第二类曲面积分地计算方法.doc

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1、第二类曲面积分的计算方法第二类曲面积分的计算方法赵海林 张纬纬摘要 利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes 公式， 积分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes 公式 向量计算形式1 1 引言引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用 着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必 须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲 面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的

2、数学知识面广，掌握起来 有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到 相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种 方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分 与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方 法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用.2 2 预备知识预备知识2 21 1 第二型曲面积分的概念第二型曲面积分的概念2.1.12.1.1 流量问题流量问题( (物理背景物理背景) )设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为 ）的速度为1,( , , )( ,

3、 , )( , , )( , , )v x y zP x y z iQ x y z jR x y z k是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面一侧流向另一侧的流量.若为平面上面积为的区域，而流速是常向量，指定侧的单位法向量Svcoscoscosnijk则cos.S vS v n 若为曲面，流速不是常向量，则用下面的方法计算流量.v(1)(1) 分割将任意分成小块同时代表其面积.(1,2iiS inS , ),(2)(2) 近似，以点处的流速和单位法向量分别代替( ,)iiiiiMS iM()iivv Min上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过指定侧的流量的近似值： iSiS(1,2,iii

4、S vn in , ).(3)(3) 求和 1niii iv nS(4)(4) 取极限10 1max,=.limniii niiT iTSv nS 设的直径则这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第二型曲面积分.2.1.22.1.2 定义定义 ,PQRSST 设为定义在双侧曲面上的函数, 在所指定的一侧作分割它，max 1,21TS,S ,ni ninS STS 把分为个小曲面分割的细度， ，的径max 1i niTS 的直径，,S yzzxxyiiiiSSS分别表示在三个坐标面上的投影区域,.SSii的面积，他们的符号由的方向来确定若的法线正向与轴正向成锐角时,z.S xyiiiSxoy

5、Sz在平面的投影区域的面积为正反之, 若法线正向与轴正向成钝角时,.S xyiixoyS他在平面的投影区域的面积为负在各个小曲面上任取一点,(,)iii 若存在，0lim1TniP ,(,)iii yziS0lim1TniQ ,(,)iii zxiS0lim1TniR ,(,)iii xyiS,.ST(,)SPQRiiii 且与曲面的分割和在上的取法无关，则称此极限为函数，S在曲面所指定的一侧上的第二型曲面积分，记作( , , )( , , )( , , )SP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy或者.( , , )( , , )( , , )SSSP x y

6、 z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdyS据此定义，某流体以速度在单位时间内从曲面的负侧流向正侧的总流量为S( , )vP Q R在单位时间内从曲面的负侧流向正侧的总流量为( , , )( , , )( , , )SP x y z dxdzQ x y z dzdxR x y z dxdy (,( , , ),( , , ), ( , , )SP x y z Q x y z R x y z又若，空间的磁场强度为则通过曲面的磁通量( , , )( , , )( , , )SHP x y z dxdzQ x y z dzdxR x y z dxdySS若以表示曲面的另一侧，由定

7、义易得( , , )( , , )( , , )SP x y z dxdzQ x y z dzdxR x y z dxdy( , , )( , , )( , , )SP x y z dxdzQ x y z dzdxR x y z dxdy 2 22 2 第二型曲面积分的性质第二型曲面积分的性质性质性质 1 1 (方向性) 设向量值函数在定向的光滑曲面上的第二型曲面积分vS存在.记为与取相反侧的曲面，则在上的第二型曲面积分也存在，且成SSvS立.注意这个等式两边的是方向相反的.SSv ndSv ndS n性质性质 2 2 （线性性） 若 存在，则iii SPdydzQdzdxRdxdy(1,2,

8、ki ，)有=，111()()()kkkiiiiii iiiSc P dydzcQ dzdxc R dxdy 1kiiii iScPdydzQdzdxRdxdy 其中是常数.ici1 2k（，）性质性质 3 3 (曲面可加性) 若曲面是由两两无公共内点的曲面块所组成，S12,SkS S ，且( , , )( , , )( , , )iSP x y z dxdzQ x y z dzdxR x y z dxdyi1,2k（，）存在，则有( , , )( , , )( , , )SP x y z dxdzQ x y z dzdxR x y z dxdy1( , , )( , , )( , , )ik

9、iSP x y z dxdzQ x y z dzdxR x y z dxdy2.32.3 第二型曲面积分的数量表达式第二型曲面积分的数量表达式( , , ) ( , , ),( , , ), ( , , )A x y zP x y z Q x y z R x y z 设cos ,cos,cos ,n 则( , , )( coscoscos )A x y zndSPQRdS .dSS其中是曲面的面积元素记，称为曲面cos,cos,cos,dSn dSdSdSdSdydz dzdx dxdydS.S的面积微元向量则,A ndSA dSPdydzQdzdxRdxdy 从而.SSA ndSPdydzQ

10、dzdxRdxdy 即，是在面上的投影；( , , )SSA x y zndSPdydzQdzdxRdxdy dydzdSyoz是在面上的投影；在在面上的投影. 他们的取值可正、dzdxdSzoxdxdydSxoy可负、也可为零.如当时，取符号.cos0dxdy特殊形式：称为对坐标的曲面积分；( , , )SP x y z dydzP, y z称为对坐标的曲面积分；( , , )SQ x y z dzdxQ, z x称为对坐标的曲面积分.( , , )SR x y z dxdyR, x y2.42.4 介绍两类曲面积分之间的联系介绍两类曲面积分之间的联系与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以

11、建立两种类型曲面积分的联系.设为光滑曲面，并以上侧为正侧，为上的连续函数，曲面积分在的正侧进SRSS 行.因而有(1)(1) 0 1lim( , , )( ,) xyniiiiT iSR x y z dxdyRS 由曲面面积公式，其中是曲面的法线方向与轴正向1 cos ixyi SSdxdyiSz的交角，它是定义在上的函数.因为积分沿曲面正侧进行，所以是锐角 .又由 xyiS是光滑的，所以在闭区域上连续.应用中值定理，在内必存在一点，Scos xyiS xyiS使这点的法线方向与轴正向的夹角满足等式或zi1 cosxyii iSS.cos xyiiiSS于是. 个部分相加后得( ,)( ,)c

12、os xyiiiiiiiiiRSRS n(2)(2) 11( ,)( ,)cos xynniiiiiiiii iiRSRS 现在以表示曲面在点的 法线方向与轴正向夹角的余弦，则由cosi iS( ,)iiix y zz的连续性，可推得当时，式右端极限存在.因此由式得到 cos0T (2)(1)(3)(3) ( , , )( , , )cosSSQ x y z dzdxQ x y zdS这里注意当改变曲面的侧向时，左边积分改变符号，右边积分中角改为.因 而也改变符号，所以右边积分也相应改变了符号.cos同理可证：( , , )( , , )cosSSP x y z dydzP x y zdS(

13、, , )( , , )cosSSQ x y z dzdxQ x y zdS(4)(4) 其中分别是上的法线方向与轴正向和与轴正向的夹角.一般地有, Sxy( , , )( , , )( , , )SP x y z dxdzQ x y z dzdxR x y z dxdy（5 5） ( , , )cos( , , )cos( , , )cos SP x y zQ x y zR x y zdScoscoscos这样在确定余弦函数,之后，由(3), (4), (5)式，.便建立了两种不同类型曲面积分的联系3 3 介绍第二型曲面积分的多种计算方法介绍第二型曲面积分的多种计算方法在数学分析课程中，有关

14、曲面积分，尤其是第二型曲面积分的计算是一个重点、 也是一个难点问题，学生在学习过程中往往对这一问题感到束手无策、无从下手。 这一方面是由于曲面积分计算本身的复杂性，它既要考虑到曲面的形状及其投影区 域，又要注意到曲面的侧；另一方面,也表明学生对这一计算问题缺乏必要而又行之 有效的方法.第二型曲面积分常用的计算方法主要有定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，利用高斯公式求解，利用公式求解，利用积分区间对stokes 称性，向量法以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.3.13.1 直接利用定义法进行计算直接利用定义法进行计算 若在光滑有向曲面上连续,则( , , )R x y z

15、:S z,xyzx yx yD存在,且有计算公式: ( , , )d dSR x y zx yR x,y,z dxdyR, ,z,d dxySDx yx yx y 其中表示在面上的投影区域，当曲面取上侧时公式的右端取“”号，xyDSxoy(1)取下侧时取“”号.这一公式表明，计算曲面积分时，只要把其中变(x,y,z)dxdySR量换为表示的函数，然后在的投影区域上计算二重积分，并考虑z( , )zz x yxyDS到符号的选取即可，这一过程可总结成口诀：“一代二投三定向”.类似地，如果曲面的方程，则( , )yy z x( , , ) , ( , ), zxSDQ x y z dzdxQ x

16、y z x z dzdx如果曲面的方程为,则( , )xx y z( , , ) ( , ), , yzSDP x y z dydzP x y zy z dydz 例例 1 1 计算积分：Sxyzdxdy其中是球面在第一、八卦限的部分，取球面外侧. (如图 )S2221xyz1解解 设,曲面在第一、八卦限部分的方程分别为:S 12 = = 11z221xy22z221xy它们在面上的投影区域都是单位圆在第一象限的部分.xoyxyD +Sxyzdxdy1xyzdxdy2xyzdxdy22221(1)xyxyDDxyxy dxdyxyxydxdy2221xyDxyxy dxdy1322002cos

17、 sin1drr dr 2 15图1计算第二型曲面积分时，千万不能与二重积分等同或混淆,第二型曲面积分是 按一定规则化为投影区域上的二重积分进行计算的，所以在计算过程中一定要牢记 口诀：“一代二投三定向”.请看下例：例例 2 2 计算:+，2SIx dydz2y dzdx2z dxdy其中曲面为球面限于，内的部分外侧 S2221xyz220xyx0z (如图).2解解 对于，要将投影到面上，且方程表示2Sx dydzSyozS为 ,取前侧,由，消去得221xyz222221,0xyzxyxx，因此投影区域：zz，于是21yzz yzD21zy21z2Sx dydz222( 1)yzDyzdyd

18、z21122002(1)zzdzyz dy31232 03 212 (1)(1) 3zzzzdz38 105计算,要将投影到面上，此时方程表示为2Sy dzdxSzoxS(不是单值的)，再把分为左片(即的部分)且取左侧和右221yxz S0y 片(即的部分)且取右侧，在面上投影域为：0y SzoxzxDz(注意投影区域不是一条曲线)，因此 1x21x2Sy dzdx2Sy dzdx左2Sy dzdx右+222( 1)zxDxzdzdx222( 1)zxDxzdzdx0对于,要将投影到面上，投影域为：，此时2Sz dxdySxoyxyD220xy方程应为，且取上侧，于是= S221zxy2Sz

19、dxdy222( 1)xyDxydxdy，故.cos22 0052(1)32drrdr385 10532I图23.23.2 利用参数方程的计算方法利用参数方程的计算方法如果光滑曲面由参数方程给出：S.:(),()()DS xx uvyy uvz uvuv，z，），（，若在上各点他们的函数行列式不同时为零，则分别有D( , )( , )( , ),( , )( , )( , )y zz xx y u vu vu v (1)(1) ( , )( ( , ), ( , ), ( , )( , )SDy zPdydzP x u vy u v z u vdudvu v (2)(2) ( , )( ( ,

20、 ), ( , ), ( , )( , )SDz xQdzdxQ x u vy u v z u vdudvu v (3)(3) ( , )( ( , ), ( , ), ( , )( , )SDx yRdydzR x u vy u v z u vdudvu v 注 三式中的正负号分别对应曲面的两个侧，特别当平面的正方(1),(2),(3)Suv向对应于曲面所选定的正向一侧时，取正号，否则取负号.S( , , )( , , )( , , )SP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy( , )( ( , ), ( , ), ( , )( , )Dy zP x u v

21、y u v z u vdudvu v ( , )( ( , ), ( , ), ( , )( , )Dz xQ x u vy u v z u vdudvu v( , )( ( , ), ( , ), ( , )( , )Dx yR x u vy u v z u vdudvu v(4)(4)例如若为：，则可以看成参数为的参数方程确定的曲面，S ,()zz x yxyD，S, x y则由于，( , )( , )( , ),1( , )( , )( , )xyy zz xx yzzx yx yx y 所以( , , )( , , )( , , )SP x y z dydzQ x y z dzdxR

22、x y z dxdy( , , ( , )()( , , ( , )()( , , ( , )xy DP x y z x yzQ x y z x yzR x y z x y dxdy 由此可见，只要确定一次符号且不需要向其它坐标平面进行投影，从而比我们常用 的方法更简便.下面举例说明：例例 1 1 计算 ，3Sx dydz其中为椭圆面的上半部分并选取外侧.S2222221xyz abc解解 把曲面表示为参量方程：sincos ,sinsin ,cosxaybzc.(0,02 )2由式有 (1)3333sincos,SDx dydzaJd d 其中 =，cossinsincos( , ) sin

23、0( , )bby zJc 2sincosbc积分是在的正侧进行.由上述的注，式右端正号，即S(4)3Sx dydz3332sincossincosDabcd d 23542 00sincosa bcdd 32 5a bc例例 2 2 计算积分，3 2222()Sxdydzydzdxzdxdyxyz A为曲面的上侧.S22(2)(1)15169zxy解解 取，则，,uvz22cosxRz22sinyRzzz取为曲面的下侧.则S22(2)(1)15169zxy3 2222()S Sxdydzydzdxzdxdyxyz A22223332222202222cossinsincos0cossin1R

24、RRzRzz RRRdRzRzdz zzRzRz .201RRddzR .4从而.3 2222()Sxdydzydzdxzdxdyxyz A2例例 3 3 计算Syzdzdx其中是球面的上半部分并取外侧为正向.S2221xyz解解 1 1 可表示为 S221zxy( , )x yD其中22( , ):1Dx yxy由于积分按 S 上侧进行，且=1，故式应取正号，( , ) ( , )x yJx y1001(4)而( , ) ( , )z xBx y222221110xyxyxy221yxy所以Syzdzdx22221 1Dyyxydxdy xy 2Dy dxdy213200sindrdr4解解

25、 2 2 由于可表示为，Ssincos ,sinsin ,cosxyz0,022sin0( , ) coscossinsin( , )z xJ 2sinsin所以 Syzdzdx22 00sincos cosdJ d2322 00sincossindd 4本例计算虽然简单，但不难看出用公式计算时不必对分划并讨论符号代(4)S之以在平面上二重积分.zox例例 4 4 计算222SIx dydzy dzdxz dxdy其中，是球面，且设积分是沿球面外侧.S2222()()()xaybzcR解解 可表示为Ssincos ,sinsin ,cos ,xaRybRzcR.0,02由于在第一象限积分按上侧

26、积分，而= ，故应取正号.J2sincosR0(4)2 1 SIz dxdy2200(cos )dcRJ d2222302(sincos2cossinsincos)RccRRd38 3R c因为=2222200(sincos )sincosSx dydzdaRRd 38 3R a类似可求得 =，所以.2 3 SIy dzdx38 3R b31238()3RIIIIabc3.33.3 单一坐标平面投影法单一坐标平面投影法设光滑曲面：,（是在平面上的投影区域）S( , )zz x y( , )xyx yDxyDSxoy，函数在上连续，在上具有一阶( , , ),( , , ), ( , , )P

27、x y z Q x y z R x y zS( , )zz x yxyD连续偏导数，则( , , )( , , )( , , )SP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy， ( , , )()( , , )()( , , )xyxy DP x y zzQ x y zzR x y z dxdy 当取上侧时，上式右边取正号；当取下侧时，上式右边取负号.SS若的方程为，也有类似的公式：Sxx yyyx, z ，z，( , , )( , , )( , , )SP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy； ( , , )( , , )()(

28、, , )()yzyz DP x y zQ x y zxR x y zxdydz 当取前侧时，上式右边取号；当取后侧时，上式右边取负号.SS( , , )( , , )( , , )SP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy. ( , , )()( , , )( , , )()xz DzxP x y zyQ x y zR x y zydzdx 当取右侧时，上式右边取正号；当取左侧时，上式右边取负号.SS例例 1 1 计算积分，()()()Syz dydzzx dzdxxy dxdy其中为圆锥面介于部分的上侧.S222xzy0,0yh z解解 的方程为，取左侧，则

29、 S22yxz原式()()()()()xz Syzyzxxyy dzdx22()()()Sx yzz xyzx dzdx xz 2()Szx dzdx2 022coshdrrdr .34 3h 例例 2 2 求，()()()Syz dydzzx dzdxxy dxdy其中为锥面 部分的正侧.S22zxy(0)zh解解 ： ，则，.S22zxy(0)zh22xxz xy 22yyz xy 又在平面上的投影：.因为取下侧，所以SD222xyhS22222222()()()DxyIyxyxyxxy dxdy xyxy 2()Dxy dxdy 0最后一个等号用到二重积分的对称性质.3.43.4 分项投

30、影法分项投影法分项投影法是利用第二型曲面积分的线性性：SSSSPdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy分别将右式三项投影到平面上，由于,yoz zox xoy,yzzxxySDSDSDPdydzPdydzQdzdxQdzdxRdxdyRdxdy分别投影直接计算二重积分，避免投影到一面上偏导的计算，此法非常实用，看似 复杂，实则简单，非常实用.计算中要注意原曲面与投影曲面一一对应，若不一一对应要分项投影，如一个 完整的球投影到平面上，上下半球曲面要分别投影计算，计算中注意利用方向xoy 性等性质以简化计算.例例 1 1 计算积分，Syzdydzzxdzdxxydxdy A其中

31、是四面体，的表面，外法线是正S0xyza a0,0,0xyz向.解解 这是三个第二型曲面积分之和.首先计算第二型曲面积分，而Sxydxdy A曲面是由四个有向的三角形区域：S组成.其中与 BOCCABCAOBOA上，下，后，左BOC（后)在坐标面的面积微元，在坐标 COA 左XY0dxdy ABCAOB上，下XY面的投影都是三角形区域，从而00D xyxya，围成(SABCAOBBOCCOAxydxdyxydxdyxydxdyxydxdyxydxdyA 上）下）后）左）.00DDxydxdyxydxdy0 同理可得 ，0SSyzdydzzxdzdx于是 .0Syzdydzzxdzdxxydxd

32、y A例例 2 2 计算第二型曲面积分，( )( )( )SIf x dydzg y dzdxh z dxdy其中是平面六面体的表面并取外侧为正向，S(0,0,0)xaybzc为上的连续函数.( ), ( ), ( )f x g y h zS解解 记 （前侧为正向） ， （后侧为正向)1:Sxa2:0Sx 积分在另外四个曲面上的积分为零，故( )Sf x dydz( )( )(0) ( )(0)yzyzSDDf x dydzf a dydzfdydzbc f af由于变量的对称性，类似可得( ) ( )(0),Sg y dzdxac g bg( ) ( )(0),Sh z dxdyab h c

33、h所以 ( )( )( )SIf x dydzg y dzdxh z dxdy ( )(0) ( )(0) ( )(0)bc f afac g bgab h ch3.53.5 利用高斯公式（利用高斯公式（Gauss)Gauss)化为三重积分的方法化为三重积分的方法格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系，沿空间闭曲面的曲 面积分和三重积分之间也有类似的关系，这就是高斯公式.定理定理：设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面围成.若函数在上VS,P Q RV连续，且有一阶连续偏导数，则，()VSPQRdxdydzPdydzQdzdxRdxdyxyz A其中取外侧，上式称为高斯公式.S例例 1

34、 1 计算曲面积分，()2sin()(3)x ySIxyz dydzyzx dzdxzedxdy其中为曲面的外侧面，外法线为正向.S1xyzyzxzxy解解 由题意得知， ，,2sin(),3x yPxyz Qyzx Rze利用高斯公式，则1,2,3PQR xyz.()(123)6VVVPQRIdxdydzdxdydzdxdydzxyz其中，为包围的区域作旋转变换VS1.xyzyzxzxy则为包围的区域，,.uxyz vyzx wzxyVS1uvw而是一个对称的八面体，它在平面的第一卦限部分为及坐标平Vuvw1uvw 面所围成的区域，且有0,0,0uvw，. 111( , , )1114( ,

35、 , )111u v w x y z( , , )11 ( , , )( , , )4 ( , , )x y zJu v wu v w x y z 所以1111166812.4432uvwIdudvdw 例例 2 2 设有连续导数，计算( )f u，33311( )( )Syyx dydzfy dzdxfz dxdyzzyz A其中为的锥面与球面，所围立S0z 2220xyz2221xyz2224xyz体的表面外侧(如图所示).解解 因为被积函数中含有抽象函数，直接计算显然不可能，又因为曲面为闭S 曲面，考虑用高斯公式.， 在所围区域上满足高斯公式的3Px31( )yQfyzz31( )yRf

36、zyzV条件（的点不在内)，故有0z V222 22113( )3( )()3VyyyIxfyfz dVzzyzz2223()VxyzdV223sinVrrdrd d 2242 0003sinddr dr 93(22) .53.63.6 利用两类曲面积分之间的联系利用两类曲面积分之间的联系( , , )( , , )( , , )SP x y z dxdzQ x y z dzdxR x y z dxdy ( , , )cos( , , )cos( , , )cos SP x y zQ x y zR x y zdS只要能够求出曲面的法向量(而这对于一个已知曲面来说是很容易做到的） ，就可以 求出

37、法向量的方向余弦，从而将第二型曲面积分化为第一型曲面积分来处理，请看 下例：例例 1 1 计算积分，()()()SIyz dydzzx dzdxxy dxdy其中为半球：，被柱面，截下S2222xyzRx(0)z 222xyrx(0)R 的部分. (如图所示)解解 的法向量为：，方向朝上，单位化得：S, , )nxR y z222222222, ()()()xRyzn xRyzxRyzxRyz ,xR yz RR R所以，.cosxR Rcosy Rcosz R由两类曲面积分之间的关系式，有()()()SIyz dydzzx dzdxxy dxdy()()()SxRyzyzzxxydSRRR(

38、)Szy dS积分曲面关于对称，所以 0y 0SydS ，2cosxySSSDzdSRdSRdxdyRdxdyRr2IRr 例例 2 2 计算，( , , ) ( , , )3 ( , , )SIxf x y z dydzf x y zy dzdxf x y zz dxdy其中为连续函数，是平面在第四象限部分的上侧(如图所( , , )f x y zS21xyz示).解解 因被积函数中含有抽象函数，直接计算难以进行，化为第一类曲面积分， 看能否消去抽象函数. ：，上任一点法向量的方向余弦为S21xyzS211cos,cos,cos666 由第一类与第二类曲面积分的关系，有( , , )cos

39、( , , )cos3 ( , , )cos SIxf x y zf x y zyf x y zzdS211( , , ) ( , , )()3 ( , , )666Sxf x y zf x y zyf x y zzdS1(2)6Sxyz dS1 6SdS166 xyDdxdyxyDdxdy111221 4例例 3 3 计算闭曲面积分：，333 Sxyzdydzdzdxdxdyrrr A其中，是球面外侧表面.222rxyzS2222xyza解解 本题当然可化为二重积分来计算，但将其化为第一类曲面积分来计算更为方便.因为球面外侧法向量，其方向余弦2 ,2 ,2 nxyz，cos,cos,cosx

40、yz rrr由第一、二类面积分的关系，得333 Sxyzdydzdzdxdxdyrrr A333coscoscos SxyzdSrrr A222 21(coscoscos)SdSr A21SdSr A21SdSa A2 214 aa4注意：本题虽是第二类闭曲面积分，但不能应用高斯公式计算.3.73.7 利用利用公式化为第二型曲线积分公式化为第二型曲线积分Stokes斯托克斯（）公式是建立沿空间双侧曲面的积分与沿的边界曲线StokesSS 的积分之间的联系.L定理：定理：设光滑曲面的边界是按段光滑的连续曲线，若函数在SL,P Q R（连同）上连续，且有一阶连续偏导数，则SL，()()()SLRQ

41、PRQPdydzdzdxdxdyPdxQdyRdzyzzxxy A其中的侧与的方向按右手法则确定.SL若，则存在向量势,使得，故0diw avrota.()()() C SSv n drota n dads A其中为以为边界线的分片光滑曲面，且指定侧的单位向量与的环行方向SCSnC构成右手系.例例 1 1 计算，()Srota n d 其中是球面的上半部分，是它的边界，.S222+y9xzC223ayix jz k解解 边界曲线为平面内一圆，则C0z 229xy. 2()()23 CC Srota n dadydxxdyz dz AA令，则3cos ,3sin ,0xyz原式=.2222002( 9sin)39cos9dd 3.83.8 利用积分区间对称性的计算方法利用积分区间对称性的计算方法若积分曲面关于具有轮换对称性，则S, ,x y z( , , )Sf x y z dydz( , , )Sf y z x dzdx( , , )Sf z x