概率论与数理统计(理工类第四版.)吴赣昌主编课后习题.答案编辑版.doc

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1、/随机事件及其概率随机事件及其概率1.11.1 随机事件随机事件习题习题 1 1 试说明随机试验应具有的三个特点习题习题 2 2 将一枚均匀的硬币抛两次，事件 A，B，C 分别表示“第一次出现正面” ， “两次出现 同一面” ， “至少有一次出现正面” ，试写出样本空间及事件 A，B，C 中的样本点./1.21.2 随机事件的概率随机事件的概率/1.31.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型/1.41.4 条件概率条件概率/1.51.5 事件的独立性事件的独立性/复习总结与总习题解答复习总结与总习题解答/习题 3. 证明下列等式：/习题 5.习题 6.习题 7/习题 8习题 9习题 10/

2、习题 11习题 12习题 13习题 14/习题 15习题 16/习题 17习题 18/习题 19习题 20习题 21/习题 22习题 23习题 24/习题 25习题 26/第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.12.1 随机变量随机变量习题习题 1 1 随机变量的特征是什么？解答：解答：随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题习题 2 2 试述随机变量的分类.解答：解答：若随机变量 X 的所有可能取值能够一一列举出来，则称 X 为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.若 X 的可能值不

3、能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称 X 为连续型随机变量.习题习题 3 3 盒中装有大小相同的球 10 个，编号为 0,1,2,9, 从中任取 1 个，观察号码是“小于 5”，“等于5”，“大于 5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：解答：分别用 1,2,3 表示试验的三个结果“小于 5”，“等于 5”，“大于 5”，则样本空间S=1,2,3, 定义随机变量 X 如下：X=X()=0,=11,=2,2,=3则 X 取每个值的概率为PX=0=P取出球的号码小于 5=5/10,PX=1=P取出球的号码等于 5=1/10,PX=2=

4、P取出球的号码大于 5=4/10.2.22.2 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布习题习题 1 1 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 PX=1=PX=2, 求 .解答：解答：由 PX=1=PX=2, 得e-=2/2e-,解得 =2.习题习题 2 2设随机变量 X 的分布律为 PX=k=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P123.解答：解答：(1)P123=PX=4+PX=5=415+515=35.习题习题 3 3已知随机变量 X 只能取-1,0,1,2 四个值，相应概率依次为 12c,34c,58c,716c, 试确定常数 c, 并计算PX60, 即 PX2

5、0,PX20=PX=30+PX=40=0.6.就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为 0.6.习题习题 6 6 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为 p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X 代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X 的概率分布； (2)PX5;(3)在两次调整之间能以 0.6 的概率保证生产的合格品数不少于多少?解答：解答：(1)PX=k=(1-p)kp=(0.9)k0.1,k=0,1,2,;(2)PX5=k=5PX=k=k=5(0.9)k0.1=(0.9)5;(3)设以 0.6 的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于 m

6、件，则 m 应满足PXm=0.6,即 PXm-1=0.4. 由于PXm-1=k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化为 1-0.9m=0.4, 解上式得 m4.855,因此，以 0.6 的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于 5.习题习题 7 7 设某运动员投篮命中的概率为 0.6, 求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.解答：解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为 X, 它可能的值只有两个，即 0 和 1.X=0 表示未投中，其概率为 p1=PX=0=1-0.6=0.4,X=1 表示投中一次，其概率为 p2=PX=1=0.6.则随机变量的分布律为 X 0

7、1 P 0.4 0.6 习题习题 8 8 某种产品共 10 件，其中有 3 件次品，现从中任取 3 件，求取出的 3 件产品中次品的概率分布.解答：解答：/设 X 表示取出 3 件产品的次品数，则 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. 对应概率分布为PX=0=C73C103=35120, PX=1=C73C31C103=36120,PX=2=C71C32C103=21120, PX=3=C33C103=1120.X 的分布律为X 0123 P 3512036120211201120习题习题 9 9 一批产品共 10 件，其中有 7 件正品，3 件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放

8、回去，求直至取到正品为止所需次数 X 的概率分布.解答：解答：由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所以 X 的可能取值是所有正整数 1,2,k,.设第 k 次才取到正品(前 k-1 次都取到次品), 则随机变量 X 的分布律为PX=k=310310310710=(310)k-1710,k=1,2,.习题习题 1010 设随机变量 Xb(2,p),Yb(3,p), 若 PX1=59, 求 PY1.解答：解答：因为 Xb(2,p),PX=0=(1-p)2=1-PX1=1-5/9=4/9,所以 p=1/3.因为 Yb(3,p), 所以 PY1=1-PY

9、=0=1-(2/3)3=19/27.习题习题 1111 纺织厂女工照顾 800 个纺绽，每一纺锭在某一段时间 内断头的概率为 0.005, 在 这段时间内断头次数不大于 2 的概率.解答：解答：以 X 记纺锭断头数, n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理，所求概率为：P0X2=P0xi2X=xi=k=02b(k;800,0.005)k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)0.2381.习题习题 1212 设书籍上每页的印刷错误的个数 X 服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验 4 页，每页上都没有印刷错误的概率.解答：

10、解答：becausePX=1=PX=2, 即11!e-=22!e-=2,PX=0=e-2,p=(e-2)4=e-8.2.32.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数习题习题 1 1F(X)=0,x0.5,P1.70.5=1-PX0.5=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P1.700,x0,试求：(1)A,B 的值；(2)P-100,x0.习题习题 4 4 服从拉普拉斯分布的随机变量 X 的概率密度 f(x)=Ae-x, 求系数 A 及分布函数 F(x).解答：解答：由概率密度函数的性质知，-+f(x)dx=1, 即-+Ae-xdx=1,而-+Ae-xdx=-0Aexdx+0+Ae-

11、xdx=Aex-0+(-Ae-x0+)=A+A=2A或 -+Ae-xdx=20+Ae-xdx=-2Ae-x0+=2A, 所以 2A=1, 即 A=1/2.从而 f(x)=12e-x,-150=150+f(x)dx=150+100x2dx=-100x150+=100150=23,从而三个电子管在使用 150 小时以上不需要更换的概率为 p=(2/3)3=8/27.习题习题 6 6 设一个汽车站上，某路公共汽车每 5 分钟有一辆车到达，设乘客在 5 分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的 10 位乘客中只有 1 位等待时间超过 4 分钟的概率.解答：解答：设 X 为每位乘客的候车时间，则

12、 X 服从0,5上的均匀分布. 设 Y 表示车站上 10 位乘客中等待时间超过 4 分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是 10 重伯努力概型. Y 服从二项分布，其参数n=10,p=PX4=15=0.2,/所以 PY=1=C1010.20.890.268.习题习题 7 7设 XN(3,22).(1)确定 C, 使得 PXc=PXc;(2)设 d 满足 PXd0.9, 问 d 至多为多少?解答：解答：因为 XN(3,22), 所以 X-32=ZN(0,1).(1)欲使 PXc=PXc, 必有 1-PXc=PXc, 即 PXc=1/2,亦即 (c-32)=12, 所以 c-32=0,

13、故 c=3.(2)由 PXd0.9 可得 1-PXd0.9, 即 PXd0.1.于是 (d-32)0.1,(3-d2)0.9.查表得 3-d21.282, 所以 d0.436.习题习题 8 8设测量误差 XN(0,102), 先进行 100 次独立测量，求误差的绝对值超过 19.6 的次数不小于 3 的概率.解答：解答：先求任意误差的绝对值超过 19.6 的概率 p,p=PX19.6=1-PX19.6=1-PX101.96=1-(1.96)-(-1.96)=1-2(1.96)-1=1-20.975-1=1-0.95=0.05.设 Y 为 100 次测量中误差绝对值超过 19.6 的次数，则 Y

14、b(100,0.05).因为 n 很大，p 很小，可用泊松分布近似，np=5=, 所以PY31-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-50.87.习题习题 9 9 某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布 N(4000,3600).假定车间主任希望 10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：解答：用 X 表示工人每月需装配的产品数，则 XN(4000,3600).设工人每月需完成 x 件产品才能获奖，依题意得 PXx=0.1, 即1-PXx0.005.解答：解答：已知血压 X

15、N(110,122).(1)PX105=PX-11012-5121-(0.42)=0.3372,P100x0.05, 求 x, 即 1-PXx0.05, 亦即 (x-11012)0.95,查表得 x-100121.645, 从而 x129.74.习题习题 1111 设某城市男子身高 XN(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于 0.01.解答：解答：XN(170,36), 则 X-1706N(0,1)./设公共汽车门的高度为 xcm，由题意 PXxx=1-PXx=1-(x-1706)0.99, 查标准正态表得 x-17062.33, 故 x183.98cm.

16、因此，车门的高度超过 183.98cm 时，男子与车门碰头的机会小于 0.01.习题习题 1212 某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从正态分布 N(40,102); 第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布 N(50,42), 求：(1)若动身时离开车时间只有 60 分钟，应走哪一条路线？(2)若动身时离开车时间只有 45 分钟，应走哪一条路线？解答：解答：设 X,Y 分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则 XN(40,102),YN(50,42). 哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1)因为

17、PX0 时，fY(y)=1c(b-a),ca+dycb+d0,其它,当 c1 时)=P-y-12Xy-12=-y-12y-1212e-x2dx,所以 fY(y)=FY(y)=22e-12y-12122y-1,y1, 于是fY(y)=12(y-1)e-y-14,y10,y1.习题习题 6 6 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x), 分布函数为 F(x), 求下列随机变量 Y 的概率密度：(1)Y=1X; (2)Y=X.解答：解答：(1)FY(y)=PYy=P1/Xy.当 y0 时，FY(y)=P1/X0+P00 时，FY(y)=P-yXy=F(y)-F(-y)这时 fY(y)=f(y)+

18、f(-y);当 y00,y0.习题习题 7 7 某物体的温度 T(F)是一个随机变量, 且有 TN(98.6,2), 已知 =5(T-32)/9, 试求 (F)的概率密度.解答：解答：已知 TN(98.6,2). =59(T-32), 反函数为 T=59+32, 是单调函数，所以f(y)=fT(95y+32)95=122e-(95y+32-98.6)2495=910e-81100(y-37)2.习题习题 8 8 设随机变量 X 在任一区间a,b上的概率均大于 0, 其分布函数为 FY(x), 又 Y 在0,1上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与 X 的分布函数相同.解答：解答：

19、因 X 在任一有限区间a,b上的概率均大于 0, 故 FX(x)是单调增加函数，其反函数 FX-1(y)存在，又 Y 在0,1上服从均匀分布，故 Y 的分布函数为/FY(y)=PYy=0,y0,于是，Z 的分布函数为FZ(z)=PZz=PFX-1(Y)z=PYFX(z)=0,FX(z)1由于 FX(z)为 X 的分布函数，故 0FX(z)1.FX(z)1 均匀不可能，故上式仅有 FZ(z)=FX(z), 因此，Z 与 X 的分布函数相同.总习题解答总习题解答习题习题 1 1 从 120 的整数中取一个数，若取到整数 k 的概率与 k 成正比，求取到偶数的概率.解答：解答：设 Ak 为取到整数

20、k, P(Ak)=ck, k=1,2,20.因为 P(K=120Ak)=k=120P(Ak)=ck=120k=1， 所以 c=1210, P取到偶数=PA2A4A20 =1210(2+4+20)=1121.习题习题 2 2 若每次射击中靶的概率为 0.7, 求射击 10 炮,(1)命中 3 炮的概率;(2)至少命中 3 炮的概率;(3)最可能命中几炮.解答：解答：若随机变量 X 表示射击 10 炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个 10 重伯努利概型，X 服从二项分布，其参数为 n=10,p=0.7, 故(1)PX=3=C103(0.7)3(0.3)70.009;(2)PX3

21、=1-PX300000 即 X15(人).因此，P保险公司亏本=PX15=k=162500C2500k(0.002)k(0.998)2500-k1-k=015e-55kk!0.000069,由此可见,在 1 年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P保险公司获利不少于 100000 元=P300000-200000X100000=PX10=k=010C2500k(0.002)(0.998)2500-kk=010e-55kk!0.986305,即保险公司获利不少于 100000 元的概率在 98%以上./P保险公司获利不少于 200000 元=P300000-200000X200000=PX5=k

22、=05C2500k(0.002)k(0.998)2500-kk=05e-55kk!0.615961,即保险公司获利不少于 200000 元的概率接近于 62%.习题习题 4 4 一台总机共有 300 台分机，总机拥有 13 条外线，假设每台分机向总机要外线的概率为 3%, 试求每台分机向总机要外线时，能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数.解答：解答：设分机向总机要到外线的台数为 X, 300 台分机可看成 300 次伯努利试验，一次试验是否要到外线. 设要到外线的事件为 A, 则 P(A)=0.03, 显然 Xb(300,0.03), 即PX=k=C300k(0.03)k(

23、0.97)300-k(k=0,1,2,300),因 n=300 很大，p=0.03 又很小,=np=3000.03=9,可用泊松近似公式计算上面的概率. 因总共只有 13 条外线，要到外线的台数不超过 13，故PX13k=0139kk!e-90.9265, (查泊松分布表)且同时向总机要外线的分机的最可能台数k0=(n+1)p=3010.03=9.习题习题 5 5 在长度为 t 的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数 X 服从参数 t2 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计), 求：(1)某一天从中午 12 至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率；(2)某一天从中午 12 时至下

24、午 5 时至少收到 1 次紧急呼救的概率.解答：解答：(1)t=3,=3/2, PX=0=e-3/20.223;(2)t=5,=5/2, PX1=1-PX=0=1-e-5/20.918.习题习题 6 6 设 X 为一离散型随机变量，其分布律为X -101 pi 1/21-2qq2试求：(1)q 的值； (2)X 的分布函数.解答：解答：(1)because 离散型随机变量的概率函数 PX=xi=pi, 满足ipi=1, 且 0pi1, 1/2+1-2q+q2=101-2q1q21,解得 q=1-1/2. 从而 X 的分布律为下表所示：X -101pi 1/22-13/2-2(2)由 F(x)=

25、PXx计算 X 的分布函数F(x)=0,1/2,2-1/2,1,x/2则 A=,PX0 是常数，求电子管在损坏前已使用时数 X 的分布函数 F(x)，并求电子管在 T 小时内损坏的概率.解答：解答：因 X 的可能取值充满区间(0,+), 故应分段求 F(x)=PXx.当 x0 时，F(x)=PXx=P()=0;当 x0 时，由题设知 PxxPXx=Px0,0, 故 X 的分布函数为F(x)=0,x01-e-x,x0(0),从而电子管在 T 小时内损坏的概率为PXT=F(T)=1-e-T.习题习题 9 9 设连续型随机变量 X 的分布密度为f(x)=x,02 时，F(x)=-00dt+01tdt

26、+12(2-t)dt+2x0dt=1, 故F(x)=0,x212x2,02.习题习题 1010 某城市饮用水的日消费量 X(单位：百万升)是随机变量，其密度函数为：f(x)=19xe-x3,x00,其它,试求：(1)该城市的水日消费量不低于 600 万升的概率；(2)水日消费量介于 600 万升到 900 万升的概率.解答：解答：先求 X 的分布函数 F(x). 显然，当 xa0,其它(0), 求常数 c 及 Pa-10, 分布函数 F(x)满足：(1)F(-a)=1-F(a); (2)PXa=21-F(a).解答：解答：(1)F(-a)=-a(x)dx=a+(-t)dt=a+(x)dx=1-

27、a(x)dx=1-F(a).(2)PXa=PXa=F(-a)+PXaF(-a)+1-F(a)=21-F(a).习题习题 1515 设 K 在(0,5)上服从均匀分布，求 x 的方程 4x2+4Kx+K+2=0 有实根的概率.解答：解答：因为 KU(0,5), 所以 fK(k)=1/5,090=12/5260.0228,PX90=1-PX901-0.0228=0.9772;又因为 PX90=PX-90-, 所以有 (90-)=0.9772, 反查标准正态表得90-=2 同理：PX60=83/5260.1578; 又因为 PX60=PX-60-,故 (60-)0.1578.因为 0.157878=

28、1-PX78=1-Px-701078-7010=1-(0.8)1-0.7881=0.2119,因为 0.2119t=PN(t)=0=e-0.1t,F(t)=PXt=1-PXt=1-e-0.1t;当 t00,x0 (=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002,P(AB0)=1+e-xdx=e-1, P(AB1)=1+2e-2xdx=e-2,P(AB2)=1+3e-3xdx=e-3,由全概率公式：P(A)=i=02P(Bi)P(ABi)0.32.(2)由贝叶斯公式：P(B0A)=P(B0)P(AB0)P(A

29、)0.93.习题习题 1919 设随机变量 X 的分布律为X -2-1013pi 1/51/61/51/1511/30试求 Y=X2 的分布律.解答：解答：pi 1/51/61/51/1511/30 X -2-1013X2 41019所以X2 0149pi 1/57/301/511/30注：随机变量的值相同时要合并，对应的概率为它们概率之和.习题习题 2020 设随机变量 X 的密度为fX(x)=0,x00,其它,求 Y=eX 的概率密度.解答：因为 =miny(0),y(+)=min1,+=1,=maxy(0),y(+)=max1,+=+.类似上题可得fY(y)=fXh(y)h(y),1a,

30、Yb.解答：解答：PXa,Yb=F(+,b)-F(a,b).习题习题 3(1)3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求： (1)P12Y=1，且由正态分布图形的对称性，知PXY=PXY, 故 PXY=12.习题习题 7 7 设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=k(6-x-y),01, 有 F(x,y)=PX1,Yy=40xudu01ydy=x2.最后，设 x1,0y1, 有 F(x,y)=PX1,Yy=401xdx0yvdv=y2.函数 F(x,y)在平面各区域的表达式 F(x,y)=0,x0 或y0x2,0x1,y1x2y2,0x1,0y1.y2,x习题习题 9 9

31、 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=4.8y(2-x),0x1,xy10,其它,求边缘概率密度 fY(y).解答：解答：fX(x)=-+f(x,y)dy =0x4.8y(2-x)dy,0x10,其它=2.4x2(2-x),0x10,其它.fY(y)=-+f(x,y)dx =0y4.8y(2-x)dx,0y10,其它=2.4y(4y-y2),0y10,其它.习题习题 1010 设(X,Y)在曲线 y=x2,y=x 所围成的区域 G 里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度.解答：解答：区域 G 的面积 A=01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为f(

32、x,y)=6,0x1,x2yx0,其它,从而 fX(x)=-+f(x,y)dy=6x2xdy=6(x-x2),0x1, 即fX(x)=6(x-x2),0x10,其它 fY(y)=-+f(x,y)dx=6yydx=6(y-y),0y1,即 fY(y)=6(y-y),0y10,其它./3.23.2 条件分布与随机变量的独立性条件分布与随机变量的独立性习题习题 1 1 二维随机变量(X,Y)的分布律为XY 01 01 7/157/307/301/15(1)求 Y 的边缘分布律；(2)求 PY=0X=0,PY=1X=0;(3)判定 X 与 Y 是否独立？解答：解答：(1)由(x,y)的分布律知，y 只

33、取 0 及 1 两个值.Py=0=Px=0,y=0+Px=1,y=0=715+730=0.7 Py=1=i=01Px=i,y=1=130+115=0.3.(2)Py=0x=0=Px=0,y=0Px=0=23, Py=1x=0=13.(3)已知 Px=0,y=0=715, 由(1)知 Py=0=0.7, 类似可得 Px=0=0.7.因为 Px=0,y=0Px=0Py=0, 所以 x 与 y 不独立.习题习题 2 2 将某一医药公司 9 月份和 8 份的青霉素针剂的订货单分别记为 X 与 Y. 据以往积累的资料知 X 和 Y的联合分布律为XY 5152535455 51525354550.060.

34、050.050.010.010.070.050.010.010.010.050.100.100.050.050.050.020.010.010.030.050.060.050.010.03(1)求边缘分布律;(2)求 8 月份的订单数为 51 时，9 月份订单数的条件分布律.解答：解答：(1)边缘分布律为X 5152535455pk 0.180.150.350.120.20对应 X 的值,将每行的概率相加,可得 PX=i.对应 Y 的值(最上边的一行), 将每列的概率相加，可得PY=j.Y 5152535455pk 0.280.280.220.090.13(2)当 Y=51 时,X 的条件分布

35、律为 PX=kY=51=PX=k,y=51PY=51=pk,510.28, k=51,52,53,54,55.列表如下:k 5152535455PX=kY=51 6/287/285/285/285/28习题习题 3 3 已知(X,Y)的分布律如下表所示，试求：(1)在 Y=1 的条件下,X 的条件分布律;(2)在 X=2 的条件下,Y 的条件分布律.XY 012 012 1/41/8001/301/601/8解答：解答：由联合分布律得关于 X,Y 的两个边缘分布律为X 012 pk 3/81/37/24/Y 012 pk 5/1211/241/8故(1)在 Y=1 条件下，X 的条件分布律为X

36、(Y=1) 012pk 3/118/110(2)在 X=2 的条件下，Y 的条件分布律为Y(X=2) 012pk 4/703/7习题习题 4 4 已知(X,Y)的概率密度函数为 f(x,y)=3x,0X=05x52(5-y)125dydx=13.习题习题 7 7 设随机变量 X 与 Y 都服从 N(0,1)分布，且 X 与 Y 相互独立，求(X,Y)的联合概率密度函数.解答：解答：由题意知，随机变量 X,Y 的概率密度函数分别是 fX(x)=12e-x22， fY(y)=12e-y22因为 X 与 Y 相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度函数是 f(x,y)=12e-12(x+y)2.习题习

37、题 8 8 设随机变量 X 的概率密度 f(x)=12e-x(-0, 各有 PXa,Xa=PXaPXa,而事件XaXa, 故由上式有 PXa=PXaPXa,PXa(1-PXa)=0PXa=0 或 1=PXa(a0)但当 a0 时，两者均不成立，出现矛盾，故 X 与X不独立.习题习题 9 9 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0,1)上服从均匀分布，Y 的概率密度为fY(y)=12e-y2,y00,y0,(1)求 X 与 Y 的联合概率密度；(2)设有 a 的二次方程 a2+2Xa+Y=0, 求它有实根的概率.解答：解答：(1)由题设易知 fX(x)=1,000,其它;(2)因a

38、 有实根=判别式 2=4X2-4Y0=X2Y,故如图所示得到： Pa 有实根=PX2Y=x2yf(x,y)dxdy=01dx0x212e-y2dy=-01e-x22dx=1-1e-x22dx-0e-x22dx =1-212-1e-x22dx-12-0e-x22dx=1-2(1)-(0),又 (1)=0.8413, (0)=0.5, 于是 (1)-(0)=0.3413, 所以 Pa 有实根=1-2(1)-(0)1-2.510.3413=0.1433.3.33.3 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布习题习题 1 1 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都等可能地取 1,2,3 为值，求随

39、机变量 U=maxX,Y和 V=minX,Y的联合分布.解答：解答：由于 UV, 可见 PU=i,V=j=0(ij),于是，随机变量 U 和 V 的联合概率分布为V概率U1 2311/92/92/9/20 1/92/9300 1/9习题习题 2 2 设(X,Y)的分布律为XY -112 -12 1/101/53/101/51/101/10试求：(1)Z=X+Y; (2)Z=XY; (3)Z=X/Y; (4)Z=maxX,Y的分布律.解答：解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型，本质上是利用事件及其概率的运算法则.注意，Z 的相同值的概率要合并.概率 1/101/53/101/51/1

40、01/10(X,Y)X+YXYX/Ymaxx,Y (-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221112222于是(1) (2)X+Y -20134 pi 1/101/51/21/101/10(3) (4)X/Y -2-1-1/212 pi 1/51/53/101/51/10习题习题 3 3 设二维随机向量(X,Y)服从矩形区域 D=(x,y0x2,0y1的均匀分布，且U=0,XY1,XY, V=0,X2Y1,X2Y,求 U 与 V 的联合概率分布.解答：解答：依题(U,V)的概率分布为 PU=0,V=0=PXY,X2

41、Y=PXY=01dxx112dy=14,PU=0,V=1=PXY,X2Y=0,PU=1,V=0=PXY,X2Y=PY00,z0.XY -20134 pi 1/21/51/101/101/10maxX,Y -112 pi1/101/57/10 /习题习题 5 5 设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=12(x+y)e-(x+y),x0,y00,其它,(1)问 X 和 Y 是否相互独立？(2)求 Z=X+Y 的概率密度.解答：解答：(1)fX(x)=-+f(x,y)dy=0+12(x+y)e-(x+y)dy,x00,x0under2line 令 x+y=tx+12te-tdt=12(x+

42、1)e-x,x00,x0,由对称性知 fY(y)=12(y+1)e-y,y00,y0, 显然 f(x,y)fX(x)fY(y),x0,y0,所以 X 与 Y 不独立.(2)用卷积公式求 fZ(z)=-+f(x,z-x)dx.当x0z-x0 即 x0x0 时，fZ(z)=0z12xe-xdx=12z2e-z.于是，Z=X+Y 的概率密度为 fZ(z)=12z2e-z,z00,z0.习题习题 6 6 设随机变量 X,Y 相互独立，若 X 服从(0,1)上的均匀分布，Y 服从参数 1 的指数分布，求随机变量Z=X+Y 的概率密度.解答：解答：据题意，X,Y 的概率密度分布为 fX(x)=1,00 时

43、， fZ(z)=0+fX(z-y)e-ydy=max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即 fZ(z)=0,z01-e-z,01.习题习题 7 7 设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=be-(x+y),000,x0, 2(y)=e-y,y00,y0,其中 0,0, 试求系统 L 的寿命 Z 的概率密度.解答：解答：设 Z=minX,Y, 则 F(z)=PZz=Pmin(X,Y)z/=1-Pmin(X,Y)z=1-PXz,Yz =1-1PX00,z0.习题习题 9 9 设随机变量 X,Y 相互独立，且服从同一分布，试明： Paa2-PXb2.解答：解答：设

44、minX,Y=Z,则 Paz =1-PXz,Yz=1-PXzPYz =1-PXz2,代入得 Pab2-(1-PXa2)=PXa2-PXb2.证毕.复习总结与总习题解答复习总结与总习题解答习题习题 1 在一箱子中装有 12 只开关，其中 2 只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：(1)放回抽样；(2)不放回抽样.我们定义随机变量 X,Y 如下：X=0,若第一次取出的是正品 1,若第一次取出的是次品, Y=0,若第二次取出的是正品 1,若第二次取出的是次品,试分别就(1),(2)两种情况，写出 X 和 Y 的联合分布律.解答：(1)有放回抽样，(X,Y)分布律如下：PX=0,Y=0=10101212=2536; PX=1,Y=0=2101212=536,PX=0,Y=1=1021212=536, PX=1,Y=1=221212=136,(2)不放回抽样，(X,Y)的分布律如下：PX=0,Y=0=1091211=4566, PX=0,Y