2023年均值不等式应用.docx

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1、2023年均值不等式应用 第一篇：均值不等式应用 均值不等式应用 一均值不等式 22a+b1.(1)若a,bR，则a+b2ab(2)若a,bR，则aba=b时取“=22 22.(1)若a,bR*，则a+b(2)若a,bR*，则a+b2ab当且仅当a=b时取“=2 a+b(当且仅当a=b时取“=(3)若a,bR*，则ab22 3.若x0，则x+ 取“=1;若x0，则+2(当且仅当a=b时取“=ba 若ab0，则ababab+2即+2或+-2(当且仅当a=b时取“=bababa a+b2a2+b25.若a,bR，则(当且仅当a=b时取“=)22 注：13.已知x,yR,x+y=s,xy=p.6及值

2、定理： 若p为定值，那么当且仅当时，s=x+y有； 若s为定值，那么当且仅当时，p=xy有。 备注：求最值的条件“一正，二定，三取等 应用一：求最值 解题技巧：技巧一：凑项 例1：已知x+5，求函数y=4x-2+1的最大值。44x- 51不是常数，所以对4x-2要进行拆、4x-5解：因4x-50，所以首先要“调整符号，又(4x-2) 凑项，x0，y=4x-2+=-5-4x+3-2+3=1 44x-55-4x 当且仅当5-4x=1，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1。5-4x 评注：此题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数 例1.当 时，求y=x(8

3、-2x)的最大值。 1解析：由知，利用均值不等式求最值，必需和为定值或积为定值，此题为两 个式子积的形式，但其和不是定值。留意到2x+(8-2x)=8为定值，故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可。 当，即x2时取等号当x2时，y=x(8-2x)的最大值为8。 评注：此题无法干脆运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设0x3，求函数y=4x(3-2x)的最大值。 32x+3-2x9解：0x0y=4x(3-2x)=22x(3-2x)2= 222 3当且仅当2x=3-2x,即x=30,时等号成立。 42 技巧三： 分别 x2+7x+10 (x-1)

4、的值域。例3.求y= x+1 解析一：此题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有x1的项，再将其分别。 当,即 时,y5=9当且仅当x1时取“号。技巧四：换元 解析二：此题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分别求最值。 (t-1)2+7(t-1+10t2+5t+44y=t+ 5ttt 当,即t= 时,y5=9当t=2即x1时取“号。评注：分式函数求最值，通常干脆将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为y=mg(x)+等式来求最值。 技巧五：留意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的状况，应结合函数f(x)=x+调性。 例：求函数

5、y= A +B(A0,B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不g(x) a的单x 2的值域。 2=t(t 2)，则y= =1 =t+(t2) t因t0,t=1，但t=解得t=1不在区间2,+)，故等号不成立，考虑单调性。因为y=t+在区间1,+)单调递增，所以在其子区间2,+)为单调递增函数，故y所以，所求函数的值域为,+。 练习求以下函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.t1t 1t5。 252 11x2+3x+1 y=2sinx+,x(0,p)y=2x+,x3,(x0)()(3)1y=2 sinxx-3x 2已知0x 1，求函数y30x0,y0，且 +=1，求x+y的最小值。x

6、y 1919+=1，x+y=+( x+y)=12xyxy 错解： x0,y0，且 故 (x+y)min=12。 错因：解法中两次连用均值不等式，在x+yx= y，在1+9x y 成立条件是 =即y=9x,取等号的条件的不一样，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题xy 时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。 19y9x19 正解：x0,y0,+=1，x+y=(x+y)+=+106+10=16 xyxyxy 当且仅当 19y9x=时，上式等号成立，又+=1，可得x=4,y=12时，(x+y)min=16。 xyxy x y 变式：1若x,yR+且2x+y=1，

7、求1+1的最小值 + (2)若a,b,x,yR且a+b=1，求x+y最小值 xy y 2 技巧 七、已知x，y为正实数，且x 1，求x1y的最大值.a 2b 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故接受公式ab。 11y中y前面的系数为，x1yx 1y22 x222 下面将x，1y 分别看成两个因式： 22 xx 222 技巧 八、取平方 2y 21 2)x 2222 3 即1y2 x 4 2245、已知x，y为正实数，3x2y10，求函数W3x 2y 的最值.aba 2b 2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，此题很简洁 3x 2y2 3x22y2 2 3x2y 2 5解法二：条

8、件与结论均为和的形式，设法干脆用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值条件靠拢。 W0，W23x2y23x y 103x 2y 103x)2(y)2 10(3x2y)20 W 20 5 变式: 求函数y= 1x0，所以0ab+bc+ca 2正数a，b，c满意abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc +111 3、已知a、b、cR，且a+b+c=1。求证：-1-1-18 abc + 解：Qa、b、cR，a+b+c=1。 1-1=1-a=b+c 1-1 1-1 aaabc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 1时取等号。111。当且仅当a=b=c=-1-1-1=83ab

9、c 应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x0,y0且1+9=1，求使不等式x+ym恒成立的实数m的取值范围。 x y 条件：m(x+y)的最小值，m(-,16 应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若ab1,P= lgalgb,Q= 1a+b(lga+lgb),R=lg()，则P,Q,R的大小关系是22 分析：ab1 lga0,lgb0 lga+lgb)algb=p 2 a+b1R=lg()lgab=lgab=QRQP。 22Q= 其次篇：均值不等式及其应用 老师寄语：一切的方法都要落实到动手实践中 高三一轮复习数学学案 均值不等式及其应用 一考纲要求及重难点 要求：1.了解均值不等式

10、的证明过程.2.会用均值不等式解决简洁的最大小值问题.重难点：1.主要考查应用不等式求最值和不等式的证明.2.对均值不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若出现证明题难度也不会太大.二考点梳理 a+b1.均值定理：； 21均值不等式成立的条件是_.2等号成立的条件是：当且仅当_时取等号.3其中_称为正数a,b的算术平均值，_称为正数a，b的几何平均值.2.利用均值定理求最值 M2 1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，bR，且abM，M为定值，则ab，4 等号当且仅当ab时成立.简记：和定积最大。 2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，bR，且a

11、bP，P为定值，则ab2P， 等号当且仅当ab时成立.简记：积定和最小。 3、几个重要的不等式 1a+b2ab(a,bR)222ba +2(a,b同号ab a2+b2a+b2a+b2()a,bR3ab()a,bR422 2三、学情自测 1、已知a0，b0，且a+b=2，则 112222A、abB、abC、a+b2D、a+b3 222、给出以下不等式：a+12a212；x2+21，其中正确的个数是 x+1A、0B、1C、2D、31的最大值是_。x4、长为24cm的铁丝做成长方形模型，则模型的最大面积为_。 125.已知正数a,b，满意a+b=1，则+的最小值为 ab3、设x0，则y=3-3x-

12、均值不等式及其应用第 1页共4页 四典例分析 考向一：利用均值不等式求最值 212xy+-22x-3xy+4y-z=0,则当z取得最大值时,xyz的最大例 1、2023山东设正实数x,y,z满意 值为 A0 B1 9C4 D 3x2+7x+10变式训练1.若x0, 则当a = _时,考向 二、利用均值不等式证明简洁不等式 例 2、已知x0,y0,z0，求证：变式训练 2、已知a,b,c都是实数，求证：a+b+c 2221|a|取得最小值.+2|a|byzxzxy+)(+)(+)8 xxyyzz1(a+b+c)2ab+bc+ac 3考向 三、均值不等式的实际应用 例 3、小王于年初用50万元购置

13、一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从其次年起,每年都比 上一年增加支出2万元,假定该年每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x年年底出售,其销售价格为25-x万元(国家规定大货车的报废年限为10年).(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出? (2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?)(利润=累计收入+销售收入-总支出) 变式训练： 如图：动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。 1现有可围36米长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时

14、，可使每间虎笼面积最大？ 2若使每间虎笼面积为24m，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使四间虎笼的钢筋网总长最小？ 五、当堂检测 1、若a,bR且ab0，则以下不等式中，恒成立的是 2A、a+b2abB、a+b、11ba+、+2 abab2、若函数f(x)=x+1(x2)在x=a处取得最小值，则a=x- 2A、1B、1+C、3D、4ab3、已知log2+log21，则3+9的最小值为_。ab 4.若点A(1,1)在直线mx+ny-2=0上,其中mn0,则11+的最小值为_.mn 六、课堂小结 七、课后稳固 511、已知x0,y0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小

15、值是 cd A、0B、1C、2D、43、已知b0，直线(b+1)x+ay+2=0与直线x-by-1=0互相垂直，则ab的最小值为 A、1B、2C、D、4、已知x0,y0,x+y+xy=8，则x+y最小值是_。 5、若对随便x0,22xa恒成立，则a的取值范围是_。2x+3x+1 6.某工厂去年的某产品的年销售量为100万只,每只产品的销售价为10元,每只产品固定本钱为8元,今年,工厂第一次投入100万元,并支配以后每年比上一年多投入100万元,意料销售量从今年起先每年比上一年增加10万只,第n次投入后,每只产品的固定本钱为g(n)=k0,k为常数,nN),若产品销售价保持不变,第n次投入后的年

16、利润为f(n)万元.(1)求k的值,并求出f(n)的表达式; (2)若今年是第1年,则第几年年利润最高?最高利润为多少万元? 第三篇：均值不等式的应用 均值不等式的应用 教学目标： 1.驾驭平均不等式的基础上进而驾驭极值定理 2.运用基本不等式和极值定理娴熟地处理一些极值与最值问题 教学重点：应用 教学难点：应用 教学方法：讲练结合 教 具：多媒体 教学过程 一、复习引入： 1.算术平均数与几何平均数定义，平均不等式 2.算术平均数与几何平均数之间的关系-并推广：调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数 3.极值定理：积定和最小；和定积最大 注：极值定理成立的条件：一正二定三相等 应用时应当留

17、意的问题： 4.练习： 3若x0,求y=1-2x-的最大值.xx2-2x+2-4x0时求y=3.已知x,y满意xy-x-y=1，求x+y的最小值.4.已知a2+b2=10，求a+b的范围.5.已知x0,y0,z0，求(1+x2)(1+y2)(1+z2)=8xyz的解.四、小结： 五、作业： 1.若0x0-2ab(2)对非负实数a,b，有a+b2(a*b)0，即(a+b)/2(a*b)0(3)对负实数a,b，有a+b0)证明：2x+1/x=x+x+1/x3*(1/3)=3 所以，2x3-1/x 例二长方形的面积为p，求周长的最小值 解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p 因为a+b2(ab)，所

18、以2(a+b)4(ab)=4p 周长最小值为4p 例三长方形的周长为p，求面积的最大值 解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p 因为a+b=p/22(ab)，所以abp2/16 面积最大值是p2/16 第五篇：均值不等式 课标分析 1课程标准要求： 课程标准对均值不等式要求探究并了解基本不等式的证明过程；会用 基本不等式解决简洁的最大小问题。2课程标准解读 这个要求可以分为两个层次：一是探究并了解基本不等式的证明过 程；二是会用基本不等式解决简洁的最大小问题。从第一个层次来 看，要到达“探究并了解，需要三个步骤：首先要给学生创建相关的问 题情景，启发学生的思维，获得感性相识。其次通过问题

19、探究让学生步 步深化，剖析特点；最终利用不等式的性质将得出的结论，进行完好的 证明，并明确运用均值不等式的三个条件。其次个层次是应用层面，因 此要通过适当的例题、习题和变式训练，引导学生明白对式子如何变形 才可满意运用均值不等式的条件。 教材分析 本节是中学人教B版数学必修5第三章不等式其次节的内 容。本节内容的教学需要两个课时，这是第一课时。中学数学不等式是初中不等式学问的完善和提升，更是高等数学的基础，起着承前启后的作用中学不等式与其他学问联系紧密，具有工具性功能中学数学课程标准加强了不等式学问与实际生活的联系，力求表达数学来源于现实的真谛，教学中也更为突出不等式在解决实际问题中的工具作用

20、均值不等式的 两个作用特殊重要：第一是证明不等式。其次个作用是求最值。用来求最值时三个条件缺一不行，这是学生驾驭的重点也是用均值不等式解决实际问题的易错点。教学重点： 理解均值定理并运用其解题。教学难点： 均值不等式成立的三个条件，也是学生用均值不等式解 决实际问题的易错点。难点突破方法： 多视察、勤类比、善归纳、重建构 题组引路、逐层深化、归纳总结、明确要点 学情分析 从学问方面看：通过对必修五模块第一节不等关系与不等式的学习，以及学生在初中对一些不等式学问有确定的驾驭，相关技能和实力有了一 定的提高，均值不等式的推出及证明过程学生可顺当得出，但均值不等式 的运用，以及公式的变形运是对学生的

21、一个新的要求。因此，还需要学生 有一个逐步熟识的过程。从学习情感方面看，大部分学生情愿主动学习对学习有着较浓的学习爱好。从实力上看，意料学生思维活跃、灵敏，却缺乏冷静、深刻，因此片面，不够严谨，而且缺少系统的分析问题和解决问题的实力。从学生的思维特点看，不等式的成立，简洁联系不等式的相关性质。不利因素是：本节课的重点讲均值不等式求最值，对等号是否成立，学生往往简洁忽视，尤其是在后面运用过程中更简洁出错。所以我特意设置一个辨一辩的环节，借此引起学生的重视。从学生的不同层次来看 学优生在公式推导和运用方面驾驭的较好。因此组织了三次小组探讨，并且在当堂小测环节设置了A组和让不同层次的孩子都有所收获。

22、效果分析 1从目标达成上看： 学生在课堂上学习气氛热情，爱好深厚，回答老师提问主动主动且正确率高，板演、上台展讲等环节，表现的也都很优秀，老师在课堂巡察时，觉察除学案例题2的变式练习外，其它课堂练习完成状况很好。学案例题 2的变式练习，学生根据老师的提示，重新作答，也很好的完成。根据上面检测，前2个目标至少40人达成，第3个目标38人达成，很好的完成了预设目标。班级43人2从重、难点突破上看： 均值不等式能运用好的关键是认准均值 不等式成立的条件，以及什么样结构的式子适合用均值不等式求最值。对于学生来说，能一眼看到定值的还可以应付，略微困难或定值不太明 显的题目，学生还是缺少确定的相识。这方面

23、的练习要强化一些。因此 我在教学中着力在这儿做文章，舍得花时间营造学问形成过程的气氛，通过问题串引导学生，突破学生学习的障碍点同时，形成繁难的情境 激起了学生的求知欲，引导学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的 教学埋下伏笔。通过我的合理有效的问题串的引导，学生通过小组合作 探讨，比较顺当得区分出均值不等式的运用环境，轻松突破本节课的重、难点。 3从课堂视察量表上看： 观课中老师运用了课程视察量附件1共有10名数学老师进行观课，有1名老师给打了99分，6名老师给打了98分，3名老师给打了97分，平均得分为 97.8分，平均得分比较高，说明总体效果较好。从课程视察量表各项得分上看，老师的课堂设计

24、和课堂处理都到达了很好的评价，学生的参与度特殊高、学生间的合作与小组间的合作很强、学生的思维状态很活跃，学习的效果较好。 4从课堂检测批改状况来看：课堂小测批改状况是：全班共43人，全 对的有38个同学，有4个同学错在B组练习。从这个结果可以看出，本节课学生基本驾驭了所学内容，完成了学习任务。从上面的分析知，本节课所授内容基本与预设效果一样，评略得当，重点突出，难点突破。在问题的引入、讲解及应用的处理方法、时间支配都把握的比较好，能够 引导学生主动主动地探究，使学生学习爱好深厚，自主高效地完成课堂学习。根据课堂检测和课后反馈练习的批改状况，可以看出学生对公式的运用特殊好，完好地实现了教学目标。

25、 课后反思 本节课我对均值不等式的教学是接受引导提问式的教学方式进 行的，不是对学生进行学问的硬性灌输，而是通过问题的引入，问题的 探究进行按部就班式的引导式教学，让学生在探讨问题的过程中体会知 识的形成过程，在解决问题的过程中驾驭学问的内容与实际应用，真正 实现了以学生为主体的课堂教学。在教学设计上，也力求调动一切主动 因素，尽最大的可能激发学生的学习爱好。在老师的引导启发下，能使 学生的思维真正的围绕“探究步步深化，层层递进，能在最大限度上挖 掘学生的学习潜能，也能更充分的表达学生学习的学习主体性。我认为本节课能到达以下教学效果： 1、科学设置学习目标，教学目标是教学活动的动身点，也是教学

26、 活动的归宿，在教学活动中处于核心地位。教学目标是课堂教学的指挥 棒，是全部教学行为的指路明灯，具有导向作用。本节课，我确定了三 个学习目标。学习目标的细化，使学生明确本节课要做什么，怎样做，做到什么程度，而且我把三个目标简化在黑板上，适时回扣目标，本节 课的三个学习目标全部达成。 2、生活情境激发学生学习的爱好，用赵爽弦图 引入课题，通过均值不等式的探究过程增加了学生的自信念，更能关心学生感受探讨方法 的思想渗透； 3、通过具体实例的探讨探讨，让学生通过动手操作，合作沟通，使学生能自己主动的觉察，理解并驾驭均值不等式。 4、细心设置问题串，教学中，我设计一个又一个带有启发性和思干脆的问题，创

27、设问题情景，诱导学生思索，使他们阅历视察、试验、揣测、推理、沟通、反思等理性思维的基本过程，切实改良学生的学习方法。通过问题引领学生进行思索和剖析，培育学生分析问题,解决问题的实力,使学生充分体会自主探究获得学问的成就感。在教学过程中贯彻新课程理念，遵循学生的认知规律，让学生品尝学问的形成过程。 5、均值不等式的的应用，尤其是例题和练习的具体感知更培育了学生分析、抽象、概括、规律推理的实力以及运用属性结合思想解决实际问题的实力；让学生自主探究，主动回答下列问题，班级 学习气氛深厚，但有的孩子由于种种缘由没有参与进来，有的孩子一节课表现了多次，没有把 机会让给其他孩子。后续 改良： 1、加强培育尖子生的带头作用，接着进展15人左右的答疑团队，让他们无论在课堂还 是课下，都发挥自己的数学优势，带着组上其他学生的进步。 2、加强基本功训练，提高语言的精炼与艺术性。