黄金分割(第2课时)导学案.docx

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1、黄金分割(第2课时)导学案黄金分割 4.2黄金分割教学目标（一）教学学问点1.知道黄金分割的定义.2.会找一条线段的黄金分割点.3.会推断某一点是否为一条线段的黄金分割点.（二）实力训练要求通过找一条线段的黄金分割点，培育学生的理解与动手实力.（三）情感与价值观要求理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生相识数学与人类生活的亲密联系对人类历史发展的作用.教学重点了解黄金分割的意义，并能运用.教学难点找黄金分割点和画黄金矩形.教学过程.创设问题情境，引入新课P109中的五角星图案，如何找点C把AB分成两段AC和BC，使得画出的图形匀整美观呢？本节课就探讨这个问题. .讲授新

2、课探讨：在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC、BC的长度，然后计算、,它们的值相等吗？（）1.黄金分割的定义在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，假如,那么称线段AB被点C黄金分割（goldensection）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中0.618.2.作一条线段的黄金分割点.P110,学生探讨作法和理由依据。证明：AB=1,AC=x,BD=AB=AD=x+在RtABD中，由勾股定理，得（x+）2=12+（）2x2+x+=1+x2=1xx2=1（1x）AC2=ABBC即：即点C是线段AB的一个黄金分割点，在x2=1x中整理，得x2+x1=

3、0x=AC为线段长，只能取正AC=0.6180.618黄金比约为0.618.3.想一想图48古希腊时期的巴台农神庙（ParthenomTemple）.把它的正面放在一个矩形ABCD中，以矩形ABCD的宽AD为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊异地发觉，,点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？.随堂练习P111.课时小结1.黄金分割点的定义及黄金比.2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形.3.能依据定义推断某一点是否为一条线段的黄金分割点.课后作业习题4.3 黄金分割点教学案 10.2.1黄金分割点学习目标;了解黄金分割、黄金分割点、黄金比的概念以及推断

4、点是否是黄金分割点。重难点：黄金分割、黄金分割点、黄金比的概念以及推断点是否是黄金分割点。一预习展示：1、如图的五角星中,与的关系是()A、相等B、C、D、不能确定2、（1）如图,若点C是AB的黄金分割点,AB=1,则AC=_,BC=_.（2）一条线段的黄金分割点有个。二探究学习：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，假如，那么称线段被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，ACAB=106811。例题1、若线段AB=4cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为多少？ 2、如图的五角星中,AD=BC,且C、D两点都是AB的黄金

5、分割点,AB=1,求CD的长.三盘点黄金分割、黄金分割点、黄金比的概念以及推断点是否是黄金分割点的方法。 四当堂练习：一、选择题:1、如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,假如,那么下列说法错误的是()A、线段AB被点C黄金分割B、点C叫做线段AB的黄金分割点C、AB与AC的比叫做黄金比D、AC与AB的比叫做黄金比2、黄金分割比是()A、B、C、D、0.6183、如图,点C是AB的黄金分割点,那么与的值分别是()A、,B、,C、,D、,二、填空题:4、据有关试验测定，当气温处于人体正常体温（37oC）的黄金比值时,人体感到最舒适。这个气温约为_oC(精确到1oC)。5、如图,点C是AB的

6、黄金分割点,AB=4,则AC2=_.（结果保留根号）6、以长为2的定线段为边，作正方形ABCD,取AB的中点P,在BA的延长线上取点F，使PF=PD.以AF为边长作正方形AFEM，点M落在AD上。（1）试求AM、DM的长；（2）点M是线段AD的黄金分割点吗？ 7、将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点CD重合）,压平后得到折痕MN。当CE/CD=1/2时，求AM/BN的值。 初二数学学问点归纳：黄金分割数2 初二数学学问点归纳：黄金分割数2 黄金分割数：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.6

7、18。由于按此比例设计的造型非常漂亮，因此称为黄金分割，也称为中外比。黄金分割:黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间肯定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为10.618或1.6181，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。黄金分割线:黄金分割线是一种古老的数学方法。黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时非常有限的科学条件下大胆断言：一条线段的某一部分与另一部分之比，假如正好等于另一部分同整个线段的比即0.618，那么，这样比例会给人一种美感。后来，

8、这一奇妙的比例关系被古希腊闻名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”。黄金分割线的奇妙和魔力，在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥着意想不到的作用。黄金分割线的最基本公式，是将1分割为0618和0382，它们有如下一些特点：（1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。（2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0618。（3）后一数字与前一数字之比例，趋近于1618。（4）1618与0618互为倒数，其乘积则约等于1。（5）任一数字如与前面其次个数字相比，其值趋近于2618；如与后面其次个数字相比，其值则趋近于0382。理顺下来，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比

9、值0618和0382以外，尚存在下列两组神奇比值。即：（1）0191、0382、05、0618、0809（2）1、1382、15、1618、2、2382、2618黄金分割点:把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，用分数表示为(5-1)/2，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型非常漂亮，因此称为黄金分割，也称为中外比。这个分割点就叫做黄金分割点（goldensectionratio通常用表示）这是一个非常好玩的数字，我们以0.618来近似表示，通过简洁的计算就可以发觉：(1-0.618)/0.618=0.6一条线段上有两

10、个黄金分割点。无限不循环小数a，ba:b=(a+b):a通常用希腊字母表示这个值。黄金分割奇异之处，在于其比例与其倒数是一样的。例如：1.618的倒数是0.618，而1.618:1与1:0.618是一样的。准确值为（5-1）/2(x2+x-1=0的一个根）黄金分割数前面的32位为：0.61803398874989484820458683436565黄金分割三角形:正五边形对角线连满后出现的全部三角形，都是黄金分割三角形。黄金分割三角形有一个特别性，全部的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相像的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其

11、本身相像的三角形的三角形。由于五角形的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2sin18（即2*sin(/10)）。将一个正五边形的全部对角线连接起来，所产生的五角星里面的全部三角形都是黄金分割三角形。黄金矩形:若矩形的宽与长的比等于（5-1）/20.618，那么这个矩形称为黄金矩形（又称根号矩形）。黄金分割线:由黄金分割点联想到“黄金分割线”，并类似地给出“黄金分割线”的定义：直线L将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，假如S1:S=S2:S1，那么称直线L为该图形的黄金分割线。与数列的关系:让我们首先从一个数列起先，它的前面两个数是：1、1，后面的每个数都是

12、它前面的两个数之和。例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144.这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经探讨发觉，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而渐渐趋于黄金分割比的。即f(n)/f(n+1）-0.618。由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是渐渐靠近黄金分割比这个无理数。但是当我们接着计算出后面更大的斐波那契数时，就会发觉相邻两数之比的确是特别接近黄金分割比的。一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。五角星是特别漂亮的，中国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，因为在五

13、角星中可以找到的全部线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。分数与根式:有限段的黄金比1/X=X/（1-X），有X2=1-X，X（1+X)=1，得X=1/（1+X）。有限式=无限式对等式右边分母中的X又以1/（1+X）代替，可得X=1/（1+1/（1+X）；以此类推，可得无穷连分数：X=1/（1+1/（1+1/（1+1/（1+.。对等式进行类似的代替，可得：X=（1+（1+（1+（1+.。这样一个简洁的无穷连分式和无穷套根式给人以有序而无穷的印象，使人具有言而不喻的美感。 第7页 共7页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页