初二数学,勾股定理经典易错题.docx

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1、初二数学,勾股定理经典易错题2018年1月22日数学期末考试试卷 一、选择题（共30小题；共150分） 1. 若正方形的周长为 ，则其对角线长为 A. B. C. D. 2. 如图，字母 所代表的正方形的面积是 A. B. C. D. 3. 如图，池塘边有两点 ，点 是与 方向成直角的 方向上一点，测得 ，则 ， 两点间的距离是 A. B. C. D. 4. 如图所示：某商场有一段楼梯，高 ，斜边 是 ，假如在楼梯上铺上地毯，那么须要地毯的长度是 A. B. C. D. 5. 如图所示， 中， 于 ，若 ，则 的长为 A. B. C. D. 6. 直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的 倍，

2、这个三角形有一个锐角是 A. B. C. D. 7. 如图，将一个边长分别为 ， 的矩形纸片 折叠，使点 和点 重合，则折痕 的长是 A. B. C. D. 8. 如图，每个小正方形的边长为 ，则 的三边长 ， 的大小关系是 A. B. C. D. 9. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是 A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 小明想知道学校旗杆的高度，他发觉旗杆上的绳子垂到地面还多 米，当他把绳子的下端水平拉开 米后，发觉下端刚好接触地面，则旗杆的高是 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 11. 下列数据中是勾股数的有 （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ）

3、 ， A. 组 B. 组 C. 组 D. 组 12. 满意下列条件的 ，不是直角三角形的是 A. B. C. D. 13. 如图，每个小正方形的边长为 ， 是小正方形的顶点，则 的度数为 A. B. C. D. 14. 一根竹子高 丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端 尺处，则折断处离地面的高度为 （这是我国古代数学著作 九章算术 中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位， 丈 尺） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 15. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 ，现将直角边 沿直线 折叠，使它落在斜边 上，且与 重合，则 等于 A. B. C. D. 16. 下列长度的三条线段能组成锐角三角形

4、的是 A. ， B. ， C. ， D. ， 17. 适合下列条件的 中，直角三角形有 ， ， ， ， A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 18. 满意下列条件的 中，直角三角形的个数为 ，； ，； ，； ， A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 19. 如图1是我国古代闻名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若 ，将四个直角三角形中边长为 的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 A. B. C. D. 20. 一轮船以 海里/时的速度从港口 动身向东北方向航行，另一轮船以 海里/时的速度同时从港口 动身向东南方向航行，离开港口

5、 小时后，两船相距 A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 21. 下列条件中，不能推断 为直角三角形的是 A. B. C. D. ， 22. 如图，在 中，将 折叠，使 点与 的中点 重合，折痕为 ，则线段 的长为 A. B. C. D. 23. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 米，顶端距离地面 米假如保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面 米，则小巷的宽度为 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 24. 菱形 的边长为 ，有一个内角为 ，则较长的对角线的长为 A. B. C. D. 25. 如图， 是等边三角形 内的一

6、点，且 ，以 为边在 外作 ，连接 ，则以下结论错误的是 A. 是等边三角形 B. 是直角三角形 C. D. 26. 如图，平行四边形 的对角线 与 相交于点 ，垂足为 ，则 的长为 A. B. C. D. 27. 如图，正 的边长为 ，动点 从点 动身，以每秒 的速度，沿 的方向运动，到达点 时停止，设运动时间为 （秒），则 关于 的函数的图象大致为 A. B. C. D. 28. 如图，将 放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为 ），点 ， 恰好在网格图中的格点上，那么 中 边上的高是 A. B. C. D. 29. 若等腰三角形的两边长分别为 和 ，则底边上的高为 A. B. 或

7、 C. D. 或 30. 如图：已知 是线段 上的动点（ 不与 ， 重合），分别以 ， 为边在线段 的同侧作等边 和等边 ，连接 ，设 的中点为 ；连接 ，当动点 从点 运动到点 时，设 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（共30小题；共150分） 31. 假如一个三角形三边的长分别为 ，那么这个三角形的面积为 32. 如图，分别以三角形三边为直径向外作 个半圆，假如较小的两个半圆的面积之和等于较大半圆的面积，这个三角形为 三角形 33. 在 中，若 ，则 度 34. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之

8、长几何?”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 尺，底面周长为 尺，有葛藤自点 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 处，则问题中葛藤的最短长度是 尺 35. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是 ，高是 的长方体纸箱的 点沿纸箱表面爬到 点，那么它所行的最短路途的长是 36. 测得一个三角形花坛的三边长分别为 ，则这个花坛的面积是 ；其最短边上的高为 37. 若等边三角形的边长为 ，则它的面积是 38. 若在 中， 边上的中线 ，则 的度数是 度 39. 如图，菱形 的周长为 ， 、 分别为 、 的中点则 的长为 . 40. 一个三角形的三条中位线的长分别为 ，则三角形

9、的面积为 41. 有两棵树，一棵高 米，另一棵高 米，两树相距 米一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米 42. 若三角形的三边 ， 满意 ，则该三角形的三个内角的度数分别为 43. 如图，在钝角 中，已知 为钝角，边 ， 的垂直平分线分别交 于点 ，若 ，则 的度数为 44. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为 、 ，那么这个直角三角形斜边上的高为 45. 中，则 ； 的三边长为 ，且满意 ，则 是 三角形 46. 中， 边上的中线 ，则 47. 假如梯子的底端离建筑物 米， 米长的梯子可以到达该建筑物的高度是 48. 如图，在正方形 中，点 、 是正方形 外的两点，且 ，

10、则 的长为 49. 如图，在 中，点 在 上若点 为 的中点，则 的值为 ；若 边上有 个不同的点 ，且 ，则 的值为 50. 在 中，以斜边 为一边，作等边 ，则线段 的长为 51. 如图，在 中，按以下步骤作图： 以点 为圆心，以小于 的长为半径画弧，分别交 ， 于点 ，； 分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ； 作射线 ，交 边于点 则 为 的平分线，这样作图的依据是 ； 若 ，则 52. 如图， 中，分别以 、 、 为边作正方形 、 、 ，再作 ，使 ，点 在边 上，点 、 在边 上，点 、 在边 上，则 的长为 53. 如图，点 是线段 上一点，连接 ，把 沿

11、 折叠，使点 落在点 处，连接 当 为直角三角形时， 的长为 54. 如图， 与 都是等腰直角三角形， 为 的中点，若 ，则四边形 的面积为 55. 在数学实践课上，老师给同学们布置了如下任务：为美化校内环境，安排在学校内某处空地，用 平方米的草皮铺设一块等腰三角形绿地，使等腰三角形绿地的一边长为 米，请你给出设计方案同学们起先思索，沟通，一样认为应先通过画图、计算，求出等腰三角形绿地的另两边的长请你也通过画图、计算，求出这个等腰三角形绿地的另两边的长分别为 56. 如图，每个小正方形的边长为 ，在 中，点 为 的中点，则线段 的长为 57. 如图，在 中， 为边 上一动点， 于 ， 于 ，

12、为 中点，则 的最小值为 58. 如图，在 中， 是 边上的一个动点（点 不与点 ， 重合），连接 ，过点 作 的垂线交射线 于点 当 为等腰三角形时， 的长度为 59. 如图，在梯形 中，则梯形 的面积为 60. 已知：如图，等腰直角 ，点 为 外一点，连接 ，则四边形 的面积为 三、解答题（共40小题；共520分） 61. 一个零件的形态如图所示，工人师傅按规定做 ，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗? 62. 如图，在平行四边形 中， 于点 ， （1）求 的长； （2） 的面积为 63. 图1、图2是两张形态、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为

13、，点 和点 在小正方形的顶点上 （1）在图1中画出 （点 在小正方形的顶点上），使 为直角三角形（画一个即可）； （2）在图2中画出 （点 在小正方形的顶点上），使 为等腰三角形（画一个即可） 64. 如图，四边形 中，已知四边形的周长为 ，求 65. 如图，在四边形 中， （1）求 的度数； （2）求四边形 的面积 66. 已知：如图，矩形 中， 于 点求 的长 67. 方格纸中小正方形的顶点叫格点点 和点 是格点，位置如图 （1）在图1中确定格点 使 为直角三角形，画出一个这样的 ； （2）在图2中确定格点 使 为等腰三角形，画出一个这样的 ； （3）在图2中满意题（2）条件的格点 有 个

14、 68. 如图， 是 中点， （1）求证：四边形 是矩形 （2）若 ， 是 上一点，且 ，求 长 69. 一个零件的形态如图所示，工人师傅按规定做得 ，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗? 70. 如图， （1）求 长 （2）求 的面积 71. 如图，四边形 是平行四边形，对角线 ， 相交于点 ，且 ，求证：四边形 是菱形 72. 如图，在四边形 中，求 的长 73. 如图，已知点 在正方形 中，求图中阴影部分的面积 74. 图 1，图 2 分别是 的网格，网格中每个小正方形的边长均为 ，线段 的端点在小正方形的顶点上，请在图 1，图 2 中各画一个图形，所画图形各顶点必

15、需在小正方形的顶点上，并且分别满意以下要求： （1）在图 1 中画一个以线段 为一边的直角三角形 ，且三角形 的面积为 ； （2）在图 2 中画一个以线段 为一边的平行四边形 ，且平行四边形 的面积为 连接 ，请干脆写出 的长 75. 已知 三边长都是整数且互不相等，它的周长为 ，当 为最大边时，求 的度数 76. 已知：在 中， 为 边上一点， 两点到直线 的距离相等 （1）如图，若 是等腰三角形，则点 的位置在 ； （2）如图，若 是随意一个锐角三角形，猜想点 的位置是否发生改变，请补全图形并加以证明； （3）如图，当 是直角三角形，并且点 满意（2）的位置条件，用等式表示线段 ， 之间的

16、数量关系并加以证明 77. 如图，在四边形 中，求 的度数 78. 在 中，以 为斜边作等腰直角三角形 ，且点 与点 在直线 的两侧，连接 （1）如图 ，若 ，则 的度数为 （2）已知 ， 依题意将图 补全； 求 的长； 小聪通过视察、试验、提出猜想，与同学们进行沟通，通过探讨，形成了求 长的几种想法： 想法 ：延长 ，在 延长线上截取 ，连接 要求 的长，需证明 ， 为等腰直角三角形 想法 ：过点 作 于点 ，交 的延长线于点 ，要求 的长，需证明 ， 为等腰直角三角形 请参考上面的想法，帮助小聪求出 的长（一种方法即可） （3）用等式表示线段 ， 之间的数量关系（干脆写出即可） 79. 如

17、图， 的三个顶点在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都是 （1）画出 关于直线 对称的 ； （2）推断 的形态： 直角三角形（填“是”或“不是”）； （3） 的面积是 80. 在平面直角坐标系 中，对于两点 与 的“比例距离”，给出如下定义：若 ，则线段 的长为点 与点 的“比例距离” 例如：点 ，因为 ，所以点 与点 的“比例距离”为 ，也就是图 中线段 的长 （1）若点 与点 之间存在“比例距离”，且 ，则 ，点 与点 的“比例距离”为 ； （2）点 是直线 上的一个动点， 求点 与点 的“比例距离”及相应的点 的坐标； 如图 ， 是以原点 为圆心， 为半径的圆上的一个动点，求点 与点

18、 的“比例距离”的最小值及相应的点 的坐标 81. 如图，在矩形 中，点 ， 分别在 ， 上，将矩形 沿 折叠，设点 的对应点是点 （1）若点 在 边上，求 的长； （2）若点 在对角线 上，请干脆写出 的取值范围： 82. 如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，过点 作 且 ，连接 ，连接 交 于点 （1）求证：； （2）若菱形 的边长为 ，求 的长 83. 已知：如图， 中， 边上的中线 （1）推断 是何种特别三角形? （2）对 中你所给的结论进行证明 84. 如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，连接 ，若 ，求 的长 85. 如图，在四边形 中， 是 上一点，且 ，则 和 相互垂直吗?

19、请说明理由 86. 如图，已知正方形 ， 是 延长线上一点，连接 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，连接 （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）写出 ， 之间的等量关系，并证明 87. 如图，在每个小正方形的边长均为 的方格纸中，有线段 ，点 ， 均在小正方形的顶点上 （1）在方格纸中画出以 为一边的直角三角形 ，点 在小正方形的顶点上，且三角形 的面积为 ； （2）在方格纸中画出以 为一边的菱形 ，点 ， 均在小正方形的顶点上，且菱形 的面积为 连接 ，请干脆写出线段 的长 88. 与 是共顶点的等边三角形直线 与直线 交于点 ，点 ， 不在 的边上 （1）当点 在 外部时（如图1），

20、写出 与 的数量关系 （2）若 ，将 围着点 逆时针旋转，使得点 由 的外部运动到 的内部（如图2）在这个运动过程中， 的大小是否发生改变?若不变，在图2的状况下求出 的度数，若改变，说明理由 （3）如图3，当 ， 三点在同一条直线上，且 时，写出 ， 与 之间的数量关系 89. 在直线上顺次取 ， 三点，分别以 ， 为边长在直线的同侧作等边三角形，作得两个等边三角形的另一顶点分别为 ，连接 （1）如图，连接 ，求证：； （2）如图，若 ，求 的长； （3）如图，将图中的正三角形 绕 点作适当的旋转，连接 ，若有 ，试求 的度数 90. 右图中，求四边形 的面积为 91. 已知：如图， 的网格

21、中（每个小正方形的边长为 ）有一个格点 （1）利用网格线，画 的平分线 ，画 的垂直平分线，交 于点 ，交直线 于点 ； （2）连接 ，推断 的形态，并说明理由： 92. 如图，在 中， 是 的中点，若 ，求四边形 的周长 93. 已知，如图， 中， 是 的中点，求： 的长及 的面积 94. 如图，在平行四边形 中， 于点 ，延长 至 点使 ，连接 ， （1）求证：四边形 是矩形； （2）若 ，求 的长 95. 在 中，动点 从点 动身，沿着 运动，速度为每秒 个单位，到达点 时运动停止，设运动时间为 秒，请解答下列问题： （1）求 上的高； （2）当 为何值时， 为等腰三角形? 96. 已知

22、：正方形 的边长为 ，点 为 的中点，点 在 边上， 画出 ，猜想 的度数并写出计算过程 97. 如图，在四边形 中， 求 的度数 98. 如图，正方形 中， 为 上一动点，过点 作 交 边于点 （1）求证：； （2）用等式表示 ， 之间的数量关系，并证明； （3）点 从点 动身，沿 方向移动，若移动的路径长为 ，则 的中点 移动的路径长为 （干脆写出答案） 99. 数学活动课上，老师提出这样一个问题：假如 ，连接 ，那么 、 、 之间会有怎样的等量关系呢? 经过思索后，部分同学进行了如下的沟通： 小蕾：我将图形进行了特别化，让点 在 延长线上（如图1），得到了一个猜想： 小东：我假设点 在

23、的内部，依据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转 后得到 ，并且可推出 ， 分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法 这时老师对同学们说，请大家完成以下问题： （1）如图2，点 在 的内部， ， ； 用等式表示 、 、 之间的数量关系，并证明 （2）对于点 的其他位置，是否始终具有（2）中的结论?若是，请证明；若不是，请举例说明 100. 阅读： 如图 ，在 中，求 的长 小明的思路： 如图 ，作 于点 ，在 的延长线上取点 ，使得 ，连接 ，易得 为等腰三角形由 和 ，易得 为等腰三角形依据已知条件可得 和 的长 解决下列问题： （1）图 中，

24、 ， ； （2）在 中， 、 、 的对边分别为 、 、 如图 ，当 时，用含 、 的式子表示 ；（要求写解答过程） 当 时，可得 答案 第一部分 1. C 2. C 3. C 4. C 5. B 6. B 7. D 8. C 依据勾股定理得 ， 故 9. A 10. C 11. B （ ） ， 不是勾股数，因为 ； （ ） ， 不是勾股数，因为 ； （ ） ， 不是勾股数，因为 ， 不是正整数； （ ） ， 是勾股数，因为 ，且 ， 是正整数； （ ） ， 是勾股数，因为 ，且 ， 是正整数 12. D 13. C 提示：如图 14. C 15. B 由 ， 得 ， 设 ，则 16. A 17

25、. A 18. A 19. A 20. D 21. A 22. C 设 ，由折叠的性质可得 ，依据中点的定义可得 在 中，依据勾股定理可得关于 的方程：，解得 23. C 24. A 25. D 26. D 27. D 提示：当 点在线段 上时， 过点 作 当点 与点 重合时， 值最小 当 点在线段 上时， ， 28. A 提示：利用勾股定理可知 是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形斜边的高线等于斜边的一半即可求出 29. B 30. A 将 ， 延长交于点 ，连接 ， 是等边三角形 四边形 是平行四边形 ， 其次部分 31. 32. 直角 33. 34. 如图，一条直角边（即枯木的高）长

26、 尺，另一条直角边长 （尺）， 因此葛藤长为 尺 35. 36. ， 37. 38. 39. 提示： 菱形 的周长为 ， . 又 ，可求得 . 由题知 40. 41. 42. ， 43. 44. 45. ，直角 46. 47. 米 48. 延长 和 交于点 . ， . ， . ， ， ， . ， . ， . ， . . 49. ， 当 为 的中点时， ， 为 的中点， ， ， ， 当 ， 为 上不同的点时， 过 作 ，垂足为 ，则有 ， 依据勾股定理，得 ， 又 ， ， 50. 或 提示： 为等边三角形 为等边三角形 51. 三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形对应角相等， 提示：由角平分

27、线的性质得点 到 和 边的距离相等. . 又 ， . . 52. 过 作 于点 在 中，则 ， ， ， ， 为等边三角形 在 中， 又 ， 又 ， 53. 或 当 为直角三角形时，有两种状况： 当 时，点 、 、 共线，如图所示 连接 在 中， ， 沿 折叠，使点 落在点 处， . 当 为直角三角形时，只能得到 ， 点 、 、 共线，即 沿 折叠，使点 落在对角线 上的点 处. ， ， 设 ，则 ， . 在 中， ， ，解得 ， ； 当 时，如图所示 此时 为正方形， 综上所述， 的长为 或 54. 55. 米， 米或 米， 米或 米， 米 如图，当底边 米时，作 垂足为 . ， . ， ，

28、如图当 时， （i）当 为钝角时，作 ，垂足为 . ， ， ， （ii）当 为锐角时，作 ，垂足为 . ， ， ， 综上：这个等腰三角形绿地的另两边的长分别为 米， 米或 米， 米或 米， 米 56. 57. 在 中， . 即 又 于 ， 于 ， 四边形 是矩形. . 是 的中点， 因为 的最小值即为直角三角形 斜边上的高，即 . 的最小值是 58. 或 当 时， ， . . . 当 时， ， . . 59. 60. 第三部分 61. ， 即 ，故 ， 同理 = = = 62. （1） 四边形 是平行四边形， ， 中， 中， （2） 63. （1） 如图1，、，画一个即可 （2） 如图2，、，

29、画一个即可 64. 连接 ，过 点作 ，垂足为 则 为等边三角形， ， ， 在 中，设 ， 依据勾股定理，得 ， 解得 ， 65. （1） 连接 ， ， 是等边三角形， ， 在 中， ， 是直角三角形， ， （2） 66. 连接 ， ， ， 67. （1） 如图 即为所求（画出一个即可） （2） 如图 即为所求（画出一个即可） （3） 68. （1） 因为 ， 所以 是等腰三角形 因为 是 中点， 所以 ， 因为 ， 所以 因为 ， 所以四边形 是平行四边形 又因为 ， 所以四边形 是矩形 （2） 在 中， 所以 因为 于 ， 所以 ， 解得 69. ， 即 ，故 ， 同理， 70. （1）

30、设 ， ， ， ， （2） ， 是等边三角形 ， 过 作 ，垂足为 ， ， 71. ， 是直角三角形， 又 四边形 是平行四边形， 四边形 是菱形 72. 分别延长 ， 交于点 在 中， ， ， ， 73. 在 中， ， 是直角三角形， 答：阴影部分的面积 是 74. （1） 如图 3，三角形 即为所求 （2） 如图 4，平行四边形 即为所求 75. 依据题意，设 ， 边的长度分别是 ， 则 ； 为最大边， 最大， 又 ， ， 三边长都是整数， ， 又 三边长互不相等， 其他两边分别为 ， ， 是直角三角形， ， 即 的度数是 76. （1） 边的中点 （2） 点 的位置没有发生改变 证明：

31、过 作 于点 ，过 作 于点 . ， ；即点 是 边的中点 （3） ， 之间的数量关系为 证明： 延长 到点 使 ，连接 点 是 边的中点， 又 ， ， ， ， 77. 连接 ， ， 是等边三角形， ， ， 则 ， ， ， 78. （1） （2） 补全图形，如图 所示， 想法 ： 如图 ， ， ， 在 和 中， ， 为等腰直角三角形 ， （3） 79. （1） 如图 即为所求； （2） 不是 （3） 80. （1） ； （2） 设 点坐标为 ，由题意可知： 解得： 或 当 时，点 的坐标为 ，点 与点 的“比例距离”为 ； 当 时，点 的坐标为 ，点 与点 的“比例距离”为 设直线 与 轴交于

32、点 ，与 轴交于点 ，直线 与 交于点 ，此时点 与点 的“比例距离”最小 的半径为 ，点 在 上，由勾股定理得： 设点 的坐标为 ， ，解得 或 经检验，当 时，点 与点 的“比例距离”有最小值 81. （1） 由题意， 沿 折叠得到 ， ， 过点 作 交 于点 ，则四边形 为矩形， 中， （2） 由勾股定理得， 点 在 处时，所以 ； 点 在 处时， 82. （1） 在菱形 中， ， ， 四边形 是平行四边形 ， 平行四边形 是矩形 （2） 在菱形 中， 在矩形 中， 在 中， 83. （1） 是等腰三角形 （2） 为 边上的中线， 在 中， （或写成 ）， ， 为直角三角形， 为直角边，

33、 又 垂直并平分 ， 即 是以 ， 为腰的等腰三角形 84. 四边形 为菱形， ， ， ， 四边形 为矩形 ， ， 为等边三角形 ， 中， 85. 和 相互垂直 理由：过点 作 ，分别交 于点 ， 因为 ， 所以 ， 所以四边形 ，四边形 都是平行四边形 所以 ， 所以 在 中， 所以 所以 为直角三角形，且 ， 即 ， 因为 ， 所以 86. （1） 补全图形，如图 （2） 四边形 是正方形， ， 于点 ， （3） 证明：在 上截取 ，连接 ， 四边形 是正方形， ， （已证） ， 87. （1） 如图 （2） 88. （1） 与 是共顶点的等边三角形， ， . ，即 . . . （2） 不

34、变， 由（1）可证：， ， ， （3） （或 ） ， . . ， 三点在同一条直线上， ， . . ， . . 在 中， ，即 . ， ， . 89. （1） 和 都是等边三角形， ， ， 在 和 中， ， （2） 如图，取 的中点 ，连接 ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， （3） 如图，连接 ， 和 都是等边三角形， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， 90. 延长 交 于点 ，延长 交 于点 设 ， ， ， ， ， ， 在 中， 91. （1） 如图所示， ， 即为所求 （2） 等腰直角三角形 理由如下 ， ， 为等腰直角三角形 92. ， ， 四边形 为平行四边形 ， 是 的

35、中点， ， 四边形 的周长为 93. 延长 至 使得 ，连接 在 与 中 ， 在 中， ， 而 ， 即 ， ； 在 中， ， ， ； 94. （1） ， 即 在平行四边形 中， 且 ， 且 四边形 是平行四边形 ， 平行四边形 是矩形 （2） 平行四边形 是矩形， ， ， 95. （1） 过点 作 于点 ，如图 ， ， ， ，即 为直角三角形， ， （2） 当 时， ， ， 秒； 当 时，过点 作 于点 ，如图 ， ， ， 秒， 当 时， ， ， ， ， ， ， ， 秒 综上所述， 96. 所画 如图所示 的度数为 如图，连接 ，作 于点 正方形 的边长为 ， ， 点 为 的中点， 点 在 边

36、上， ， 在 中， 在 ， 中， 同理有 ， 在 和 中， 有 设 ，则 整理，得 解得 ，即 ， 97. 连接 ， 在 中， 所以 ， 所以 所以 因为 ， 所以 在 中， 所以 是直角三角形，即 因为 ， 所以 98. （1） 过点 作 于点 ， 于点 四边形 是正方形， 四边形 是正方形 ， （2） 延长 交 于点 四边形 是正方形， ， 是等腰直角三角形 由勾股定理得， 同理 由 得 ， 是等腰直角三角形 由勾股定理得， ， 四边形 为矩形 ， （3） 当点 在 点处时，点 与点 重合， 的中点即为点 ， 则 的中点 移动的路径长为 的长； 连接 ，如图 所示： 由正方形的对称性得：， 由（）得： 是等腰直角三角形， ， 由（）得：， ， ， ， ， 是 的中点， 是 的中点， . 99. （1） ； 证明：作 ，且使 ，连接 、 ， ， 在四边形ABCP中， ， 是等边三角形 在 中， （2） 点 在其他位置时，不是始