最大值原理优秀PPT.ppt

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1、其次章其次章 最大值原理及其应用最大值原理及其应用1.最大值原理最大值原理上一章利用变分法探讨了限制上一章利用变分法探讨了限制无约束无约束的最优限制问题。这一章探讨的最优限制问题。这一章探讨限制限制 有有约束的状况，介绍约束的状况，介绍Pontryagin最大值原最大值原理。理。考虑下列最优限制问题：考虑下列最优限制问题：为容许限制集，紧集（有界闭集，凸的）例如：,可测，目标函数：在允许限制集 中求一个限制 使最小（最大）。定义Hamilton函数：假设：关于自变量连续。设 为最优限制，为对应的最优轨线，最大值原理给出 为使 达最小（大）值的必要条件。定理1:（最大值原理）为最优限制的必要条件

2、是：（1）存在协状态向量 它和 满足下列正则方程组：（2）Hamilton函数作为 的函数，在 达到最小（大）值。即：将 视为常数，关于 取最小值。（3）边界条件：一.假如 已给，则正则方程的边界条件为：注：当问题是求解 使 达最大值时，则必要条件中（2）因为：二.若已给 ，已知，而 自由时，边界条件为：三假如 自由，则边界条件为：以确定 ，边界条件的推导与无约束最优限制问题相同。例1：已知系统的状态方程为：求 使得 最小。解：Hamilton函数为：协状态方程为：即：（由经典变分法，它不满足协状态方程，因此用古典变分法不能得到最优解）。由最大值原理，应选 使 最小，当 时：使 最小。当 时：

3、使 最小。当 时：,所以：为减函数。这样得到的最优限制为：由状态方程：当 取最优限制时，例例2：（鱼塘的最优管理问题）鱼塘的动态模型：设 为 时刻鱼的总数，为捕捞速度（单位时间内捕捞的鱼数），则鱼群的数学模型方程为：为鱼的自然增长率，最优管理的问题是：求一个捕捞速度 使得:并使总捕捞量：达到最大。解：由最大值原理Hamilton函数作为 的函数，应在最优限制 达到最大值。因此：正则方程：边界条件：对于不同的 ，和 可有下列三种状况：其中 为切换时间，即捕捞速度变更 到的时刻，正则方程的第一个状态方程的解可表示成：设：例4.基金管理：有一笔基金20万元，存入银行，年利10，支配用 60年，到60

4、年时只剩3千元，每年支取不少于1万5千，不多于4万，求最优的策略使得总额最大。解：状态方程：初值：终值：约束：目标函数：求 使得 最大。解：令由最大值原理及Hamilton函数的表示，可知：正则方程：解正则方程中的协状态方程：1.假如 ，则 ，可得：，明显不合题意。2.假如 ，同样有：3.假如 ，由小于1变成大于1。在 上：由 可得：在 上，两式中的 相等，可得注：前面讲过的无约束最优限制中的必要条件只是最大值原理的特殊情况。关于 的梯度 在 处为0（）是 使 取得极值的必要条件。因此前面的无约束最优限制问题均可利用最大值原理来求解.PMP有的参数书上也称之为最小值原理，实质上没有什么区分，只

5、要稍加变换即可。注：1.假如 ，已知，自由，目标函数为：则：为最优限制的必要条件：（1）和（2）与定理1相同。（3）边界条件：当 自由时，再增加一个条件：2.假如 已给，要求 落在 维轨线上结果与定理1相同。一 固定：（1）正则方程（2）优化（3）边界条件：为独立参数。二 自由时，增加一个条件：3.当 都不显含 时，中不显含 ，同前面一样，当 固定时：假如 自由：2.最大值原理应用最大值原理应用2.1 线性系统的最小时间限制问题线性系统的最小时间限制问题在很多问题中，人们感爱好的性能指标是考虑把系统的初始状态转移到某个规定状态，所须要的时间最短.已知系统的状态方程：其中问题是：求限制 ，使系统

6、从已知的初始状态 转移到点，并且使得 最小（这就是所谓的最小时间限制问题）。是自由的.求解最小时间限制系统，利用最大值原理定理2.1：假如 为最小时间限制问题的最优限制，为最优轨线，则（1）存在协状态向量 ，和 满足下列正则方程：（2）边界条件：（3）在 上其中 证明：由 使 最小向量形式:为最优协状态向量，则 满足协状态方程：又由 自由及 不显含 ，则 沿着最优轨线的导数，此时:即：最优限制 假如存在的话，则 或取1或取1，因此限制是Bang-Bang限制型的。Bang-Bang原则对于线性定常系统：能控集：设设令令定理2.2：（Bang-Bang Principle）对于线性定常系统，有：

7、并且是依靠于 的紧凸集。最小时间限制系统的性质1.正则与奇异性概念：最小时间限制问题的最优解：正则性：定义1.：对 ，除有限点为零外,则称最小时间限制是正则的。奇异性：定义2.：设在 上至少有一个小区间 ，使得对某一 有 ，则称最小时间控制是奇异的。定理2.3：最小时间限制是正则的充要条件是：完全能控 ,。证明：反设为奇异的，存在 使得某个 。而 ，冲突，因此，正则性成立。反设 不能控，令：设 为 的特征多项式，则：则：冲突.定理2.4：对于正则最小时间问题，若A的特征根均为实数,则最优限制 的每一个重量 都是有限段的逐段常值函数，并且切换次数最多为 次。证明：切换时刻 为 的实 根。先考虑单

8、根，均为单根的状况：为 的不相同的特征根，假如 存在重根，则令 重数为 ，则只需证明：最多有 个根。反设有 个根：令：有 个根 ，则在 之间必有 的一个根，记为：则 共有 个根令 ，有 个根，必有 个根：即：有 个根 有 个根，令 ，至少有一个根，冲突，证毕。定理定理2.5：正则的最小时间问题的最优：正则的最小时间问题的最优限制假如存在，则是唯一的。限制假如存在，则是唯一的。证明：反设不唯一，存在不同的证明：反设不唯一，存在不同的 和和 均为最优限制，令均为最优限制，令 可以可以 证明为最优的。证明为最优的。和和 为为Bang-Bang限制，均在限制，均在相同相同 时间将状态转移到时间将状态转

9、移到0状态，因状态，因为是线性定常系统的限制，由线性方为是线性定常系统的限制，由线性方程解的叠加性原理可知：程解的叠加性原理可知：也在 时刻将状态转移到0状态，因此 亦为最优解，又因为 和 是不相等的，所以 不是Bang-Bang限制，又最小时间问题的最优解确定是Bang-Bang限制，矛盾，唯一性成立。例1.升降机的快速限制 问 最小？解：由最大值原理 协状态方程：为了得到，探讨状态轨线：当 时消去 可得：或：在 平面（相平面）上是一族抛物线，在这些抛物线中只有：能达到 点。当 时，只有 能达到 点。将 和 拼起来，记为 ，将 平面分成两部分，和 。在实际问题中 ，假如 ，但 取 （图中阴影部 分），状态只能沿交于 轴，当向下的初速度过大时，即运用最大的力向上作用也不能使升降机到达地面时的速度为零。（不能控的状况）对于一般的线性最小时间限制问题，为了得到 反馈限制，为切换曲线（或超曲面）一般来说，是很难求出的。假如 可求出（试验法）依靠于 。令 有：当 遍取 时，在维数 低时可运用，高维时难以应用。