2023年数列极限和函数极限（版）.docx

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1、2023年数列极限和函数极限（版） 数列极限和函数极限 极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、判别方法等问题.1.极限定义 11 数列极限定义 设有数列an与常数A，如果对于任意给定的正数e（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当nN时，不等式an-AN的也可以改写成nN. （3）几何意义:对于任何一个以A为中心，e为半径的开区间(A-e,A+e)，总可以在数列an中找到某一项aN，使得其后的所有项都

2、位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有an的有限项（N项）. 数列是定义在自然数集上的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值,其解析表达式为an=f(n);我们把数列中的n用x来替换后就得到了一个函数f(x),数列和函数的区别在于数列中的点是离散的,而函数是连续的,那么类似的我们也有函数极限的定义. 12 函数极限定义 1.2.1x+时函数的极限：设函数f(x)为a,+)上的函数，A为定数，若对任给的e0，总存在着正数M(a)，使得当xM时有f(x)-A0,$M0,xM,有f(x)-A0的,在坐标平面上,平行于x轴的两条直线y=A+e与 y=A-e,围成以直线y=A

3、为中心线,宽2e为的带形区域；定义中的“当xM时,有f(x)-Ae”表示:在直线x=M的右方,曲线y=f(x)全部落在这个带形区域之内. 1.2.2xx0时函数的极限：设函数f(x) 在点x0的某一去心邻域U (x;d)内有 0 定义，A为定数，如果对于任意给定的正数e（无论它多么小），总存在正数dd，使 () 得当0x-x0d时，有f(x)-A0,$d0,x:x0-dxx0+d,有f(x)-Ae. xx0 对应的,我们也有lim+f(x)=A,lim-f(x)=A的相应的e xx0 xx0 d语言成立. 对于函数极限的e d定义着重注意以下几点: N定义中的N,它依赖于e,但也不是由e所唯

4、（1）定义中的正数d,相当于数列极限e 一确定的,一般来说, e愈小, d也相应地要小一些,而且把d取得更小些也无妨.（2）定义中只要求函数在的某一空心邻域内有定义,而一般不考虑在点处的函数值是否有意义,这是因为,对于函数极限我们所研究的是当x趋于x0过程中函数值的变化趋势. （3）定义中的不等式0x-x0d等价于xUo(x0;d)，而不等式f(x)-A0,存在d0,使得一切xUo(x0;d)有f(x)U(A;e).或更简单的表为: o 任给e0,存在d0,使得fU(x0;d)U(A;e). () （4）几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为 对任给e0的,在坐标平面上画一条以直线y

5、=A为中心线,宽2e为的横带,则必存在以直线x=x0为中心线、宽为2d的数带，使函数y=f(x)的图像在该数带中的部分全部落在横带内，但点x,f(x0)可能例外（或无意义）. () 2.极限性质 21数列极限的性质 收敛数列有如下性质： （1）极限唯一性:若数列an收敛,则它只有一个极限.（2）若数列an收敛，则an为有界数列. （3）若数列an有极限，则其任一子列an也有极限. （4）保号性，即若liman=a0(N1时,ana(anN1时有 an n n （6）数列极限的基本公式（四则运算） 设limxn,limyn存在,则 n n lim(xnyn)=limxnlimyn nn n n

6、lim(xnyn)=limxnlimyn n n xn xnlimnlim=limyn0nylimynnn () n limxnlimyn(xnyn) n n 22函数极限性质 （1）极限唯一性；若极限limf(x)存在，则此极限是唯一的. xx0 （2）局部有界性 若limf(x)存在，则f(x)在x0的某空心邻域U(x)内是有界的，当x0趋于无穷大时， xx0 亦成立.（3）局部保号性 若limf(x)=A0(0)，则对任何正数rA(r0(f(x)r0,按上确界的定义,存在数列 an中某一项aN,使得a-eN时有 a-eaNan。 另一方面，由于a是an的一个上界，故对一切an都有anaN时有 a-eanN时，有xn-xmN时有 ancnbn 则数列cn收敛,且 limcn=a. n 3.2函数极限的判别法： （1）函数极限的夹逼准则: 设limf(x)=limg(x)=A且在某U xx0 xx0 o (x;d)内有 0 f(x)h(x)0，存在正数d(d),使得对任何 x,xUo(x0;d)，有 f(x)-f(x)e. 数列极限和函数极限（版） 10专题十数列极限与函数极限 D1.21.3数列的极限函数的极限 数列极限 数列极限 数列极限 函数极限 函数极限 函数极限 函数与数列极限的定义区别