大学高数下册试题及答案,第7章.docx

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1、大学高数下册试题及答案,第7章第七章 多元函数微分学 作业1 多元函数 1填空题 （1）已知函数，则； （2）的定义域是； （3）的定义域是 ； （4）函数的连续范围是 全平面 ； （5）函数在处间断. 2求下列极限 （1）； 解： （2）. 解： 由于， 故 3探讨极限是否存在. 解：沿着曲线,有因而异，从而极限不存在 4证明在点分别对于每个自变量或 都连续，但作为二元函数在点却不连续. 解：由于 从而可知在点分别对于每个自变量或 都连续，但沿着曲线,有因而异， 从而极限不存在，故作为二元函数在点却不连续. 作业2 偏导数 1填空题 （1）设，则； （2）（3）设，则； （3）设，则 0 ；

2、 （4）曲线在点处的切线与轴正向的倾角是. 2设， 证明 . 证:因为 所以 3. 设，求，. 解：， 从而 4设， 证明 . 解：因为 所以 5设函数. （1）试求的偏导函数； 解：当 ， 当 ， （2）考察偏导函数在点处是否连续. ，故在点处连续， 不存在，从而在点处不连续 作业3 全微分及其应用 1填空题 （1）在点处偏导数存在是在该点可微的 必要 条件； （2）函数在点处，当时有全增量 ，全微分； （3）设在点处的全增量为，全微分为，则在点处的全增量与全微分的关系式是； （4）在点处的； （5）,则； （6）,则； （7）,则 . 2证明：在点处连续，与存在，但在 处不行微. 证：由于

3、从而但是 不存在，从而在处不行微. 3设函数 试证：（1）函数在点处是可微的； 证：因为 又 所以函数在点处是可微的 （2）函数在点处不连续. 证：当 不存在， 故在点处不连续 作业4 多元复合函数的求导法则 1填空题 （1）设，则 ； （2）设，则 ； （3）设，则； （4）设，则. 2求下列函数的偏导数 （1）设其中具有一阶连续偏导数，求和； 解： （2）设，其中均可微，求和. 解：因为 从而 所以 3验证下列各式 （1）设，其中可微，则； 证：因为 所以 （2）设，其中可微，则. 证：因为 所以 4设其中函数具有二阶连续偏导数，求. 解：因为 所以 4设其中函数具有二阶连续偏导数，试证：

4、. 证：因为 从而左边 作业5 隐函数求导法 1填空题 （1）已知，则； （2）已知，则； （3）已知，则； （4）已知，则； （5）已知，其中具有一阶连续偏导数，则 . 2设其中具有二阶连续偏导数，求 解： 3求由方程组所确定的及的导数及. 解：由已知 4设函数，又方程确定是的函数，其中与均可微；连续，且. 试证：. 证：因为， 5设函数具有二阶连续偏导数，而满意方程，求. 解：因为 特征方程为 作业6 方向导数与梯度 1填空题 （1）在梯度向量的方向上，函数的改变率 最大 ； （2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的 模 ； （3）函数在点的梯度为； （4）函数在点处沿方向的方向导数

5、是 ，且函数在该点的梯度是； （5）函数在点处沿方向的方向导数是； （6）函数在点处沿指向点方向的方向导数是. 2求在点及点处的梯度间的夹角. 解： 夹角余弦为 3求二元函数在点沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿那个方向削减得最快？沿那个方向的值不变？ 解： ， 在该点沿梯度相反方向，即方向削减得最快； 沿与梯度垂直的那个方向，即方向的值不变 4设轴正向到得转角为，求函数 在点处沿着方向的方向导数. 解：， 由于该函数在点处不行微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向的方向导数： 作业7 偏导数的几何应用 1填空题 （1）已知曲面上点的切平面平行于平面，则点 的坐标是； （2）曲面在点处

6、的切平面方程是； （3）由曲线绕轴旋转一周所得到的旋转曲面在点 处的指向内侧的单位法向量为； （4）曲面在点处的法线方程是 ； （5）已知曲线上点的切线平行于平面，则点的坐标是或 2求曲线在对应于的点处的切线和法平面方程. 解：切点为， 从而切线为， 法平面为 3求两个圆柱面的交线在点处的切线和法平面的方程. 解：， 切线为，法平面为 4求曲面在点处的切平面及法线的方程. 解： 切平面为，法线为 5求函数在点处沿曲线在此点的外法线方向的方向导数. 解： 指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为 6证明：曲面在随意点处的切平面都通过原点，其中具有连续导数. 证：设切点为， 则 切平面为 令，得左边

7、等于右边，从而原点在随意点处的切平面上，也即随意点处的切平面都通过原点。作业8 多元函数的极值 1填空题 （1）函数的极值是 0 ； （2）函数的极值点是； （3）函数的极值点是； （4）函数的极值是； （5）函数的极值是. 2证明：函数有无穷多个极大值点，但无微小值点. 证：因为 由 得驻点坐标为 又 故 只有当为偶数时才大于零，从而才有极值。而这时 因此该函数有无穷多个极大值点，但无微小值点。3求函数在条件下的极值. 解：令 则 从而 4求函数在圆域上的最大值与最小值. 解：先求圆内部的驻点得驻点， 再求圆周上的有约束极值，令 则 若则必有冲突， 若则必有或 由于 从而要求的最大值为4，最

8、小值为 5在半径为的半球内求一个体积为最大的内接长方体. 解：设在第一卦限内的顶点坐标为，则 令，则由 ， 可得，其长宽均为，高为 6求椭圆的长半轴和短半轴. 解：由对称性，得知椭圆的中心点为，从而问题转化为求在约束条件下或的最值 取 由 从而，当时，由约束条件 当时，由约束条件 于是椭圆的长半轴为和短半轴为. 第七章多元函数微分学测试试卷 1单项选择题（每小题3分） （1） 二重极限值为 （ D ） （A）0； （B）1； （C）； （D）不存在. （2）二元函数在点处的两个偏导数和都存在，则（ D ） (A)在该点可微； (B) 在该点连续可微； (C)在该点沿随意方向的方向导数存在；(D

9、) 以上结论都不对. （3）函数在处（ A ） (A) 不取极值； (B) 取微小值； (C) 取极大值； (D)是否取极值依靠于. （4）在曲线的全部切线中，与平面平行的切线（ B ） （A）只有1条； （B）只有2条； （C）至少有3条； （D）不存在. （5）设，其中，下面运算中（ B ） ， (A)、都不正确； (B) 正确，不正确； (C) 不正确，正确； (D) 、都正确. 2填空题（每小题3分） （1）已知志向气体状态方程，则； （2）设，则； （3）函数在点的梯度为； （4）已知，其中为可微函数，则； （5）已知曲面上的点处的法线平行于直线，则该法线的方程为 3设，其中均为二阶

10、可微函数，求. 解：因为 所以 4设，试以新变量变换方程，其中对各变量有二阶连续偏导数. 解： 从而 5已知，其中均为可微函数，求. 解：对函数取全微分得， 从而 6设是曲面在处指向外侧的法向量，求函数在点处沿方向的方向导数. 解：指向下侧在此即抛物面的外侧， 从而 7在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标. 解：设切点为，则切平面为 在的最值问题与在下的最值问题等价，只是最大与最小问题焕位而已。令 则 与约束条件结合推得 由于在第一卦限，从而切点为 8设 （1）求，； （2），是否在原点连续？在原点是否可微？说明理由. 解：（1）当 ， 当在此为分段点，用定义求偏导数 （2），在原点因为二重极限不存在从而不连续，但 9已知为常数，且，求证：. 解：令，则问题化为在约束条件下的最大值为1 令，则 ， 结合约束条件 由于该实际问题的最大值肯定存在，又可能点唯一，因此最大值为 从而