进行探讨，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3在对抛物线几何性质的探讨中，留意数与形的结合与转化.（二）教学重点：抛物线的几何

30、性质及其运用（三）教学难点：抛物线几何性质的运用（四）教学过程：一、复习引入：（学生回顾并填表格）1抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.图形 方程 焦点 准线 2抛物线的标准方程：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数肯定值的，即.不同点：(1)图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为，左端为.（2）开口方向在x轴（或y轴）正向时

31、，焦点在x轴（或y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在x轴（或y轴）负向时，焦点在x轴（或y轴）负半轴时，方程右端取负号.二、讲解新课：类似探讨双曲线的性质的过程，我们以为例来探讨一下抛物线的简洁几何性质：1范围因为p0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满意不等式x0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延长2对称性以y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴3顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点4离心率抛物线上的点M与焦点的

32、距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示由抛物线的定义可知，e=1对于其它几种形式的方程，列表如下：（学生通过比照完成下表）标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率 留意强调的几何意义：是焦点到准线的距离.思索：抛物线有没有渐近线？（体会抛物线与双曲线的区分）三、例题讲解：例1已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p解：由题意，可设抛物线方程为，因为它过点，所以，即因此，所求的抛物线方程为将已知方程变形为，依据计算抛物线在的范围内几个点的坐标，得x01234y022.83.54描点画出抛物线的

33、一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分点评：在本题的画图过程中，假如描出抛物线上更多的点，可以发觉这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延长，但并不能像双曲线那样无限地接近于某始终线，也就是说，抛物线没有渐近线例2斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.解法1：如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F（1，0），准线方程x=1.由题可知，直线AB的方程为y=x1代入抛物线方程y2=4x，整理得：x26x+1=0解上述方程得x1=3+2,x2=32分别代入直线方程得y1=2+2,y2=22即A、B的坐标分别为（3+2，2+2），（32，22）|A

34、B|=解法2：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1+x2=6,x1x2=1|AB|=|x1x2|解法3：设A（x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x=1的距离|AA|即|AF|=|AA|=x1+1同理|BF|=|BB|=x2+1|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8点评：解法2是利用韦达定理根与系数的关系，设而不求，是解析几何中求弦长的一种普遍适用的方法；解法3充分利用了抛物线的定义，解法简洁，值得引起重视。变式训练：过抛物线的焦点作直线，交抛物线于,两点，若，求。解：，。点评：由以上例2以及变式训练可总结出焦点弦弦长：或。四、达标练习：1

35、过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，假如，那么=（）（A）10（B）8（C）6（D）42已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（）（A）3（B）4（C）5（D）63过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是_4.定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到轴距离的最小值，并求出此时中点的坐标.参考答案：1.B2.B3.4.,M到轴距离的最小值为.五、小结：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等.六、课后作业：1依据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点

36、（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，3）到焦点距离为52过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2、B2，则A2FB2等于.3抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程4以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长5有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？习题答案：1（1）y232x（2）x28y（3）x28y2903x216y45米七、板书设计（略） 作抛物线的切线 问题探究求作抛物线的切线典例剖析题型一平均改变率例1：在曲线的图象

37、上取一点(1,2)及邻近一点（1，2y）求解：y=-(+1)=+2，=+2评析：平均改变率题型二抛物线的切线例2.求抛物线y=f(x)=2-x在（1，1）点处的切线斜率解：=3+2，令趋于0，则3+2趋于3.切线的斜率k=3,评析：以上三种类型的问题中例1是平均改变率，而例2与例3都是瞬时改变率。瞬时改变率就是平均改变率在变更量趋于0时的极限值。备选题例3：曲线在点P的切线斜率为2,求点P的坐标.解：设则点评：直线与抛物线相切,一般的解题方法是将直线方程代入抛物线方程消元,利用求解.点击双基1.抛物线f(x)=x23x+1在点（1，1）处的切线方程为（）Ay=-x1By=xCy=xDy=x+1

38、解：=-1+,当x趋于0时,得切线斜率k=-1，切线方程为y+1=-1(x-1)，故选C 2.若抛物线y=+1的一条切线与直线y=2x-1平行，则切点坐标为（）A（1，1）B（1，2）C（2，5）D（3，10）解：平均改变率=2x+,所以斜率k=2x=2,得x=1,Y=1.故选A3过点M（1，0）作抛物线的切线，则切线方程为（）（A）3x+y+3=0或（B）或（C）（D）解：设切点N（a,b）,则切线斜率k=2a+1=,得a=0或a=-2切线斜率k=1或k=-3，故选A4.已知曲线上有两点A（2,0），B（-2,-8），则割线AB的斜率为解：由斜率公式求得=25已知曲线在点M处的瞬时改变率为-

39、4，则点M的坐标是为解：，点M的坐标是（-1，3）课外作业：一选择题1、若曲线斜率（）A大于0B小于0C等于0D符号不定解：由切线方程得斜率为-10，故选B2、已知曲线过点,则该曲线在该点处的切线方程为（）ABCD解：先将点代入得,然后求切线斜率，故选B3、若曲线y=-+4x的一条切线与直线2x-y-5=0平行，则的方程为（）A.2x-y-4=0B.2x+y=0C.2x-y+1=0D.2x+y-5=0解：易得(x)=-2x+4,则-2x+4=2，得x=1；切点（1，3），切线斜率k=2;故选C4、若曲线f(x)=的一条切线与直线垂直，则的方程为()A4x-y-4=0BCD解：易得(x)=2x，

40、则2x=4,x=2；切点（2，4），切线斜率k=4，故选A，5、已知直线与抛物线y=+a相切，则a=()A.4B.-C.-D.解;=2x+,(x)=2x=1,得x=.切点（，+a）在切线上，a=-.故选B6、曲线f(x)=在点（1，5）处的切线斜率为()Ak=3Bk=3Ck=4Dk=4解：平均改变率=x-4.当x趋向0时，平均改变率趋于-4，故选C7、函数yx21的图象与直线yx相切，则()ABCD1解：把两个解析式联立得方程x2-x1=0,由=0即得，故选B8、过点（1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（）（A）（B）（C）（D）解：，设切点坐标为，则切线的斜率为2，且，于是切线方程为，

41、因为点（1，0）在切线上，可解得0或4，故选D。二填空题：9、设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则解：，于是切线的斜率，有 10、曲线y=-3的一条切线的倾斜角为，则切点坐标为解：=2x=tan=,x=,则切点坐标为（，）11、设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为解：设切点的横坐标为,且（为点P处切线的倾斜角），又，三解答题：12.求抛物线y=f(x)=2-x在（1，1）点处的切线斜率.解：=3+2，令趋于0，则3+2趋于3.切线的斜率k=3,13、曲线在点P的切线斜率为2,求点P的坐标.解：设14、已知抛物线y=f(x)=+3与直线y=2

42、x+2,求它们交点处的切线方程。解由方程组得-2x+1=0解得x=1,y=4,交点坐标为（1，4）又=+2.当趋于0时（+2.）趋于2.所以在点（1，4）处的切线斜率K=2.所以切线方程为y-4=2(x-1)即y=2x+2(不难发觉对于-2x+1=0，因为=0，所以已知的直线y=2x+2,就是切线.)思悟小结曲线上一点P(u，f(u)处的切线方程当割线PQ的斜率为趋于确定的数值时，就是曲线上点P处切线的斜率，则曲线上点P(u，f(u)处的切线方程为。 第22页 共22页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页