第七章概率论与数理统计试题'&答案.doc

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1、第七章试题第七章试题一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 10 小题，小题，每小题每小题 2 分，共分，共 20 分）分）在每小题列出的四个备选项中只有在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。选或未选均无分。1设总体设总体 X 服从服从0，2上的均匀上的均匀分布（分布（0） ，x1, x2, , xn是来是来自该总体的样本，自该总体的样本， 为样本均值，为样本均值，x则则 的矩估计的矩估计 =（ ）ABx2xCD2xx21答案：答案：B2设总体设总体为来自总

2、体为来自总体nXXXNX,),(212的样本，的样本，均未知，则均未知，则 的无偏的无偏X2,2估计是（估计是（ ）AB niiXXn12)(11 niiXn12)(11CD niiXXn12)(1 niiXn12)(11答案：答案：A3设总体设总体 X N（） ，其中，其中 未知，未知，2,x1，x2，x3，x4为来自总体为来自总体 X 的的一个样本，则以下关于一个样本，则以下关于 的四个估的四个估计：计：，)(4143211xxxx321251 51 51xxx，中，哪一个是无偏估中，哪一个是无偏估21362 61xx 1471x计？（计？（ ）AB12CD34答案：答案：A4设（设（X1

3、，X2）是来自总体）是来自总体 X 的一的一个容量为个容量为 2 的样本，则在下列的样本，则在下列E（X）的无偏估计量中，最有）的无偏估计量中，最有效的估计量是（效的估计量是（ ）AB)(2121XX 2131 32XX CD2141 43XX 2152 53XX 答案：答案：A二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 15 小题，每小小题，每小题题 2 分，共分，共 30 分分)请在每小题的空格中填上正确请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。答案。错填、不填均无分。4.设总体设总体 X 具有区间具有区间0，上的均上的均匀分布（匀分布（0） ，x1，x2，xn是来自该总体的样本，则是

4、来自该总体的样本，则 的矩的矩估计估计 =_。答案：答案：x25设总体设总体 X 的概率密度为的概率密度为, 0, 00,)(xxexfxx1，x2，xn为总体为总体 X 的一个样的一个样本，则未知参数本，则未知参数 的矩估计的矩估计 =_.答案：答案：x16设总体设总体 X 服从参数为服从参数为 的泊松的泊松分布，其中分布，其中 为未知参数为未知参数.X1，X2，Xn为来自该总体为来自该总体的一个样本，则参数的一个样本，则参数 的矩估的矩估计量为计量为_.答案：答案：x7设总体设总体 XN（,2 2）,x1,x2,x3为为来自来自 X 的样本，则当常数的样本，则当常数a=_时，时，是是321

5、21 41xaxx未知参数未知参数 的无偏估计的无偏估计.答案：答案：418.设总体设总体 X N ( ),()为其样本为其样本,若若1 ,321,xxx估计量估计量为为 的无偏估计量的无偏估计量,32131 21kxxx则则 k= _。答案：答案：619设总体是设总体是 XN（ ） ，x1,x2,x3是是2 ,总体的简单随机样本总体的简单随机样本, , 是总体参是总体参12数数 的两个估计量，且的两个估计量，且 =，132141 41 21xxx=,其中较有效的估计量是其中较有效的估计量是232131 31 31xxx_.答案：答案：210某实验室对一批建筑材料进行某实验室对一批建筑材料进行

6、抗断强度试验，已知这批材料的抗断强度试验，已知这批材料的抗断强度抗断强度 XN（，0.09） ，现从，现从中抽取容量为中抽取容量为 9 的样本观测值，的样本观测值，计算出样本平均值计算出样本平均值=8.54，已知，已知xu0.025=1.96，则置信度，则置信度 0.95 时时的的置信区间为置信区间为_.答案：答案：8.344，8.73611设总体设总体，其中，其中),(2NX未知，现由来自总体未知，现由来自总体的一的一2X个样本个样本算得样算得样921,xxx本均值本均值，样本标准差，样本标准差10xs=3，并查得，并查得 t0.025(8)=2.3，则，则的置信度为的置信度为 95%置信区

7、间是置信区间是_.答案：答案：7.7，.12设总体设总体 X 服从参数为服从参数为的指数的指数)0(分布，其概率密度为分布，其概率密度为. 0, 0, 0,),(xxexfx由来自总体由来自总体 X 的一个样本的一个样本算得算得nxxx,21样本平均值样本平均值，则参数，则参数 的矩估计的矩估计9x=_.答案：答案：9113假设总体假设总体 X 服从参数为服从参数为 的的泊松分布，泊松分布，0.8、1.3、1.1、0.6、1.2 是来是来自总体自总体 X 的样本容量为的样本容量为 5 的的简单随机样本，则简单随机样本，则 的矩估的矩估计值为计值为_答案：答案： 14由来自正态总体由来自正态总体

8、XN（，0.92） 、容量为、容量为 9 的简的简单随机样本，得样本均值为单随机样本，得样本均值为5，则未知参数，则未知参数 的置信度为的置信度为0.95 的置信区间是的置信区间是_（u u0.0250.025=1.96=1.96，u u0.050.05=1.645=1.645）答案：答案：4.412，58815.设设为来自总体为来自总体 X 的样本，总的样本，总nxxx,21体体 X 服从（服从（0， ）上的均匀分布，）上的均匀分布，试求试求 的矩估计的矩估计 并计算当样本值为并计算当样本值为,0.2,0.3,0.5,0.1,0.6,0.3,0.2,0.2 时时, 的的估计值。估计值。答案：

9、答案：0.616.设设 是未知参数是未知参数 的一个估计量，若的一个估计量，若E( )_，则，则 是是 的无偏估计。的无偏估计。答案：答案：17设设 x1 , x2 , , x25来自总体来自总体 X 的的一个样本，一个样本，X N（） ，则，则25 ,的置信度为的置信度为 0.90 的置信区的置信区间长度为间长度为_.（附：（附：u0.05=1.645）答案：答案：3.2918设总体设总体 X 服从参数为服从参数为 （ 0）的泊松分布，的泊松分布，x1 , x2 , , xn为为 X的一个样本，其样本均值的一个样本，其样本均值，则，则2x的矩估计值的矩估计值 =_.答案：答案：219设总体设

10、总体 X 为指数分布，其密度为指数分布，其密度函数为函数为 p(x ; )=，x0，x1，x2，xn是样是样xe本，故本，故 的矩法估计的矩法估计 =_ 答案：答案：x120由来自正态总体由来自正态总体 XN(，12)、容量为容量为 100 的简单随机样本，的简单随机样本，得样本均值为得样本均值为 10，则未知参数，则未知参数的置信度为的置信度为 0.95 的置信区的置信区间是间是_()645. 1,96. 105. 0025. 0uu答案：答案：9.804，19621设总体设总体 X 服从参数为服从参数为 的泊松的泊松分布，分布，X1，Xn为总体为总体 X 的的一个样本，一个样本， 、S2分

11、别为样本均分别为样本均X值与样本方差，则对任意值与样本方差，则对任意01，E +（1-）S2= X _.答案：答案：三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 2 小题，每小题，每小题小题 8 分，共分，共 16 分）分）22设总体设总体 X 的概率密度为的概率密度为, 0; 1,);() 1(其他xxxf其中其中是未知参数，是未知参数，x1,x2,xn是来是来) 1(自该总体的样本，试求自该总体的样本，试求 的矩估计的矩估计 .解解 数学期望是一阶原点矩数学期望是一阶原点矩 =dxxxXE)1(1)( 1其样本矩为其样本矩为，即，即)(xEx 1x 从而从而 的矩估计为的矩估计为 1xx23

12、设总体设总体 X 的概率密度为的概率密度为其中其中， , 0, 0, 0,e1 ),(xxxfx 0X1，X2，Xn为来自总体为来自总体 X的样本的样本.（1）求）求 E(X);（2）求未）求未知参数知参数 的矩估计的矩估计 .解：（解：（1）=dxexXEx 11)( （2）令）令 ，即，即)(XEX X 从而从而 的矩估计为的矩估计为 X 23.设总体设总体 X 的概率密度为的概率密度为 ; 0,0, 0,)!1()(1xxexkxfxkk 其中其中 k 为已知正整数，求参数为已知正整数，求参数（0）的极大似然估计）的极大似然估计.解：只需讨论解：只需讨论的情形，似然函数的情形，似然函数0

13、x为为 niix kniink exkL111)()!1( niikniink xxkL111)ln()!1(lnlnxkxkndxLdnii 10/)(ln23. 设总体设总体 X 的密度函数为的密度函数为 f(x,)=，其中，其中 0 是未知参数，是未知参数， 000e xxx1.50、1.63、1.60、2.00、1.40、1.57、1.60、1.65、1.55、1.50 是取是取自总体自总体 X 的一个容量为的一个容量为 10 的简单的简单随机样本，试分别用矩估计法和随机样本，试分别用矩估计法和极大似然估计法求极大似然估计法求 的估计。的估计。解：解：（1）=dxexXEx 0)(1（

14、2）令）令 ，即，即)(XEX X 从而从而 的矩估计为的矩估计为 8511 xxnnii（2） 似然函数为似然函数为 ，)exp()(11 niinnixxeLi. niixnL1)ln()(ln(似然方程为似然方程为 .0)ln(1 niixn dd 得参数得参数 的极大似然估计值为的极大似然估计值为.8511 xxnnii五、应用题（本大题共五、应用题（本大题共 10 分）分）24用传统工艺加工某种水果罐头，用传统工艺加工某种水果罐头，每瓶中维生素每瓶中维生素 C 的含量为随机变的含量为随机变量量 X（单位：（单位：mg）.设设XN（，2） ，其中，其中 ，2均均未知未知.现抽查现抽查

15、16 瓶罐头进行测试，瓶罐头进行测试，测得维生素测得维生素 C 的平均含量为的平均含量为20.80mg，样本标准差为，样本标准差为 1.60mg，试求试求 的置信度的置信度 95%置信区间置信区间.（附：（附：t0.025(15)=2.13，t0.025(16)=2.12.）解：解： 由于正态分布的方差未由于正态分布的方差未知知, 对给定的置信水平对给定的置信水平=0.95， 1,025. 0205. 0，将数据将数据 ，60. 1,80.20sx16n， 代入代入13. 2)15(025. 0t.) 1(,) 1(2/2/ nSntXnSntX计算得计算得 的的置信度为置信度为 95%的置信

16、区的置信区间为间为.），（652.21948.1925设工厂生产的螺钉长度（单位：设工厂生产的螺钉长度（单位：毫米）毫米）XN（,2） ，现从一大，现从一大批螺钉中任取批螺钉中任取 6 个，测得长度分个，测得长度分别为别为55，54，54，53，54，54试求方差试求方差 2的置信度的置信度 90%的置的置信区间信区间.（附：（附：（5）2 05. 0=11.07，（5）=1.15）2 95. 0解解 对给定的置信水平对给定的置信水平 =0.90，105. 0210. 0，且且,6n将数据，将数据，（5）52, 62sn2 05. 0=11.07，（5）=1.15 代入代入2 95. 0，计，

17、计 ) 1() 1(,) 1() 1(2 2/122 2/2nSn nSn算得算得方差方差 2的置信度为的置信度为 90%的置的置信区间为信区间为.），（74. 118. 026一台自动车床加工的零件长度一台自动车床加工的零件长度X（单位：（单位：cm）服从正态分布）服从正态分布N（,2 2） ，从该车床加工的零，从该车床加工的零件中随机抽取件中随机抽取 4 个，测得样本方个，测得样本方差差，试求：总体方差，试求：总体方差 21522s的置信度为的置信度为 95%的置信区间的置信区间.（附：（附：484. 0)4(,143.11)4(,216. 0) 3(,348. 9) 3(2 975. 0

18、2 025. 02 975. 02 025. 0解解 对给定的置信水平对给定的置信水平 =0.95，1025. 0205. 0，且且,4n将数据，将数据，152, 42sn，216. 0)3(,348. 9)3(2 975. 02 025. 0代入代入， ) 1() 1(,) 1() 1(2 2/122 2/2nSn nSn计算得计算得方差方差 2的置信度为的置信度为 95%的的置信区间为置信区间为.），（90. 10043. 027设总体设总体 X 服从指数分布，其概服从指数分布，其概率密度为率密度为 f(x, )=，其中，其中为未为未 0x00xex 0知参数，知参数，x1, x2,xn为

19、样本，求为样本，求 的的极大似然估计。极大似然估计。解解 似然函数为似然函数为 ，)exp()(11 niinnixxeLi. niixnL1)ln()(ln(似然方程为似然方程为 .0)ln(1 niixn dd 得参数得参数 的极大似然估计值为的极大似然估计值为.xxnnii11 27. .为了研究男、女运动员血液中红为了研究男、女运动员血液中红细胞平均数的差别，检查男运动细胞平均数的差别，检查男运动员员 10 名，女运动员名，女运动员 8 名，假设其名，假设其方差相等，测出男运动员红细胞方差相等，测出男运动员红细胞平均数为平均数为 470，样本方差为，样本方差为= 2 xS320；女运动

20、员血液中红细胞平均；女运动员血液中红细胞平均数为数为 420，样本方差为，样本方差为=160。2 yS试求男、女性运动员血液中红细试求男、女性运动员血液中红细胞平均之差的胞平均之差的 0.95 置信区间置信区间(单位：单位：万个万个mm3，t0.025(16)=2.1199，t0.05(16)=1.7459).解：解：未知时，未知时，22 22 1的的置信区间为置信区间为211.11)2()(,11)2()(21212/ 21212/ nnSnntYXnnSnntYXww其中其中.21 212 2 2122 1 2112SnnnSnnnSw将数据：将数据：= ,420,470yx2 xS320，=160， 2 yS8,1021nnt0.025(16)=2.1199 代入上面式子得，代入上面式子得，男、女性运动员血液中红细胞平均男、女性运动员血液中红细胞平均之差的之差的 0.95 置信区间（置信区间（0.5，50.99）