数学建模课件1讲义.优秀PPT.ppt

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1、数学建模概论1数数 学学 建建 模模 数学建模周教学课件（指导老师：周其华）数学建模2概论 数学具有超越民族和时空的尺度。数学可能傲岸地直达星宿，也可能谦恭地为市场服务。H.W.邓博 想象力比学问更重要。因为学问是有限的，而想象力包括世界的一切，推动着进步，并且是学问的源泉。A.爱因斯坦数学建模3概论学问实力力气 缺乏学问的实力是低层次的实力,缺乏实力的学问是僵死的学问。大百科全书式的学问积累，假如缺乏转化到应用中去的实力，仅仅是百科全书而已。因此，强调培育“应用实力”是本课程的主要特点。数学建模4概论 本课程着重于如下实力的培育。1.培育实际问题与数学问题之间的“双向翻译”实力。2.培育敏捷

2、而恰当地应用数学学问，创建性地解决问题的实力。3.培育敏锐的对问题本质的洞察实力。4.培育娴熟运用计算机手段解决数学问题的实力。数学建模5概论 主要内容：主要内容：什么是数学模型？什么是数学模型？数学建模模型举例数学建模模型举例数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 lingo简介简介数学建模6概论一、一、什么是数学模型什么是数学模型 我们从几个简洁例子说起。我们从几个简洁例子说起。例例1.航行问题航行问题 甲乙两地相距甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水公里，船从甲到乙顺水航行需航行需30小时，从乙到甲逆水航行需小时，从乙到甲逆水航行需50小小时，问船的速度是多少时，问船的速度是多少?数学建

3、模7概论 用用x表示船速，用表示船速，用y表示水速，列出方程表示水速，列出方程 求解求解x=20y=5答：船速每小时答：船速每小时20千米千米.数学建模8概论 例例2 商人平安过河问题商人平安过河问题 有三个商人与三个随从一块过河，只有有三个商人与三个随从一块过河，只有一只小船，每次最多载两人。随从们密约，一只小船，每次最多载两人。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。就杀人越货。但是乘船渡河的方案由商人确定，商人但是乘船渡河的方案由商人确定，商人们怎样才能平安过河？们怎样才能平安过河？数学建模9概论图解法：图解法：图解法：图解法：

4、状态状态状态状态s=(x,y)16s=(x,y)16个格点个格点个格点个格点允许状态允许状态允许状态允许状态 允许决策允许决策允许决策允许决策 移动移动移动移动1 1或或或或2 2格；格；格；格；k k奇，左下移；奇，左下移；奇，左下移；奇，左下移；k k偶，右上移。偶，右上移。偶，右上移。偶，右上移。平安渡河方案见图中箭头平安渡河方案见图中箭头平安渡河方案见图中箭头平安渡河方案见图中箭头所指路途。所指路途。所指路途。所指路途。xy3322110d11d1 10个个 点点数学建模10概论 例例3 3 一只装满水的圆柱型桶，底半径为一只装满水的圆柱型桶，底半径为1 1 米，高米，高为为2 2 米

5、，米，底部有始终径为底部有始终径为0.1 0.1 米的洞。问桶米的洞。问桶流空要多少时间？流空要多少时间？数学建模11概论图数学建模12概论 忽视摩擦引起的能量损失，则在一个忽视摩擦引起的能量损失，则在一个t t时间区间内，时间区间内，水面降低削减的势能应等于等量的水流出小洞的动能，即水面降低削减的势能应等于等量的水流出小洞的动能，即在随意时刻有在随意时刻有 于是于是 这就是流体力学中的托里拆利定律。这就是流体力学中的托里拆利定律。数学建模13概论 设设A为桶的水平截面积，为桶的水平截面积，B为洞的为洞的水平截面积，水平截面积，h为桶内水的高度，为桶内水的高度，s为由洞口流出的水柱的长度，则有

6、为由洞口流出的水柱的长度，则有 AdhBds 即即 dhB/Ads 而而 ds/dtv 数学建模14概论故有故有 dhB/Avdt已知已知 数学建模15概论 h-1/2dh=-4.43(0.05)2dt h-1/2dh=-4.43(0.05)2dt模型模型 对上式积分得对上式积分得 解得解得 t=255.39 t=255.39 （秒）（秒）以上是经典数学模型的几个简洁例子，数学模以上是经典数学模型的几个简洁例子，数学模型的表现形式是多种多样的。型的表现形式是多种多样的。数学建模16概论 数学模型是对于一个特定的对象，为了一个特定的目标，依据事物的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学

7、工具，得到的一个数学结构。数学建模17概论 “特定的对象特定的对象”表明白数学模型的表明白数学模型的应用性，即它是为解决某个实际问题应用性，即它是为解决某个实际问题而提出的（桶中的水）。而提出的（桶中的水）。“特定的目的特定的目的”表明白它的功能性，表明白它的功能性，即当探讨一个特定对象时，不是笼统即当探讨一个特定对象时，不是笼统地探讨该对象的方方面面，而是为实地探讨该对象的方方面面，而是为实现特殊的功能而探讨的（水流完的时现特殊的功能而探讨的（水流完的时间）。间）。数学建模18概论 “依据事物的内在规律作出必要的简化假设”表明白数学模型的抽象性。从繁杂的现象中将那些最本质的因素提炼出来，忽视

8、次要因素，如例1.1中忽视了摩擦、温度、气压等。一个因素是否可忽视，须依建模目的而定，例如考虑炮弹射程时可忽视地球自转因素，但洲际导弹则必需考虑此因素。数学建模19概论 “运用适当的数学工具，得到数学结构”表明白数学模型的数量性。“数学结构”可以是数学公式、算法、表格、图示等。它体现了数学模型不同于其他模型，是一种用数学语言表达的定量化的抽象模型。数学建模20概论图图图图 1.1.数学模型的桥梁作用数学模型的桥梁作用数学模型的桥梁作用数学模型的桥梁作用 每个工程技术人员应成为架设这座桥梁每个工程技术人员应成为架设这座桥梁的工程师的工程师 数学建模21概论二、数学建模二、数学建模 模型模型例一例

9、一 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析 通常通常 三只脚着地三只脚着地 放稳放稳 四只脚着地四只脚着地模型假设模型假设 1 1 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形;2 2 地面高度连续变更，可视为数学上的连续地面高度连续变更，可视为数学上的连续曲面曲面;数学建模22概论3 地面相对平坦，使椅子在随意位置至少三只脚地面相对平坦，使椅子在随意位置至少三只脚同时着地。同时着地。模型构成模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来示出来1 椅子位置椅子位置

10、 利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性2 用用(对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置3 四只脚着地四只脚着地 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零 距离是距离是的函数的函数数学建模23概论四个距离四个距离(四只脚四只脚)正方形对称性两个距离正方形对称性两个距离 A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f()B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g()x xB BA AD DC COODDC C B B A A 正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转数学建模24概论n n模型构成n n用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来n n

11、1地面为连续曲面 故 f(),g()是连续函数 2椅子在随意位置至少三只脚着地 故对随意,f(),g()至少一个为0n n数学问题 n n 已知：f(),g()是连续函数;对随意，f()g()=0;且 g(0)=0，f(0)0.n n证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.数学建模25概论n n模型求解模型求解模型求解模型求解n n 给出一种简洁、粗糙的证明方法给出一种简洁、粗糙的证明方法给出一种简洁、粗糙的证明方法给出一种简洁、粗糙的证明方法 n n 将椅子旋转将椅子旋转将椅子旋转将椅子旋转900900，对角线，对角线，对角线，对角线ACAC和和和和BDBD互换。互换。互换。互换。n n 由

12、由由由g(0)=0g(0)=0，f(0)0 f(0)0，知，知，知，知f(f(/2)=0,g(/2)=0,g(/2)0./2)0.n n 令令令令h(h()=f()=f()g()g(),),则则则则h(0)0h(0)0和和和和h(h(/2)0./2)0.n n 由由由由 f,g f,g的连续性知的连续性知的连续性知的连续性知 h h为连续函数为连续函数为连续函数为连续函数,据连续函数的据连续函数的据连续函数的据连续函数的基本性质基本性质基本性质基本性质,必存在必存在必存在必存在0,0,使使使使h(h(0)=0,0)=0,即即即即f(f(0)=0)=g(g(0).0).n n 因为因为因为因为f

13、(f()g()g()=0,)=0,所以所以所以所以f(f(0)=g(0)=g(0)=0.0)=0.n n 评注和思索评注和思索评注和思索评注和思索 建模的关键建模的关键建模的关键建模的关键 和和和和 f(f(),g(),g()的确定的确定的确定的确定n n 考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子数学建模26概论 例二例二 假设木匠销售桌子和书架假设木匠销售桌子和书架的单位净利润分别是的单位净利润分别是25 25 美元和美元和3030美元，他希望确定每种家具每美元，他希望确定每种家具每周制作多少，他每周最多有周制作多少，他每周最多有600600张

14、木板可以运用，并且每周最多张木板可以运用，并且每周最多工作工作4040小时。假如木板和劳动时小时。假如木板和劳动时间不用于生产桌子和书架，他能间不用于生产桌子和书架，他能够将他们有效地运用在其他方面。够将他们有效地运用在其他方面。据估计，生产一张桌子须要据估计，生产一张桌子须要2020张张木板和木板和5 5小时劳动时间，生产一小时劳动时间，生产一个书架须要个书架须要3030张木板和张木板和4 4小时劳小时劳动时间。此外，他已经签订了每动时间。此外，他已经签订了每周供应周供应4 4张桌子和张桌子和2 2个书架的交货个书架的交货合同。他希望确定桌子和书架的合同。他希望确定桌子和书架的周生产支配，使

15、获得的利润最大。周生产支配，使获得的利润最大。数学建模27概论桌子桌子桌子桌子 书架书架书架书架需要木板数（张）需要木板数（张）2030需花费劳动时间需花费劳动时间（小时）（小时）54合同要求（张）合同要求（张）42单位利润（美元）单位利润（美元）2530共有木板共有木板600600张，工作时间张，工作时间4040小时小时问题：确定桌子和书架的周问题：确定桌子和书架的周生产支配，使获得的利润最大。生产支配，使获得的利润最大。数学建模28概论n n目标函数：目标函数：n n约束条件：约束条件：n n木板约束：木板约束：n n劳动时间约束：劳动时间约束：n n合同约束：合同约束：lingoling

16、o运算结果：运算结果：x1=4,x2=5x1=4,x2=5时有最大利润：时有最大利润：250250美元美元数学建模29概论例三例三 钢管下料问题钢管下料问题 某钢管零售商从钢管厂进货,将钢管依据顾客的要求切割后售出.从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m长.现有客户要求(下表),应如何下料最节约?客户要求钢管长度客户要求钢管长度客户要求钢管长度客户要求钢管长度数量数量数量数量4m4m5050根根6m 6m 2020根根8m8m1515根根数学建模30概论合理的切割模式合理的切割模式:余料不超过客户所须要的钢管最小尺寸余料不超过客户所须要的钢管最小尺寸 即即:余料余料44m4m4m4m钢管根数钢

17、管根数钢管根数钢管根数6m6m6m6m钢管根数钢管根数钢管根数钢管根数8m8m8m8m钢管根数钢管根数钢管根数钢管根数余料余料余料余料/m/m/m/m模式模式1 14 40 00 03 3模式模式2 23 31 10 01 1模式模式3 32 20 01 13 3模式模式4 41 12 20 03 3模式模式5 51 11 11 11 1模式模式6 60 03 30 01 1模式模式7 70 00 02 23 3数学建模31概论用xi表示依据第i钟模式（i=12,.7)切割的原料钢管的根数。对”下料最省”的两种理解：切割原料钢管的总根数最少切割后剩余的总余料最少数学建模32概论客户要求客户要求

18、客户要求客户要求钢管长度钢管长度钢管长度钢管长度数量数量数量数量4m4m5050根根6m 6m 2020根根8m8m1515根根4m4m4m4m6m6m6m6m8m8m8m8m余余余余料料料料/m/m/m/m模式模式1 14 40 00 03 3模式模式2 23 31 10 01 1模式模式3 32 20 01 13 3模式模式4 41 12 20 03 3模式模式5 51 11 11 11 1模式模式6 60 03 30 01 1模式模式7 70 00 02 23 3数学建模33概论模型求解模型求解用用lingolingo软件求解软件求解:1.以切割后剩余的总余料为目标函数时：x1=0 x2

19、=15 x3=0 x4=0 x5=12 x6=0 x7=02.以切割原料钢管的总根数为目标函数时：x1=0 x2=15 x3=0 x4=0 x5=5 x6=0 x7=5数学建模34概论三、三、数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 建立数学模型与其说是一门技术，不如说是一门艺术。成功建立一个好的模型，就犹如完成一件杰出的艺术品，是一种困难的创建性劳动。正因为如此，这里介绍的步骤只能是一种大致上的规范。数学建模35概论 建立模型的大致步骤。1.模型准备 在建模前应对实际背景有尽可能深化的了解，明确所要解决问题的目的和要求，收集必要的数据。归纳为一句话：深化了解背景，明确目的要求，收集有关数据。数学

20、建模36概论 2.模型假设 在充分消化信息的基础上，将实际问题志向化、简洁化、线性化，紧紧抓住问题的本质及主要因素，作出既合情合理，又便于数学处理的假设。归纳为一句话：充分消化信息，抓住主要因素，作出恰当假设。数学建模37概论 3.模型建立 用数学语言描述问题。依据变量类型及问题目标 选择适当数学工具。留意模型的完整性与正确性。模型要充分简化，以便于求解；同时要保 证模型与实际问题有足够的贴近度。正确翻译问题，合理简化模型，选择适当方法。数学建模38概论 4.模型求解 就困难一些的实际问题而言，能得到解析解更好，但更多情形是求数值解。对计算方法与应用软件驾驭的程度，以及编程实力的凹凸，将确定求

21、解结果的优化程度及精度。驾驭计算方法，应用数学软件，提高编程实力。数学建模39概论 5.模型检验与分析 模型建立后，可依据须要进行以下检验分析。结果检验：将求解结果“翻译”回实际问题中，检验模型的合理性与适用性。敏感性分析：分析目标函数对各变量变更的敏感性。稳定性分析：分析模型对参数变更的“容忍”程度。误差分析：对近似计算结果的误差作出估计。数学建模40概论 概括地说，数学建模是一个迭代的过程，概括地说，数学建模是一个迭代的过程，其一般步骤可用流程图表示：其一般步骤可用流程图表示：图图2.2.数学建模的过程数学建模的过程数学建模41概论四、论文格式四、论文格式n n摘要摘要 数模方法数模方法

22、主要结果主要结果n n问题重述问题重述n n假设假设n n符号设定符号设定n n问题分析问题分析n n建立模型及求解建立模型及求解n n模型检验模型检验n n参考文献参考文献l lA4A4纸打印纸打印l l 封面不要彩页封面不要彩页l l 正文为宋体正文为宋体数学建模42概论数学建模周论文格式规范数学建模周论文格式规范n n请将答题论文用word文档或pdf文件储存。n n每篇论文总页数限制在15页之内。n n请同学们调整好论文的格式，尤其留意调整公式下标的大小，以免看不清，打印一律接受黑白打印，请调整好论文中图片颜色的对比度。n n论文第一页为封面，运用附一中统一封面样式，A4大小。论文的其

23、次页必需是论文摘要，用单独一页书写，放在封面后正文前。数学建模43概论n n论文第三页起先是论文正文。n n论文从其次页（摘要）起先编写页码，页码必需位于每页右下角，用阿拉伯数字从“1”起先连续编号。n n论文题目用初号或1号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律接受小4号黑色宋体字，行距用单倍行距。n n论文附加部分的内容还包括有关计算过程的具体资料（例如图表等）以及作者认为须要交代的其他资料（例如参考书等）。数学建模44概论留意：留意：n n1.摘要在整篇论文评阅中占有重要权重，请细致书写摘要（留意篇幅不能超过一页）。摘要中把论文的主要内容及特点充分表达出来。论文主要部分

24、要阐述题目，假设，分析，建模，解模和结果的全过程，对模型的检验及模型的优缺点和发展前景也要有所表述。数学建模45概论n n2.引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必需依据规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如13等；引用书籍还必需指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：编号 作者，书名，出版地：出版社，出版年。数学建模46概论n n参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：编号 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。参考文献中网上资源的表述方式为：编号 作者，资源标题，网址，访问时间（年

25、月日）。数学建模47概论 数学建模一周论文数学建模一周论文 （论文题（论文题目）目）姓名姓名1 1：学号：学号：姓名姓名2 2：学号：学号：姓名姓名3 3：学号：学号：专专 业：业：班班 级：级：指导老师：指导老师：年年 月月 日日数学建模48概论四、数学模型求解四、数学模型求解一个一个简洁的简洁的LINGO程序程序n n例例例例 干脆用干脆用干脆用干脆用LINGOLINGOLINGOLINGO来解来解来解来解如下二次规划问题：如下二次规划问题：如下二次规划问题：如下二次规划问题：数学建模49概论输入窗口如下：数学建模50概论程序语句输入的备注：LINGOLINGO总是依据总是依据“MAX=”

26、“MAX=”或或“MIN=”“MIN=”找寻目标函数，找寻目标函数，而除注释语句和而除注释语句和TITLETITLE语句外的其他语句都是约束条件，语句外的其他语句都是约束条件，因此语句的依次并不重要因此语句的依次并不重要 。限定变量取整数值的语句为限定变量取整数值的语句为“GIN(X1)”“GIN(X1)”和和“GIN(X2)”“GIN(X2)”，不行以写成，不行以写成“GIN(2)”“GIN(2)”，否则，否则LINGOLINGO将把这个模型看成没有整数变量。将把这个模型看成没有整数变量。LINGOLINGO中函数一律须要以中函数一律须要以“”“”开头，其中整型变量函开头，其中整型变量函数（

27、数（BINBIN、GINGIN）和上下界限定函数（）和上下界限定函数（FREEFREE、SUBSUB、SLBSLB）与）与LINDOLINDO中的吩咐类似。而且中的吩咐类似。而且0/10/1变量函数是变量函数是BINBIN函数。函数。数学建模51概论输出结果：n n运行菜单吩咐运行菜单吩咐运行菜单吩咐运行菜单吩咐“LINGO|Solve”“LINGO|Solve”“LINGO|Solve”“LINGO|Solve”数学建模52概论LINGO运用留意点n n LINGO LINGO LINGO LINGO的基本用法的几点留意事项的基本用法的几点留意事项的基本用法的几点留意事项的基本用法的几点留意

28、事项 n n INGO INGO INGO INGO中不区分大小写字母；变量和行名可以超过中不区分大小写字母；变量和行名可以超过中不区分大小写字母；变量和行名可以超过中不区分大小写字母；变量和行名可以超过8 8 8 8个字符，但不能个字符，但不能个字符，但不能个字符，但不能超过超过超过超过32323232个字符，且必需以字母开头。个字符，且必需以字母开头。个字符，且必需以字母开头。个字符，且必需以字母开头。n n 用用用用LINGOLINGOLINGOLINGO解优化模型时已假定全部变量非负解优化模型时已假定全部变量非负解优化模型时已假定全部变量非负解优化模型时已假定全部变量非负(除非用限定变

29、量取值范除非用限定变量取值范除非用限定变量取值范除非用限定变量取值范围的函数围的函数围的函数围的函数freefreefreefree或或或或subsubsubsub或或或或slbslbslbslb另行说明另行说明另行说明另行说明)。n n 变量可以放在约束条件的右端变量可以放在约束条件的右端变量可以放在约束条件的右端变量可以放在约束条件的右端(同时数字也可放在约束条件的左端同时数字也可放在约束条件的左端同时数字也可放在约束条件的左端同时数字也可放在约束条件的左端)。但为了提高但为了提高但为了提高但为了提高LINGOLINGOLINGOLINGO求解时的效率，应尽可能接受线性表达式定义目标求解时

30、的效率，应尽可能接受线性表达式定义目标求解时的效率，应尽可能接受线性表达式定义目标求解时的效率，应尽可能接受线性表达式定义目标和约束和约束和约束和约束(假如可能的话假如可能的话假如可能的话假如可能的话)。n n 语句是组成语句是组成语句是组成语句是组成LINGOLINGOLINGOLINGO模型的基本单位模型的基本单位模型的基本单位模型的基本单位,每个语句都以分号结尾，编写程每个语句都以分号结尾，编写程每个语句都以分号结尾，编写程每个语句都以分号结尾，编写程序时应留意模型的可读性。例如：一行只写一个语句，依据语句之序时应留意模型的可读性。例如：一行只写一个语句，依据语句之序时应留意模型的可读性

31、。例如：一行只写一个语句，依据语句之序时应留意模型的可读性。例如：一行只写一个语句，依据语句之间的嵌套关系对语句支配适当的缩进，增加层次感。间的嵌套关系对语句支配适当的缩进，增加层次感。间的嵌套关系对语句支配适当的缩进，增加层次感。间的嵌套关系对语句支配适当的缩进，增加层次感。n n 以感叹号起先的是说明语句以感叹号起先的是说明语句以感叹号起先的是说明语句以感叹号起先的是说明语句(说明语句也须要以分号结束说明语句也须要以分号结束说明语句也须要以分号结束说明语句也须要以分号结束)）。）。）。）。题目下载地址题目下载地址n necitmaths.blog.163 数学建模54概论人有了学问，就会具备各种分析实力，明辨是非的实力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富学问，培育逻辑思维实力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培育文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的学问面。有很多书籍还能培育我们的道德情操，给我们巨大的精神力气，鼓舞我们前进。