复数知识精彩资料汇总例题.doc

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1、经典例题透析经典例题透析类型一：复数类型一：复数的有关概念的有关概念例 1已知复数，试求实数 a 分别取什么值时，2 2 276(56) ()1aazaai aRaz 分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.思路点拨：思路点拨：根据复数 z 为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的 a 值.解析：解析：（1）当 z 为实数时，有，2256010aaa 1661aaaa 或当时，z 为实数.6a （2）当 z 为虚数时，有，2256010aaa 16161aaaaa 且且当 a（，1）（1，1）（1，6）（6，+）时，z 为虚数.（3）当 z

2、为纯虚数时，有2225607601aaaa a16 6aaaa 且不存在实数 a 使 z 为纯虚数.总结升华：总结升华：由于 aR，所以复数 z 的实部与虚部分为与.2276 1aa a 256aa求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义，否则本小题将出现增解；求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；求解第（3）小题时，既要考虑实数为 0（当然也要考虑分母不为 0） ，还需虚部不为0，两者缺一不可.举一反三：举一反三：【变式 1】设复数 z=a+bi（a、bR），则 z 为纯虚数的必要不充分条件是（ ）Aa=0 Ba=0 且 b0 Ca0 且 b=0 D

3、a0 且 b0【答案答案】A；由纯虚数概念可知：a=0 且 b0 是复数 z=a+bi（a、bR）为纯虚数的充要条件.而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择 A.【变式 2】若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）2(32)(1)aaaiaA.1 B.2 C.1 或 2 D.-1【答案答案】B；是纯虚数，且，即2(32)(1)aaai2320aa10a .2a 【变式 3】如果复数是实数，则实数 m=（ ）2()(1)mimiA1 B1 C D22【答案答案】B； 【变式 4】求当实数取何值时，复数分别是：m22(2)(32)zmmmmi（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数.

4、【答案答案】（1）当即或时，复数为实数；2320mm1m 2m z（2）当即且时，复数为虚数；2320mm1m 2m z（3）当即时，复数为纯虚数.0230222mmmm1m z类型二类型二：复数的代数形式的四则运算：复数的代数形式的四则运算例例 2.2. 计算：（1）； (2)()ninN8(1) i(3); (4)(12 )(1 2 )iiiiii 4342)1)(41 ( 解析：解析：(1)，21i 32iiii 4221iii同理可得：当时，41()nkkN4144( )kkkiiiiii 当时，42()nkkN42421kkiii 当时，43()nkkN4343kkiiii 当时，4

5、4()nkkN4444( )1kkkiiii41 142 43 144ninkkN nkkNiinkkN nkkN （，） （，） （，） （，）()nN(2)8(1) i2 444 4(1) (2 )216iii(3)(12 )(1 2 )ii12 1 2i i2222(12 )(12 )1(2 )43434 (1 2 )(12 )1(2 )555iiiiiiiii (4)iiii 4342)1)(41 ( 14324 34ii i227(7)(34 ) 3434iii i 21432825251.2525iiii 总结升华：总结升华：熟练运用常见结论：1）的“周期性” （）ninN2）2(

6、1)2ii 3）22()()abi abiab举一反三：举一反三：【变式 1】计算：（1）(56i)+(2i)(3+4i)（2）(12 )(34 )(2)iii（3）23100i iii（4） ； 3322(1)(1) (1)(1)ii ii 【答案答案】（1）(56i)+(2i)(3+4i)=(52)+(61)i(3+4i)=(37i)(3+4i)=(33)+(74)i=11i.（2）(12 )(34 )(2)(112 )(2)247iiiiii（3）231001 210050504 126222( )1i iiiiiiii （4）332222(1)(1)(1)(1)(1) (1)2 (1)

7、2 (1) (1)(1)2( 2 )4iiiiiiiiii iiiii 2 214i i【变式 2】复数( )22 1iiA. B. C. D.444i4i【答案答案】A；222 12 1212244iiiiiii 【变式 3】复数等于( )133 -iiA. i B. -i C. D. 3i3 -i【答案答案】A；，故选 A13131 -3 - (13 )iiiiiii【变式 4】复数等于( )31()iiA.8 B.8 C.8iD.8i【答案答案】D；.333311()()(2 )88iiiiiii 类型三：类型三：复数相等的充要条件复数相等的充要条件例 3、已知 x 是实数，y 是纯虚数

8、，且满足(2x1)+(3y)i=yi，求 x、y.思路点拨：思路点拨：因 xR，y 是纯虚数，所以可设 y=bi（bR 且 b0） ，代入原式，由复数相等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果.解析：解析：y 是纯虚数，可设 y=bi（bR，且 b0） ，则(2x1)+(3y)i(2x1)+(3bi )i（2x1+b）+3i，yi =bii=（b1）i由(2x1)+(3y)i=yi 得（2x1+b）+3i=（b1）i，由复数相等的充要条件得，4210 3132bxb bx ，.3 2x 4yi总结升华：总结升华：1. 复数定义：“形如（）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成zabi, a bR这

9、一形式，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实，把复数问题转化为实数问题来研究.这是解决复数问题的常用方法. .2复数相等是复数问题实数化的有效途径之一，由两复数 a+bi 与c+di（a，b，c，dR）相等的充要条件是 a=c 且 b=d，可得到两个实数等式.3.注意左式中的 3y 并非是(2x1)+(3y)i 的虚部，同样，在右边的 yi 中 y 也并非是实部.举一反三：举一反三：【变式 1】设 x、y 为实数，且5_1-1-21-3xyxyiii，则【答案答案】由得5 1-1-21-3xy iii5(1)(12 )(1 3 )2510xyiii即 5x(1+i)+2y(1

10、+2i)=5(1+3i)， 即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0，故52 -50-1 54 -1505xyx xyy , 解得4xy【变式 2】若 zC 且(3+z)i=1(i 为虚数单位)，则 z=_.【答案答案】设 z=a+bi(a,bR)，则(3+z)i=-b+(3+a)i=1 由复数相等的充要条件得 b=-1 且 a=-3，即 z=-3-i.【变式 3】设复数满足，则（ ）z12iizz A BCD2i 2i 2i2i【答案答案】，故选 C.12(12 )2211iiiizii类型四：类型四：共轭复数共轭复数例 4：求证：复数 z 为实数的充要条件是zz思路点拨：思路点拨：

11、需要明确两个复数相等的条件以及共轭复数的概念解析：解析：设（a，bR） ，则zabizabi充分性：-0;zzabia bibbbzR必要性：,0-zR babia bizz综上，复数 z 为实数的充要条件为zz举一反三：举一反三：【变式 1】，复数与复数的共轭复数相等，求, x yR(32 )5xyxi(2)18yix，y.【答案答案】(2)1818(2)yiy i3218-218-( -2)(32 )52-512xyxyixyxiyxy【变式 2】若复数 z 同时满足，（i 为虚数单位） ，则 z=_.2zziziz【答案答案】1+i【变式 3】已知复数 z=1+i，求实数 a、b 使.2

12、2(2 )azbzaz【答案答案】z=1+i，2(2 )(2 )azbzabab i22(2 )(2)44(2)azaai2(4 )4(2)aaaia、b 都是实数，由得22(2 )azbzaz224 ,24(2).abaaaba 两式相加，整理得 a2+6a+8=0解得 a1=2，a2=4，对应得 b1=1，b2=2.所求实数为 a=2，b=1 或 a=4，b=2.类型五：类型五：复数的模的概念复数的模的概念例 5、已知数 z 满足 z+|z|=2+8i，求复数 z.法一：法一：设 z=a+bi（a，bR），则，22| zab代入方程得.2228abiabi，解得222 8aab b 15

13、8a b z=15+8i法二：法二：原式可化为：z=2|z|+8i，|z|R，2|z|是 z 的实部.于是，即|z|2=684|z|+|z|2，22|(2 |)8zz|z|=17，代入 z=2-|z|+8i得 z=15+8i.举一反三：举一反三：【变式】已知 z=1+i，a，b 为实数.（1）若，求；234zz|（2）若，求 a，b 的值.2211zazbizz 【答案答案】（1）2(1)3(1)4ii2341iii |2（2）2222(1)(1) 1(1)(1) 1zazbii ab zzii(2)(2)()a ibaaba ii(2)()1aab ii 211 12aa abb 类型六：复

14、数的几何意义类型六：复数的几何意义例 6、已知复数（mR）在复平面上对应的点为22(23)(43)zmmmmiZ，求实数 m 取什么值时，点 Z（1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限. 思路点拨：思路点拨：根据点 Z 的位置确定复数 z 实部与虚部取值情况. 解析：解析： （1）点 Z 在实轴上，即复数 z 为实数，由2-43031mmmm或当时，点 Z 在实轴上.31mm或（2）点 Z 在虚轴上，即复数 z 为纯虚数或 0，故2230mm-13mm或当时，点 Z 在虚轴上.-13mm或3）点 Z 在第一象限，即复数 z 的实部虚部均大于 0由 ，解得 m1 或 m322230430

15、mmmm当 m1 或 m3 时，点 Z 在第一象限. 终结升华：终结升华：复平面上的点与复数是一一对应的，点的坐标的特点即为复数实部、虚部 的特征.举一反三：举一反三：【变式 1】在复平面内，复数对应的点位于（ ）sin2cos2ziA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案答案】，故相应的点在第四象限，选 D.22sin20cos20【变式 2】已知复数()，若所对应的点在第四象2(352)(1)zmmmimRz限，求的取值范围.m【答案答案】2(352)(1)zmmmi，解得. 0) 1(02532mmm1m 的取值范围为.m(1,)m【变式 3】已知是复数，和均为实数，且复数对

16、应的点在第一z2ziizz2()zai象限，求实数的取值范围.a【答案答案】设()，zxyi, x yR2(2)zizxy i由题意得，2y ，2111(2 )(2)(22)(4)22555zxixiixxiii由题意得，4x 42zi，22()(124)8(2)zaiaaai根据已知条件有，解得，21240 8(2)0aa a26a实数的取值范围是. .a(2,6)a【变式 4】已知复数 z 对应的点在第一象限的角平分线上，求复数在复平面1zz上对应的点的轨迹方程.【答案答案】设 z=a+ai（a0）则1111()()22zaaiaaizaaiaa令，消 a 得 x2y2=2（）.1 2 1 2xaayaa 2x