《现代控制理论（第3版）》课后习题答案.docx

《《现代控制理论（第3版）》课后习题答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《现代控制理论（第3版）》课后习题答案.docx（43页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、现代控制理论（第3版）课后习题答案现代限制理论参考答案 第一章答案1-1 试求图 1-27 系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。11K s KKp+sK s K p1+s J 11sKn22 sJK b-+ +-+-) (s q ) (s U图 图1-27 系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下：) (s U ) (s q-+ + +图 图1-30 双输入- 双输出系统模拟结构图1KpKK 1pKK 1+pKnK 11J2JK b -1x2x3x4x5x6x 系统的状态方程如下：uKKxKKxKKxX K x K xx xxJKxJxJKxJKxxJKxx xp p ppnpb1611

2、166 1 3 1 53 46151413133222 11+ - - =+ - =+ + - - = 令 y s = ) ( q ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 =+- - -=65432116543211 11 11 1 126543210 0 0 0 0 1000000 0 0 00 0 0 00 0 0 1 0 010 00 0 0 0 00 0 0 0 1 0xxxxxxyuKKxxxxxxKKKKK KJKJ JKJKJKxxxxxxpp ppnpb1-2 有电路如图 1-28 所示。以电压 ) (t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状

3、态变量的状态方程，和以电阻2R上的电压作为输出量的输出方程。R1 L1R2L2CU-Uc-i1 i2图1-28 电路图解：由图，令3 2 2 1 1, , x u x i x ic= = = ，输出量2 2 xR y =有电路原理可知：+ = += + +3 2 13 2 2223 1 1 1 1x C x xx x R x Lu x x L x R既得 2 22 1 332222213111111 111 1x R yxCxCxxLxLRxuLxLxLRx=+ - =+ - =+ - - = 写成矢量矩阵形式为： =+- -=321213212 221 113210 000101 11010

4、xxxR yuLxxxC CL LRL LRxxx。1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图 1-30 所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。11a3a4a2b1b 1u2u1y2y+ -+5a6a2a图 图1-30 双输入- 双输出系统模拟结构图解：系统的状态空间表达式如下所示： =+- - - - -=43212143213 4 56 1 243210 1 0 100 000 001 0 0 100 0 1 0xxxxyubbxxxxa a aa a axxxx& - -+-= -3 4 56 1 201 0 100 0 1) (a a asa a s

5、asA sI- -+-= - =-2113 4 56 1 2 100 000 001 0 100 0 1) ( ) (bba a asa a s asB A sI s W ux - -+-= - =-2113 4 56 1 2 100 000 001 0 100 0 10 1 0 1 ) ( ) (bba a asa a s asB A sI C s W uy 1-5 系统的动态特性由下列微分方程描述 u u u y y y y 2 3 3 7 5 ) 2 (. . . .+ + = + + +K 列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令.3.2 1y x y x y x =

6、 = = ， ， ，则有 =+- - -=3213213211 3 21005 7 31 0 00 1 0xxxyuxxxxxx。相应的模拟结构图如下：573 uy+-31x2x3x21 1-6 （2）已知系统传递函数2) 3 )( 2 () 1 ( 6) (+ +=s s sss W ,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图 解：s s s s s s sss W31233310) 3 (4) 3 )( 2 () 1 ( 6) (2 2+-+-=+ +=- - =+-=432143214321313310411100 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 1 3xxxx

7、yuxxxxxxxx& 1-7 给定下列状态空间表达式 =+- - - =3213213211 0 02103 1 10 3 20 1 0xxxyuxxxxxx& （1）画出其模拟结构图 （2）求系统的传递函数 解：（2）+ -+-= - =3 1 10 3 20 1) ( ) (sssA sI s W) 1 )( 2 )( 3 ( ) 3 ( 2 ) 3 (2+ + + = + + + = - s s s s s s A sI( )+ + - - -+ + -+ + + += -) 2 )( 1 ( 1 50 ) 3 ( ) 3 ( 20 3 3) 1 )( 2 )( 3 (1) (21s

8、s s ss s ss ss s sA sI( )+ + + +=+ + - - -+ + -+ + + += - =-) 3 )( 1 2 () 3 () 3 () 1 )( 2 )( 3 (1210) 2 )( 1 ( 1 50 ) 3 ( ) 3 ( 20 3 3) 1 )( 2 )( 3 (1) ( ) (21s ss sss s ss s s ss s ss ss s sB A sI s W ux ) 1 )( 2 () 1 2 () 1 )( 2 )( 3 (1) 3 )( 1 2 () 3 () 3 (1 0 0 ) ( ) (1+ +=+ + + += - =-s sss s

9、ss ss ssB A sI C s W uy1-8 求下列矩阵的特征矢量 （3）- - -=6 7 122 0 30 1 0A解：A 的特征方程0 6 11 66 7 122 30 12 3= + + + =+- -= - l l lllll A I解之得：3 , 2 , 13 2 1- = - = - = l l l当 11- = l 时，- =- - -3121113121116 7 122 0 30 1 0pppppp解得：11 31 21p p p - = = 令 111 =p 得- =1113121111pppP（或令 111- = p ，得-=1113121111pppP ）当

10、21- = l 时，- =- - -32221232221226 7 122 0 30 1 0pppppp 解得：12 32 12 2221, 2 p p p p = - = 令 212= p 得- =1423222122pppP（或令 112= p ，得- =21213222122pppP ）当 31- = l 时，- =- - -33231333231336 7 122 0 30 1 0pppppp 解得：13 33 13 233 , 3 p p p p = - = 令 113= p 得- =3313323133pppP 1-9 将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）=+-=

11、321213213211 1 00 2 13 57 21 33 1 12 0 12 1 4xxxyyuxxxxxx& 解：A 的特征方程0 ) 3 )( 1 (3 1 12 12 1 42= - - =- - - -= - l lllll A I1 , 33 2 , 1= = l l当 31 =l 时，=-31211131211133 1 12 0 12 1 4pppppp 解之得 11 31 21p p p = = 令 111 =p 得=1113121111pppP当 32= l 时，+=-11133 1 12 0 12 1 4312111312111pppppp 解之得 32 22 22

12、12, 1 p p p p = + = 令 112= p 得=0013222122pppP当 13 =l 时，=-3323133323133 1 12 0 12 1 4pppppp 解之得 33 23 132 , 0 p p p = =令 133= p 得=1203323133pppP =1 0 12 0 10 1 1T-=-1 1 02 1 12 1 01T -=-=-4 32 51 83 57 21 31 1 02 1 12 1 01 BT =3 0 24 1 31 0 12 0 10 1 11 1 00 2 1CT 约旦标准型 xyu xx=-+=3 0 24 1 34 32 51 81

13、 0 00 3 00 1 3&1-10 已知两系统的传递函数分别为 W 1 (s)和 W 2 (s)+ +=2102111) (1sss ss W+ +=0114131) (2ss ss W试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并探讨所得结果解：（1）串联联结 + + + + + + +=+ + += =) 2 )( 1 (1) 1 (1) 4 )( 3 )( 2 (7 5) 3 )( 1 (121021110114131) ( ) ( ) (221 2s s ss s ss ss ssss sss ss W s W s W（2）并联联结 + + += =011413121021

14、11) ( ) ( ) (1 1ss ssss ss W s W s W1-11 （第 3 版教材）已知如图 1-22 所示的系统，其中子系统 1、2 的传递函数阵分别为 +-+=210111) (1ss ss W=1 00 12) s ( W求系统的闭环传递函数 解：+-+=+-+=2101111 00 1210111) ( ) (21 1ss sss ss W s W+-+=+-+ = +2301121 00 1210111) ( ) (1sss ssss sI s W s W I +=+= +-320) 3 (12112012331) ( ) (12 1sss sssssss sssss

15、 W s W I +-+=+-+ +=+-+= + =-310) 3 (1211101) 1 )( 2 (3312111112012331) ( ) ( ) ( ) (112 1ss sssss s sssssss ssss sssss W s W s W I s W1-11（第 2 版教材）已知如图 1-22 所示的系统，其中子系统 1、2 的传递函数阵分别为+-+=2121111ss s) s ( W=1 00 12) s ( W求系统的闭环传递函数 解：+-+=+-+=2121111 00 12121111 1ss sss s) s ( W ) s ( W+-+=+-+= +232112

16、1 00 12121111 1sss ssss s) s ( W ) s ( W I +-+ += +-1221232 51211 1sss sss s) s ( s) s ( W ) s ( W I + +-+ + + + +-+ + + +=+ -+-+- + +=+-+-+ += + =-2 52) 2 5 )( 2 (6 62 51) 2 5 ( ) 2 () 8 3 ( ) 1 (11 21) 2 ( 222) 2 (1) 2 (3 2) 2 (32 5) 1 (211211221232 5) 1 () ( ) ( ) ( ) (2 22 32 2 22222111 1s sss s

17、 ss s ss sss s ss ss s ssss s s sss sss ss ssss ssss sss ss ss W s W s W I s W1-12 已知差分方程为 ) ( 3 ) 1 ( 2 ) ( 2 ) 1 ( 3 ) 2 ( k u k u k y k y k y + + = + + + +试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数 u 的系数 b(即限制列阵)为 （1）=11b 解法 1：21112 33 2) (2+=+ +=z z z zzz W) (11) (2 00 1) 1 ( k u k x k x+-= + ) ( 1 1 ) ( k x k y =解

18、法 2：) ( 2 ) ( 3 ) () ( 3 ) ( 2 ) 1 () ( ) 1 (2 12 1 22 1k x k x k yu k x k x k xk x k x+ =+ - - = += + ) ( 2 3 ) () (10) (3 21 0) 1 (k x k yk u k x k x=+- -= + 求 T,使得=-111 BT得=-1 01 11T所以 -=1 01 1T - -= - -=-1 50 41 01 13 21 01 01 11 ATT 1 31 01 12 3 - = -= CT所以，状态空间表达式为 ) ( 1 3 ) () (11) (1 50 4) 1

19、 (k z k yk u k z k z- =+- -= + 其次章习题答案 2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数Ate 。（2）A=1 14 1 解：第一种方法：令0 I A l - =则 1 104 1ll- -=- - ，即 ( )21 4 0 l - - = 。求解得到13 l = ，21 l = -当13 l = 时，特征矢量11121ppp = 由 1 1 1Ap p l = ，得11 1121 213 1 13 4 1p pp p = 即11 21 1111 21 2134 3p p pp p p+ = + =，可令112p = 当21 l = - 时，特征矢量12222ppp

20、 = 由2 2 2Ap p l = ，得12 1222 221 14 1p pp p- = - 即12 22 1212 22 224p p pp p p+ = - + = - ，可令212p = - 则1 12 2T = - ，11 12 41 12 4T- = - 3 333 31 1 1 1 1 11 1 02 4 2 2 4 42 2 1 1 1 1 02 4 2 2t t t ttAttt t t te e e eeeee e e e- - - + - = = - - + + 其次种方法，即拉氏反变换法：1 14 1ssI As- - - = - - ( )( )11 114 1 3

21、1ssI As s s- - = - - + ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )1 13 1 3 14 13 1 3 1ss s s sss s s s- - + - + = - - + - + 1 1 1 1 1 12 3 1 4 3 11 1 1 1 13 1 2 3 1s s s ss s s s + + - + - + = - + - + - + ( )3 3113 31 1 1 12 2 4 41 12 2t t t tAtt t t te e e ee L sI Ae e e e- - - + - = -= - + 第三种方法，即凯莱哈密顿定理 由第一种方法可知1

22、3 l = ，21 l = -313 30311 3 1 31 34 4 4 41 1 1 1 1 14 4 4 4t tt tt tt te ee ee ee e- - + = = = - - - 3 33 33 31 1 1 11 0 1 11 3 1 32 2 4 40 1 4 1 1 1 4 4 4 42 2t t t tAt t t t tt t t te e e ee e e e ee e e e- - - - + - = + + += - + 2-5 下列矩阵是否满意状态转移矩阵的条件，假如满意，试求与之对应的 A 阵。（3）( )2 22 22 2 22t t t tt t t

23、 te e e ete e e e- - - - - - - - -F = - - （4）( )( ) ( )( )3 33 31 12 412t t t tt t t te e e ete e e e- - - + - + F= - + + 解：（3）因为 ( )1 000 1I F = = ，所以该矩阵满意状态转移矩阵的条件 ( )2 22 2000 2 2 2 4 21 3 2 4t t t tt t t ttte e e eA te e e e- - - - - - -=- - + - + = F = = - - + - + （4）因为 ( )1 000 1I F = = ，所以该矩阵

24、满意状态转移矩阵的条件 ( )3 303 301 3 1 31 12 2 4 41 3 4 132 2t t t ttt t t tte e e eA te e e e- -=- -= - + + = F = = + - + 2-6 求下列状态空间表达式的解：0 1 00 0 1x x u = + ) ( 1,0 y x = 初始状态 ( )101x = ，输入 ( ) u t 时单位阶跃函数。解：0 10 0A = 10ssI As- - = ( )2121 1110 10ss ssI As ss- - - = ( ) ( )1110 1Attt e L sI A- F = = - = 因为

25、01B = ， ( ) ( ) u t I t =( ) ( ) ( ) ( ) ( )00tx t t x t Bu d t t t =F + F - 01 1 1 00 1 1 0 1 1t t tdtt- = + 011 1t t tdtt+ - = + 21121t tt + = + 21121t tt + + = + 211 0 12y x t t = = + + 2-9 有系统如图 2.2 所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为 T=0.1s 和 1s，而1u 和2u 为分段常数。K/(s+1)21 1/su 1X Xx 1u 2+-+x 2 y 图 2.2系统结构图

26、解：将此图化成模拟结构图K21u 1X Xx 1u 2-+x 2 y∫- -∫ X 列出状态方程1 1 1x ku x = - 2 1 2x x u = - 2 12 y x x = +121 0 01 0 0 1u kx xu- = + - 122 1xyx = 则离散时间状态空间表达式为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 x k G T x k H T u k + = + ( ) ( ) ( ) y k cx k Du k = + 由 ( )AtG T e = 和 ( )0TAtH T e dtB = 得：1 01 0A- = 00 1kB = - 21TC =

27、( )11 11 0 01 1 1TAtTs ee L sI A Ls e- - + = - = = - - ( )( )0 01 00 0 0 1 00 1 0 1 1 1 11Tt TT TAtT TTk ek k e eH e dt dte T e Tk T e T- - - - - = = = = - - - - +- + - 当 T=1 时( ) ( )( )( )11111 0 011 11k e ex k x k u keke- - + =+ - ( ) ( ) 1 2 1 y k x k + =当 T=0.1 时( ) ( )( )( )( )0.10.10.10.11 001

28、1 10.9 0.1k eex k x k u kek e- - + = + - - ( ) ( ) 1 2 1 y k x k + =第三章习题3-1 推断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中 a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？ （1）系统如图 3.16 所示： ab c d+-+-yu1x2x3x4x图3.16 系统模拟结构图 解：由图可得：34 3 43 2 1 1 2 3 32 21 1x ydx x xcx x x x x cx xbx xu ax x=- =- + = + + - =- =+ - = 状态空间表达式为： x yuxxxxdcb

29、axxxx0 1 0 000011 0 00 1 10 0 00 0 043214321=+-= 由于2x 、3x 、4x 与 u 无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于 y 只与3x 有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。（3）系统如下式：xd cyubaxxxxxx=+-=0 0 00001 22 0 00 1 00 1 1321321 解：如状态方程与输出方程所示，A 为约旦标准形。要使系统能控，限制矩阵 b 中相对于约旦块的最终一行元素不能为 0，故有 0 , 0 b a 。要使系统能观，则 C 中对应于约旦块的第一列元素不全为 0，故有 0 , 0 d c 。3-2 时

30、不变系统 X yu X X-=+-=1 11 11 11 13 11 3 试用两种方法判别其能控性和能观性。解：方法一： = =-=-=2 - 2 - 1 12 - 2 - 1 1AB B M1 11 1,1 11 1,3 11 3C B A 系统不能控。, 2 1 = rankM- -=4 42 21 11 1CACN系统能观。, 2 = rankN方法二：将系统化为约旦标准形。( )4 20 1 33 11 3A I2 12- = - = - + =+ - += -l lllll， = = =1 -1P P P A 11P P P A2 2 2 2 21 1 1 1 1ll 则状态矢量：=

31、1 - 11 1T ，-=21212121T1 - =-=4 - 00 2 -1 - 11 13 - 11 3 -21212121AT T1 - =-=0 01 11 11 121212121B T1 - =2 00 21 - 11 11 - 11 1CTB T -1 中有全为零的行，系统不行控。CT 中没有全为 0 的列，系统可观。3-3 确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数i ib a 和 1 1 ,11,01) 1 (21- = C b Aaa 解：构造能控阵： += =2111 1aaAb b M要使系统完全能控，则2 11 a a + ，即 0 12 1 + - a

32、a构造能观阵：-=2 111 1CACa aN要使系统完全能观，则1 21 a a - - ，即 0 12 1 + - a a3-4 设系统的传递函数是 18 27 10 ) () (2 3+ + +=s s sa ss us y（1）当 a 取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？ （2）当 a 取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。（3）当 a 取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。解：(1) 方法 1 ：) 6 )( 3 )( 1 ( ) () () (+ + += =s s sa ss us ys W系统能控且能观的条件为 W(s)没有零极点对消。因此当 a=1

33、,或 a=3 或 a=6 时，系统为不能控或不能观。方法 2：6 s156 - a3631 s101 - a) 6 )( 3 )( 1 ( ) () (+-+=+ + +=sas s sa ss us y 6 3 13 2 1- = - = - = l l l ， ，Xa a ayu X X - -=+-=156631011116 0 00 3 00 0 1 系统能控且能观的条件为矩阵 C 不存在全为 0 的列。因此当 a=1,或 a=3 或 a=6 时，系统为不能控或不能观。（2）当 a=1, a=3 或 a=6 时，系统可化为能控标准 I 型 x 0 1 a yu 100x10 27 18

34、1 0 00 1 0 =+- - -=x& （3）依据对偶原理，当 a=1, a=2 或 a=4 时，系统的能观标准 II 型为 x1 0 0 yu 01ax10 1 027 0 118 0 0 =+-=x& 3-6 已知系统的微分方程为：u y y y y 6 6 11 6. .= + + +K 试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。解：6 3 6 11 60 3 2 1 0= = = = = b a a a a ， ， ， ，系统的状态空间表达式为 x 0 0 6 yu 100x6 11 61 0 00 1 0 =+- - -=x& 传递函数为 6 11 661006 11 61

35、00 10 0 6 A) - C(sI ) (2 311 -+ + +=+-= =-s s ssssB s W其对偶系统的状态空间表达式为： x 1 0 0 yu 006x6 1 011 0 16 0 0 =+-=x& 传递函数为6 11 66) (2 3+ - -=s s ss W3-9 已知系统的传递函数为 3 48 622+ + +=s ss s) s ( W试求其能控标准型和能观标准型。解：3 45 213 48 6) (2 22+ + =+ + +=s sss ss ss W系统的能控标准 I 型为 u x 2 5 yu10x4 - 3 -1 0 + =+=x& 能观标准 II 型为

36、 u x 1 0 yu25x4 - 13 - 0 + =+=x& 3-10 给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。 x 1 0 0 yu 210x3 1 10 3 20 1 0 =+- - - =x& 解： 1 0 02103 1 10 3 20 1 0=- - - = C b A ， ， -= =11 5 27 2 13 1 02 bA Ab b M。不能变换为能控标准型 ，系统为不能控系统， 3 2 = rankM- - - =9 7 13 1 11 0 02CACACN以变换为能观标准型。，系统为能观系统，可 3 = rankN 3-11 试将下列系统按能控性进行分解 （1） 1 1 1 ,100,3 4 00 1 01 2 1- =-= C b A解： - -= =9 3 10 0 04 1 02 bA Ab b MrankM=2lt;3，系统不是完全能控的。构造奇异变换阵cR ：=