高数下册总结同济第六版.docx

《高数下册总结同济第六版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数下册总结同济第六版.docx（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、高数下册总结同济第六版高 数 （ 下 ）小 结一、微分方程复习要点解微分方程时，先要推断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法 求出其通解. 一阶微分方程的解法小结：方程 编号 类 型 一 般形式 解法 备注 1 型 可分别变量方程 ) ( ) ( y x y j f = 或 分别变量法 有些方程作代换后可化为 1 型 2 型 齐次方程 ) (xyy f = 或 令 化 或yxuxyu = =为 1 型求解 有时方程写成) (yxx f = 令 uyx= 化为 1 型求解 3 型 线性方程 或 1 常数变易法 2 凑导数法：同乘 有时方程不是关于y y , 线性方程，而是关于 x x

2、 , 线性方程 4 型 贝努里方程 或 令 z y =- a 1或 z x =- a 1化为3型求解 有时方程不是关于y y , 的贝努里方程，而是关于 x x ,贝努里方程 5 型 全 微 分 方 程 0 ) , ( ) , ( = + dy y x Q dx y x P其中yPxQ= ( , ) u x y 为原函数 有时乘以一个积分因子可化为 5 型 二阶微分方程的解法小结： 类 型 特征 求 解 方 法备注缺, x y n 次积分求解见上册齐 次方 程 0 y py qy + + =的 通解 y为：判别式 两特征根状况 通解相异实根1r ，2r二重实根0r共轭复根 b a i r ,

3、=2 1非齐次方程 ( ) y py qy f x + + = 的 特解*y 的形式为：( ) x f 的形式 特征根状况 *y 的形式r 不是特征根r 是 k 重特征根 i a b 不是特征根i a b 是特征根主要: :一阶 1 1 、可分别变量方程、线性微分方程的求解；2 2 、二阶常系数齐次线性微分方程的求解；3 3 、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 缺 y令 , y p y p = = ，降为一阶方程 降价后是关于 p， x 的一阶方程缺 x令 ( ) y p y = ， dydpp y=降为一阶方程 降价后是关于 p ,y 的一阶方程 ( ) p y fdydpp , = ,

4、p q 常系数 通解 y y y*+ =y y*及 见下表二、多元函数微分学复习要点一、偏导数的求法1、显函数的偏导数的求法 在求xz时，应将 y 看作常量，对 x 求导，在求zy时，应将 x 看作常量，对 y 求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式.2、复合函数的偏导数的求法 设 ( ) v , u f z = ， ( ) y , x u j = ， ( ) y , x v y = ，则 xvvzxuuzxz+=，yvvzyuuzyz+= 几种特别状况：1）( ) v , u f z = ， ( ) x u j = ， ( ) x v y = ，则dxdvvzxududzdxdz+ =

5、2）( ) , z f x v = ， ( ) y , x v y = ，则xvvfxfxz+=，yvufyz= 3）( ) u f z = ， ( ) y , x u j = 则xududzxz =，yududzyz = 3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的状况 设 ( ) y , x z z = 是由方程 ( ) 0 = z , y , x F 唯一确定的隐函数，则 ( ) 0 - =zzxFFFxz，( ) 0 - =zzyFFFyz 或者视 ( ) y , x z z = ，由方程 ( ) 0 = z , y , x F 两边同时对 ( ) x y 或 求导解出( )z zx y

6、或 . 2）方程组的状况 由方程组( )( )=00v , u , y , x Gv , u , y , x F两边同时对 ( ) x y 或 求导解出 ( )z zx y 或 即可. 二、 全微分的求法方法 1：利用公式 dzzudyyudxxudu+=方法 2：干脆两边同时求微分，解出 du 即可.其中要留意应用微分形式的不变性：三、 空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法1）设空间曲线的参数方程为( )( )( )=t zt yt xwyj，则当0t t = 时，在曲线上对应点 ( )0 0 0 0z , y , x P 处的切线方向向量为 ( ) ( ) ( ) 0 0 0t , t

7、, t T w y j =v，切线方程为 法平面方程为( )( ) ( )( ) ( )( ) 00 0 0 0 0 0= - + - + - z z t y y t x x t w y j2）若曲面 S 的方程为 ( ) 0 = z , y , x F ，则在点 ( )0 0 0 0z , y , x P 处的法向量 0P z y xF , F , F n =v ，切平面方程为 法线方程为( ) ( ) ( )0 0 000 0 000 0 00z , y , x Fz zz , y , x Fy yz , y , x Fx xz y x-=-=- 若曲面 S 的方程为 ( ) y , x

8、f z = ，则在点 ( )0 0 0 0z , y , x P 处的法向量( ) ( ) 10 0 0 0- = , y , x f , y , x f ny xv，切平面方程为法线方程为( ) ( ) 100 000 00-=-=- z zy , x fy yy , x fx xy x 四、 多元函数极值（最值）的求法1 无条件极值的求法 设函数 ( ) y , x f z = 在点 ( )0 0 0y , x P 的某邻域内具有二阶连续偏导数，由( ) , 0xf x y = ， ( ) , 0yf x y = ， 解 出 驻 点 ( )0 0, x y ， 记 ( )0 0y , x

9、f Axx= ，( )0 0y , x f Bxy= ， ( )0 0y , x f Cyy= . 1）若20 AC B - ，则 ( ) y , x f 在点 ( )0 0, x y 处取得极值，且当 0 A 时有微小值. 2）若20 AC B - ，则 ( ) y , x f 在点 ( )0 0, x y 处无极值. 3）若 02= - B AC ，不能判定 ( ) y , x f 在点 ( )0 0, x y 处是否取得极值. 2 条件极值的求法 函数 ( ) y , x f z = 在满意条件 ( ) 0 = y , x j 下极值的方法如下：1）化为无条件极值：若能从条件 ( ) 0

10、 = y , x j 解出 y 代入 ( ) y , x f 中，则使函数 ( , ) z z x y = 成为一元函数无条件的极值问题. 2）拉格朗日乘数法 作协助函数 ( ) ( ) ( ) y x y x f y x F , , , lj + = ，其中 l 为参数，解方程组 求出驻点坐标 ( ) y , x ，则驻点 ( ) y , x 可能是条件极值点. 3 最大值与最小值的求法 若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值. 主要: :1 1 、 偏导数的求法与全微分的求法；2

11、、 空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法3、 最大值与最小值的求法 三、多元函数积分学复习要点七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：积分类型 积分记号 定义及几何意义 积分区域 积 分 元 素 被积函数 一重积分曲边梯形面积 区间 , a bdx = = x D一元函数 二重积分曲顶柱体体积平面区域 D D 二元函数 三重积分 空间区域 W 三元函数 第 一 类 曲 线积分 平面或空间曲线 Lds=2 2) ( ) ( dy dx +=2 2212 2( ) ( )x y dtdx yr r d q q q + + + 二 元 或 三元函数第 二 类 曲 线积分 平面或空间曲线 L 二

12、元 或 三元函数 第一类 曲面积分 空间曲面 三元函数 第 二 类 曲 面积分 空间曲面 三元函数 计 算 方 法 应 用 转动惯量XI 重心 x其它（面积.体积.功等）见 上册 表后*所示 1 1 ） ) () (21xxbafdy dxjjor ) () (21yydcfdy dxjj2) ) () (21) sin , cos (qqbaq q qrrrdr r r f d 1 1 体 积- =xyDd z z V s ) (1 22 2 ）曲面面积A= + +xyDy xdxdy z z2 21 1) ) , () , (21y x zy x z Dfdz dXYs 2) ZDccfd

13、xdy dz23) 柱面坐标法4）球面坐标法 xI = = W+ dv z y r ) (2 2 体积 V= Wdv 1 1 ）2 2( ( ), ( ) f t t x y dtbaf j + 2) dx y x y x fba +21 ) ( , (4 4 ）化为其次类曲线积分 xI = = Lds y r2x = =LLdsds xrr曲线所围面积 A=-Lydx xdy21baf j f dt t t t f ) ( ) ( ), ( ( ) 12）dx x y x fba) ( , ( 3）-baq q q q q q d r r r f ) sin( ) sin ) ( , cos

14、 ) ( (4）Lds y x f a cos ) , ( 5 ）green 公式计算法6）折线计算法（积分与路径无关时）；7）连续变形原理计算法； 8）N L - 公式计算法 1 1）功W= +LQdy Pdx 求二元函数的原函数xI = = + ds z y r ) (2 2x = =dsds xrr面积 S= ds* * 定积分的几何应用定积分应用的常用公式：(1)面积 ( ) ( ) - = dx x g x f Sba （ X - 型区域的面积）( ) ( ) q q qbad r r S- =212221 （ q - 型区域的面积）(2)体积 ( )= dx x A Vba（横截面

15、面积已知的立体体积）( )2 bxx aV f x dx p = （ ( ), , , 0 y f x x a x b y = = = = 所围图形绕 x 轴旋转所得的立体体积）( )xy2baV x f x dx p = （ ( ), , , 0 y f x x a x b y = = = = 所围图形绕 y 轴旋转的立体体积）( )2( )by c aV f x c dx p= - （ ( ), , , y f x x a x b y c = = = = 所围图形绕轴 y c =旋转的立体体积）(3)弧长 ( )( )( )22 22 21baba t ty dxS x y dtr r d

16、baq+= + +直角坐标形式参数方程形式极坐标形式 计算时留意：（1）正确选择恰当的公式；（2）正确的给出积分上下1）干脆代入法xyDdxdy y x z y x f ) , ( , , ( 2 2 ）Gaus 公式计算法 ； 3）投影转移法限；（3）留意对称性使问题简化；（4）留意选择恰当的积分变量以使问题简化 计算多元函数的积分时要留意利用对称性简化积分的计算：1）、对二、三重及第一类的线面积分，若积分区域关于变量 x 对称，则当被积函数关于 x 为奇函数时，该积分为 0，当被积函数关于变量 x 为偶函数时，则该积分为相应一半区域积分的二倍. 2）、对其次类的线面积分，关于积分变量的对称

17、性理论与上相同，关于非积分变量 的对称性理论与上相反.3）、若积分区域 , x y 的地位同等（即将表示区域的方程 , x y 互换不变），则将被积函 数中 , x y 互换积分不变.此称之为轮换对称性.主要1、交换二次积分的积分次序； 2、化三重积分为球面坐标或柱面坐标下的三次积分； 3、 green 公式计算法； 4、Gaus 公式计算法； 5、两曲面所围体积与旋转体的体积计算 6.平面图形面积的计算。所以：( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01 ( ) 1 ( )z z p x p yp y p x p y z u p x z ux y u u j j - + = + = - -