第6章节关系数据库规范化理论.docx

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1、第6章节关系数据库规范化理论第 第 6 章关系数据库规范化理论一个关系数据库模式由一组关系模式组成，一个关系模式由一组属性名组成。关系数据库设计，就是如何把已给定的相互关联的一组属性名分组，并把每一组属性名组成关系的问题。然而，属性的分组不是唯一的，不同的分组对应着不同的数据库应用系统，它们的效率往往相差很远。为了使数据库设计合理牢靠，简洁好用，长期以来，形成了关系数据库设计的理论 规范化理论。 6.1关系规范化的作用 规范化，就是用形式更为简洁，结构更加规范的关系模式取代原有关系模式的过程。假如将两个或两个以上实体的数据存放在一个表里，就会出现下列三个问题： 数据冗余度大 插入异样 删除异样

2、所谓数据冗余，就是相同数据在数据库中多次重复存放的现象。数据冗余不仅会奢侈存储空间，而且可能造成数据的不一样性。插入异样是指，当在不规范的数据表中插入数据时，由于实体完整性约束要求主码不能为空的限制，而使有用数据无法插入的状况。删除异样是指，当不规范的数据表中某条须要删除的元组中包含有一部分有用数据时，就会出现删除困难。（以 P98 工资表为例）解决上述三个问题的方法，就是将不规范的关系分解成为多个关系，使得每个关系中只包含一个实体的数据。（讲例子解）当然，改进后的关系模式也存在另一问题，当查询职工工资时须要将两个关系连接后方能查询，而关系连接的代价也是很大的。那么，什么样的关系须要分解？分解

3、关系模式的理论依据又是什么？分解完后能否完全消退上述三个问题？回答这些问题须要理论指导。下面，将加以探讨： 6.2函数依靠 6.2.1 属性间关系实体间的联系有两类：一类是实体与实体之间联系；另一类是实体内部各属性间的联系。数据库建模一章中探讨的是前一类，在这里我们将学习其次类。和第一类一样，实体内部各属性间的联系也分为 1:1、1:n 和 m:n 三类：例：职工（职工号，姓名，身份证号码，职称，部门）1、 一对一关系（1:1）设 X、Y 是关系 R 的两个属性（集）。假如对于 X 中的任一详细值，Y 中至多有一个值与之对应，反之，对于 Y 中的任一详细值，X 中也至多有一个值与之对应，则称

4、X、Y 两属性间是一对一关系。如本例职工关系中职工号与身份证号码之间就是一对一关系。2、一对多关系（1:n）设 X、Y 是关系 R 的两个属性（集）。假如对于 X 中的任一详细值，Y 中可以找到多个值与之对应，而对于 Y 中的任一详细值，X 中至多只有一个值与之对应，则称属性 X 对 Y 是一对多关系。如职工关系中职工号与职称之间就是一对多的关系。3、多对多关系（m:n）设 X、Y 是关系 R 的两个属性（集）。假如对于 X 中的任一详细值，Y 中有 n 个值与之对应，而对于 Y 中的任一详细值，X 中也有 m 个值与之对应，则称属性 X 对 Y 是一对多（m:n）关系。例如，职工关系中，职称

5、与部门之间就是多对多的关系。上述属性间的三种关系，事实上是属性值之间相互依靠与相互制约的反映，因而称之为属性间的数据依靠。数据依靠共有三种： 函数依靠（Functional Dependency，FD） 多值依靠（Multivalued Dependency，MVD） 连接依靠（Join Dependency，JD）其中最重要的是函数依靠和多值依靠。6.2.2函数依靠函数依靠，是属性之间的一种联系。在关系 R 中，X、Y 为 R 的两个属性或属性组，假如对于 R的全部关系 r 都存在：对于 X 的每一个详细值，Y 都只有一个详细值与之对应，则称属性 Y 函数依靠于属性 X。或者说，属性 X 函

6、数确定属性 Y，记作 X→Y。其中 X 叫作确定因素，Y 叫作被确定因素。上述定义，可简言之：假如属性 X 的值确定属性 Y 的值，那么属性 Y 函数依靠于属性 X。换一种说法：假如知道 X 的值，就可以获得 Y 的值，则可以说 X 确定 Y。若 Y 函数不依靠于 X，记作：X→Y。若 X→Y，Y→X，记作： 前面学习的属性间的三种关系，并不是每种关系中都存在着函数依靠。 假如 X、Y 间是 1:1 关系，则存在函数依靠 X←→Y 假如 X、Y 间是 1:n 关系，则存在函数依靠：X→Y 或 Y→X（多方为确定因素

7、） 假如 X、Y 间是 m:n 关系，则不存在函数依靠。留意，属性间的函数依靠不是指 R 的某个或某些关系子集满意上述限定条件，而是指 R 的一切关系子集都要满意定义中的限定。只要有一个详细的关系 r（R的一个关系子集）不满意定义中的条件，就破坏了函数依靠，使函数依靠不成立。这里的关系子集，指的是 R 的某一部分元组的集合，例如：地测学院的学生关系中只包含了地测学院学生的数据，所以它是长安高校学生关系的一个子集。6.2.3码的定义前面，我们对码进行了直观化的定义，下面用函数依靠的概念对码作出较为精确的形式化的定义：设 K 是关系模式 R（U，F）中的属性或属性组，K’是 K 的任一

8、子集。若K→U，而不存在 K→，则 K 为 R的 候选码（Candidate Key） 若候选码多于一个，则选其中的一个为 主码（Primary Key）； 包含在任一候选码中的属性，叫做 主属性（Primary Attribute）； 不包含在任何码中的属性称为 非主属性（Nonprime Attribute）或非码属性（Nonkey Attribute） 关系模式中，最简洁的状况是单个属性是码，称为 单码（Single Key）；最极端的状况是整个属性组是码，称为 全码（AllKey）。前面已多次遇到单码的状况，下面是一个全码的例子：签约（演员名，制片公司，电影名）外码

9、：设有两个关系 R和 S，X 是 R 的属性或属性组，并且 X不是 R的码，但 X 是 S 的码（或与 S 的码意义相同），则称 X 是 R 的码 外部码（Foreign Key），简称 外码或 外键。如：职工（职工号，姓名，性别，职称，部门号）部门（部门号，部门名，电话，负责人）其中职工关系中的部门号就是职工关系的一个外码。在此须要留意，在定义中说 X 不是 R 的码，并不是说 X 不是 R 的主属性，X 不是码，但可以是码的组成属性，或者是任一候选码中的一个主属性。如：学生（学生号，姓名，性别，年龄„）课程（课程号，课程名，任课老师„）选课（学生号，课程号，成果）在

10、选课关系中，（学生号，课程号）是该关系的码，学生号、课程号又分别是组成主码的属性（但单独不是码），它们分别是学生关系和课程关系的主码，所以是选课关系的两个外码。关系间的联系，可以通过同时存在于两个或多个关系中的主码和外码的取值来建立。如要查询某个职工所在部门的状况，只需查询部门表中的部门号与该职工部门号相同的记录即可。所以，主码和外码供应了一个表示关系间联系的途径。6.2.4函数依靠和码的唯一性由上述码的形式化定义，我们可以说：码是由一个或多个属性组成的，可唯一标识元组的最小属性组。码在关系中总是唯一的，即一个码函数唯一地确定一行。假如码的值重复，则整个元组都会重复。否则，违反了实体完整性规则

11、。而元组的重复则表示存在两个完全相同的实体，这明显是不行能的，所以码是不允许重复取值的。所以，只有当某个属性或属性组能够函数确定关系中的每一个其它的属性，且该属性组的任何一个真子集都做不到这一点时，该属性或属性组才是该关系的码。函数依靠是一个与数据有关的事物规则的概念。假如属性 B 函数依靠于属性 A，那么若知道了 A 的值，则完全可以找到 B的值。这并非是可以由 A 的值计算出 B 的值，而是逻辑上只能存在一个 B 的值。 6.3关系模式的 规范化 一、非规范化的关系当一个表中存在还可以再分的数据项时，这个表就是非规范化的表。非规范化表存在两种状况： 表中具有组合数据项（P102表 6-4）

12、 表中具有多值数据项（P103表 6-5）例： 那么什么是规范化关系呢？当一个关系中的全部重量都是不行再分的数据项时，该关系是规范化的。即当表中不存在组合数据项和多值数据项，只存在不行分的数据项时，这个表是规范化的。二维表按其规范化程度从低到高可分为 5 级范式（Normal Form），分别称为 1NF、2NF、3NF（BCNF）、4NF、5NF。规范化程度较高者必是较低者的子集，即：1NF 2NF 3NF BCNF 4NF 5NF二、第一范式（1NF）定义 1：假如关系模式 R 中不包含多值属性，则 R 满意第一范式（First Normal Form），记作：R∈1NF1NF

13、是对关系的最低要求，不满意 1NF 的关系是非规范化的关系。非规范化关系转化为规范化关系 1NF 方法很简洁，只要上表分别从横向、纵向绽开即可。如下表：上表虽然符合 1NF，但仍是有问题的关系，表中存在大量的数据冗余和潜在的数据更新异样。缘由是（职工号，学历）是右表的码，但姓名、职称、系名、系办地址却与学历无关，只与码的一部分有关。所以上表还需进一步地规范化。三、其次范式（2NF）定义 1：设 X、Y 是关系 R 的两个不同的属性或属性组，且 X → Y。假如存在 X 的某一个真子集 X’，使 X’→ Y 成立，则称 Y 部分函数依靠于 X，记作：X

14、P → Y（Partial）。反之，则称 Y 完全函数依靠于 X，记作：XF → Y （Full）义 定义 2：假如一个关系 R∈1NF，且它的全部非主属性都完全函数依靠于R的任一候选码，则 R属于其次范式，记作：R ∈2NF。说明：上述定义中所谓的候选码也包括主码，因为 码首先应是候选码，才可以被指定为 码。例如关系模式：职工（ 职工号 ，姓名，职称， 项目号 ，项目名称，项目角色）中（职工号，项目号）是该关系的码，而职工号→姓名、职工号→职称、项目号→项目名称„所以（职工号，项目号）P → 职称、（

15、职工号，项目号）P → 项目名称故上述职工关系不符合其次范式要求。它存在三个问题：插入异样、删除异样和修改异样。其中 修改异样是这样的，当职工关系中项目名称发生改变时，由于参加该项目的人员许多，每人一条记录，要修改项目信息，就得对每一个参与该项目的人员信息进行修改，加大了工作量，还有可能发生遗漏，存在着数据一样性被破坏的可能。可把上述职工关系分解成如下三个关系：职工（职工号，姓名，职称）参加项目（职工号，项目号，项目角色）项目（项目号，项目名称）上述三个关系都符合定义 2 的要求，所以都符合 2NF推论：式 假如关系模式 R ∈1NF， ，且它的每一个候选码都是单码，则 则

16、 R ∈2NF符合其次范式的关系模式仍可能存在数据冗余、更新异样等问题。如关系职工信息（职工号，姓名，职称，系名，系办地址）虽然也符合 2NF，但当某个系中有 100 名职工时，元组中的 系办地址就要重复 100 次，存在着较高的数据冗余。缘由是关系中， 系办地址不是干脆函数依靠于职工号，而是因为职工号函数确定系名，而系名函数决定系办地址，才使得系办地址函数依靠于职工号，这种依靠是一个传递依靠的过程。所以，上述职工信息的关系模式还须要进一步的规范化。四、第三范式（3NF）义 定义 1：在关系 R 中，X、Y、Z 是 R的三个不同的属性或属性组，假如X→Y，Y→Z，

17、但 Y→X，且 Y 不是 X 的子集，则称 Z 传递函数依靠于X。义 定义 2：假如关系模式 R∈2NF，且它的每一个非主属性都不传递依靠于任何候选码，则称 R是第三范式，记作：R ∈3NF论 推论 1：假如关系模式 R∈1NF，且它的每一个非主属性既不部分依靠、也不传递依靠于任何候选码，则 R∈3NF论 推论 2：不存非主属性的关系模式肯定为 3NF 的 五、改进的 3NF BCNF （Boyee Codd Normal Form）定义：设关系模式 R（U，F）∈1NF，若 F 的任一函数依靠 X→Y（Y X）中 X 都包

18、含了 R 的一个码，则称 R∈BCNF。换言之，在关系模式 R 中，假如每一个函数依靠的确定因素都包含码，则 R∈BCNF推论：假如 R∈BCNF，则： R中全部非主属性对每一个码都是完全函数依靠； R 中全部主属性对每一个不包含它的码，都是完全函数依靠； R中没有任何属性完全函数依靠于非码的任何一组属性。定理：假如 R∈BCNF，则 R∈3NF 肯定成立。证明：（结合传递依靠的定义，用反证法）留意：当 R∈3NF 时，R 未必属于 BCNF。因为 3NF 比 BCNF 放宽了一个限制，它允许确定因素不包含码。例如：通讯（城市名，街道

19、名，邮政编码）中：F（城市名，街道名）→邮政编码，邮政编码→城市名非主属性邮政编码完全函数依靠于码，且无传递依靠，故属于 3NF，但邮政编码也是一个确定因素，而且它没有包含码，所以该关系不属于BCNF。又如：Teaching （Student ，Teacher ，Course ）简记为 Teaching （S ，T ，C）规定：一个老师只能教一门课，每门课程可由多个老师讲授；学生一旦选定某门课程，老师就相应地固定。FT→C，（S，C）→T,(S，T) →C该关系的候选码是（S，C）和（S，T），因此，三个属性都是主属性，由于不存在非主属性，该关

20、系肯定是 3NF。但由于确定因素 T 没包含码，故它不是 BCNF。关系模式 Teaching 仍旧存在着数据冗余问题，因为存在着主属性对码的部分函数依靠问题。准确地表示：FT→C，（S，C）P →T,(S，T) P →C所以 Teaching 关系可以分解为以下两个 BCNF 关系模式：Teacher（Teacher，Course）Student（Student，Teacher）3NF 的不彻底性，表现在可能存在 主属性对码的部分依靠和传递依靠。一个关系模式假如达到了 BCNF，那么，在函数依靠范围内，它就已经实现了彻底的分别，消退了数据冗余、插入和删除异样。

21、6.4 多值依靠和第四范式 一、多值依靠（Multivalued Dependency）例：学校中某一门课程由多个教员讲授，他们运用相同的一套参考书，每个教员可以讲授多门课程，每种参考书可以供多门课程运用。下列是用一个非规范化的表来表示教员 T，课程 C 和参考书 B 之间的关系。把上表变换成一张规范化的二维表 Teaching，如右表关系模式 Teaching（C，T，B）的码是（C，T，B），即 AllKey。因而Teaching∈BCNF。根据上述语义规定，当某门课程增加一名讲课教员时，就要向 Teaching 表中增加与相应参考书等数目的元组。同样，某门课程要去掉一本参考书时

22、，则必需删除相应数目的元组。对数据的增、删、改很不便利，数据的冗余也非常明显。假如细致考察这类关系模式，会发觉它具有一种称之为多值依靠的数据依靠关系。定义：设 R（U）是属性集 U 上的一个关系模式，X，Y，Z 是 U 的子集，且 ZU-X-Y。假如对 R（U）的任一关系 r，给定一对（x，z）值，都有一组 y 值与之对应，这组 y 值仅仅确定于 x 值而与 z 值无关。则称 Y 多值依靠于 X，或 X 多值确定 Y，记作：X →→Y。例如，在关系模式 Teaching 中，对于一个（C，B）值（物理，一般物理学），有一组 T 值李勇，王军，而这组值仅仅确定于课程 C上的值

23、（物理）。即对于另一个（物理，光学原理），它对应的 T 值仍旧是李勇，王军，所以 T 的值与 B 的值无关，仅确定于 C的值，即 C →→T 。 多值依靠的另一个等价的形式化定义为：设关系模式 R（U），X、Y、Z 是 U 的子集，ZU-X-Y，r 是 R 的随意一个关系，t1、t2 是 r的随意两个元组。假如 t1X=t2X，并在 r 中存在两个元组 t3、t4，使得：t3X=t4X=t1Xt3Y=t1Y，t3Z=t2Z，t4Y=t2Y，t4Z=t1Z成立，则 X →→Y。换句话说：假如 X →→Y 在 R（U）中成立，则只要在 R

24、 的任一关系 r 中存在两个元组 t1、t2 在 X 属性上的值相等，则交换这两个元组在 Y（或Z）上的值后得到的两个新元组 t3、t4 也必是关系 r 中的元组。定义中假如 Z（空集），则称 X→→Y 为平凡的多值依靠，否则为非平凡的多值依靠。多值依靠具有如下性质：1. 对称性：若 X→→Y，则 X→→Z，其中 ZU-X-Y2. 传递性：若 X→→Y，Y→→Z，则 X→→Z-Y3. 若 X→→Y，X→→Z，则 X→&rarr

25、;YZ4. 若 X→→Y，X→→Z，则 X→→Y∩Z5. 若 X→→Y，X→→Z，则 X→→Y-Z，X→→Z-Y多值依靠与函数依靠相比，具有下面两个基本区分：（1）多值依靠的有效性与属性集的范围有关若 X→→Y 在 U 上成立，则在 V（XY V U）上肯定成立；反之则不然，即 X→→Y 在 V(V U)上成立，在 U 上并不肯定成立。这是因为多值依靠的定义中不仅涉及属性组 X、Y，而且涉及 U 中的其余属性

26、 Z（ZU-X-Y）。一般地说，在 R（U）上若有 X→→Y 在 V（V U）上成立，则称 X→→Y 为 R（U）的嵌入型多值依靠。而在关系模式 R（U）中函数依靠 X→Y 的有效性，仅确定于 X 和 Y 这两个属性集的值。只要在 R（U）的任何一个关系 r 中，元组在 X 和 Y 上的值使得 X→Y 成立，则 X→Y 在任何属性集 V（XY V U）上也成立。（2）若函数依靠 X→Y 在 R（U）上成立，则对于任何 Y’ Y 均有 X→Y’ 成立。而多值依靠 X→&ra

27、rr;Y 若在 R（U）上成立，却不能断言对于任何 Y’ Y 有 X→→Y’ 成立。多值依靠的约束规则：在具有多值依靠的关系中，假如随意删去一个元组，就会破坏其对称性，那么，为了保持多值依靠关系中的多值依靠性，就必需删去另外的相关元组以维持其对称性。这就是多值依靠的约束规则。目前的 RDBMS 尚不具有维护这种约束的实力，须要程序员在编程中实现。函数依靠可看成是多值依靠的特例，即函数依靠肯定是多值依靠。而多值依靠则不肯定就有函数依靠。 二、第四范式（4NF）定义：假如关系模式 R∈1NF，对于 R的每个非平凡的多值依靠 X→&ra

28、rr;Y（Y X），X 含有码，则称 R 是第四范式，即 R∈4NF关系模式 R∈4NF 时，R中全部的非平凡多值依靠事实上就是函数依靠。因为每一个确定因素中都含有码，所以 R肯定属于 BCNF。4NF 事实上就是限制关系模式的属性间不允许有非平凡，而且非函数依靠的多值依靠存在。反过来说，4NF 所允许的非平凡多值依靠事实上是函数依靠。例题中的 Teaching 关系属于 BCNF，但它不属于 4NF。因为它的码是（C，T，B），关系中存在非平凡多值依靠 C→→T ，C→→B，但 C 不包含码，而只是码的一部分。要使 Teaching

29、 关系符合 4NF，必需将其分解为 CT（C，T）和 CB（C，B）两个关系模式。如右表：从表中自不待言，符合 BCNF 的关系 Teaching 仍旧存在着数据冗余，而分解后的关系 CT 和 CB中只有平凡多值依靠，所以符合 4NF，它们已经消退了数据冗余。可以说：BCNF 是在只有函数依靠的关系模式中，规范化程度最高的范式，而 4NF 是在有多值依靠的关系模式中，规范化程度最高的范式。假如关系模式中存在连接依靠，即便它符合 4NF，仍有可能遇到数据冗余及更新异样等问题。所以对于达到 4NF 的关系模式，还须要消退其中可能存在的连接依靠，才可以进一步达到 5NF 的关系模式。关于 连接依靠和

30、 5NF 的内容，已超出了本课程教学大纲的要求，在此不再介绍。 6.5关系的规范化程度 在关系数据库中，对关系模式的基本要求是满意第一范式。符合 1NF 的关系模式就是合法的，允许的。但是人们发觉有些关系存在这样那样的问题，就提出了关系规范化的要求。 关系规范化的目的，是解决关系模式中存在的数据冗余、插入和删除异样、更新繁琐等问题。 关系规范化的基本思想是，消退数据依靠中不合适的部分，使各关系模式达到某种程度的分别，使一个关系只描述一个概念、一个实体或实体间的一种联。所以规范化的实质就是概念单一化的过程。 关系规范化的过程是通过对关系模式的分解来实现的。把低一级的关系模式分解为若干高一级的关系

31、模式。 规范化程度越高，分解就越细，所得关系的数据冗余就越小，更新异样也会越少。 但是，规范化在削减关系的数据冗余和消退更新异样的同时，也加大了系统对数据检索的开销，降低了数据检索的效率。因为关系分得越细，数据检索时所涉及的关系个数就越多，系统只有对全部这些关系的进行自然连接，才能获得所需的全部信息。而连接操作所需的系统资源和开销是比较大的。所以不能说，规范化程度越高的关系模式优良。 规范化应满意的基本原则是：由低到高，逐步规范，权衡利弊，适可而止。通常以满意第三范式为基本要求。 关系模式的分解是通过投影运算实现的。而这种投影分解的方案不是唯一的。所以投影的过程还应满意下列三个条件： 分解是无

32、损连接分解，分解后所得各关系，通过连接要能复原出分解前的数据。不能少也不能多。 分解所得的全部关系都是高一级的范式的关系 分解所得关系的个数要最少。6.6函数依靠公理与模式分解在规范化理论中，模式分解以及分解是否等价是有肯定算法的。函数依靠公理系统是模式分解算法的基础，它可以从已知的函数依靠推导出其它的函数依靠。下面首先探讨函数依靠的一套推理规则，这套规则是由 Armstrong 于1974 年提出来的，因此常被称为 Armstrong 公理系统。一、函数依靠公 理 Armstrong 公理系统：设有关系模式 R（U，F），X，Y，Z，W⊆ ⊆ U，则对 R（U，F）有：

33、A1（自反律）：若 Y⊆ ⊆ X，则 X→Y；(由自反律所得到的函数依靠均是平凡的函数依靠) A2（增广律）：若 X→Y，则 XZ→YZ（YZY∪Z） A3（传递律）：若 X→Y，Y→Z，则 X→Z。这些规则是保真的，它们不会产生错误的函数依靠。引理 1：Armstrong 公理是正确的。即假如函数依靠 F 成立，则由 F依据Armstrong 公理所推导的函数依靠总是成立的。（并且被称为 F 所蕴含的函数依靠）证明：设 t 1 ，t 2 是关系 R中的随意两个元组。A1：A2： A3：定理 1：Armst

34、rong 公理是正确的、完备的。由 Armstrong 公理系统，可以得到以下三个推论： 合成规则：若 X→Y，X→Z，则 X→YZ； 分解规则：若 X→YZ，则 X→Y，X→Z； 伪传递规则：若 X→Y，YW→Z，则 XW→Z。依据合成规则和分解规则很简单得到这样的重要事实。称之为引理 2：引理 2：X→A 1A 2 „ A k 成立的充分必要条件是 X→A i 成立（i1，2，k）。 例：证明：对 R（A，B，C，G，H，I），FA→B，A→C，CG

35、→H，CG→I，B→H，存在：A→H，CG→HI，AG→I求证：(1)由于 A→B，B→H，依传递律，可得 A→H(2)由于 CG→H，CG→I，依合成规则，可得 CG→HI（3）由于 A→C，CG→I，依伪传递律，可得 AG→I。也可另证为： 由 A→C，依增广律，得 AG→CG，又 CG→I，依传递律，得：AG→I 二、闭包及其计算定义：R（U，F），由 Armstrong 公理从 F 推出的函数依靠

36、X→A i 中 A i 的属性集合，为 X 的属性闭包，记作：X ，读作 X 关于函数依靠集 F 的闭 闭包。也有的书上这样表示：X F AX→A 能由 F 依据 Armstrong 公理导出 由引理 2 可以推出 引理 3：设 R（U，F），X，Y⊆ ⊆ U，则从 F 推导出 X→Y 的充要条件是 Y⊆ ⊆ X假如要推断 X→Y 是否能由 F 依据 Armstrong 公理导出，只需求出 X ，并推断 Y 是否为 X 的子集即可。那么，只要求出 X ，一切问题就都解决了。书上有一个求 X 的算法。其基本思想是：首

37、先明确 X 的含义是 X 所能函数确定的全部被确定因素的集合。然后，只要能证明某个属性或属性组函数依靠于 X，便能确定它属于 X ，因为X→X 是无争的事实，所以 X 应属于 X ，然后在 F 中找寻其确定因素包含于 X 的函数依靠，若存在，则它的被确定因素也应属于 X 。依次类推，找出 F 中全部确定因素包含于所求出的中间集的全部函数依靠，并把它们的被确定因素都并到该闭包的中间集中。直到在 F 中再也找不到符合上述条件的函数依靠时。所求的闭包集就是最终的闭包。下面通过一个例子来说明。例：R（U，F），其中 UA，B，C，D，E，I，FA→D，AB→C，BI&ra

38、rr;C，ED→I，C→E，求(AC)解：（1）令 XAC，则 X（0）AC;（2）在 F 中找出左边是 AC 子集的函数依靠：A→D，C→E；（3）X（1）X（0）∪D∪EACDE；（4）很明显 X（1）≠X（0）；（5）在 F 中找左边是 ACDE 子集的函数依靠：ED→I；（6）X（2）X（1）∪I =ACDEI ；（7）虽然 X（2）≠X（1），但是 F 中未用过的函数依靠的左边属性已没有 X（2）的子集，所以停止计算，输出（AC） X（2）ACDEI。 三、 函数依靠的覆盖函数依靠集的闭包：关系模式

39、 R（U，F）中为 F 所逻辑蕴含的函数依靠的全体叫做 F 的 闭包，记为 F 。函数依靠的覆盖：设 F 和 G 是关系模式 R（U）上的两个函数依靠集，假如 F G ，则称 F 和 G 是等价的，记作 F≡G。也可以说 F覆盖 G，或G 覆盖 F，或 F、G 相互覆盖。两个引理：（1）F≡G 的充分必要条件是 F⊆ ⊆ G 、G⊆ ⊆ F （2）任一函数依靠集，总可以为一右边全是单属性的函数依靠集所覆盖。对上述引理（1）是自不待言的。引理（2）可以这样理解，依据函数依靠的分解规则，任一个右部为属性组的函数依靠都可以分解为右部为单

40、属性的若干个函数依靠。所以，对于任一个函数依靠集，总可以找到一个右边全是单属性的函数依靠集覆盖它。定义：假如函数依靠集 F 满意下列条件，则称 F 为一个 微小函数依靠集，或称 最小依靠集或 最小覆盖。 F 中任一函数依靠的右部都是单属性； F 中任一函数依靠 X→A，都不会使 F 与 FX→A等价。 F 中任一函数依靠 X→A，X 的任一真子集 X′，不会使 FX→A ∪X′→A与 F 等价。上述其次个条件保证了 F 中不存在多余的函数依靠，第三个条件保证了 F中每个函数依靠左部没有多余的属性。定理：任一函数依

41、靠集 F 均等价于一个微小的函数依靠集 F m 。最小的依靠集可以上述定义为基本思想所确定的算法求解。下面以 P113页例 6.5 为例来介绍最小依靠集的求解过程。（讲课时参照书上例子讲） 四、关系模式的分解关系模式经分解后，应与原来的关系模式等价。即两者对数据的运用者来说应是等价的。即对分解前后的关系，做相同内容的查询，应产生相同的结果。这是对模式分解的基本要求。历年来，人们对等价的概念形成了三种不同的定义： 分解具有无损连接性（Lossless join）； 分解具有函数依靠保持性（Preserve dependency）； 分解既要具有无损连接性，又要具有函数依靠保持性下面分别介绍 无损

42、连接性和 函数依靠保持性两个概念的含义及其判定算法。1、 无损连接性：对关系模式分解时，原关系模式下任一合法的关系实例，在分解之后，应能通过自然连接运算复原起来。所以无损连接性有时也称为 无损分解。（下列定义根据课时的状况选择讲解或不讲）定义：设ρR1，R2，Rk是关系模式 R（U，F）的一个分解，假如对于 R 的任一满意 F 的关系 r，都有 r∏ R1 （r）∏ R2 （r）∏Rk （r），则称分解ρ是满意函数依靠集 F 的无损连接分解或无损分解。关于无损连接性的推断算法很奇妙，也很简单理解，在课堂上不讲，但有可能出现此类考题，请同学们自己看书

43、学习。（有时间时可以讲书上例子 P114 下部例 6.6）2 、函依靠保持性：函数依靠集的投影 函数依靠集的投影：设有关系模式 R（U，F），Z⊆ U，则 Z 所涉及到的 F中全部函数依靠为 F 在 在 Z 上的投影，记为∏ Z （F），有∏ Z （F）X→Y(X→Y)∈F 且 XY⊆ Z函数依靠保持性：设 R（U，F）的一个分解ρR1，R2，Rk，假如 F 等价于∏ R1 （F）∪∏ R2 （F）∪∪∏ Rk （F）则称分解ρ具有函数依靠保持性。一个无损

44、连接的分解不肯定具有函数依靠保持性；同样地，一个具有函数依靠保持性的分解也不肯定具无损连接性。检验一个分解是否具有依靠保持性，事实上是检验∏ R1 （F）∪∏ R2 （F）∪∪∏ Rk （F）是否覆盖 F。（书上关于它的算法令人费解。可以不讲）介绍 P114 页例 6.6 是一个具有依靠保持性的分解。在实际数据库设计中，关系模式的分解主要有两种准则：（1）只满意无损连接性；（2）既满意无损连接性，又满意函数依靠保持性。准则（2）比（1）更志向，但分解时受到更多的限制。假如一个分解，只满意函数依靠保持性，而不满意无损连接性，是没有好用价值的。所以 无损连接性是模式分解必需满意的条件。 （本章小结在书 P116 页下半部，书上内容通俗易懂，无需讲解。有时间的话可以择其要者而读之。）