2023年三角函数、极限、等价无穷小公式.docx

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1、2023年三角函数、极限、等价无穷小公式 第一篇：三角函数、极限、等价无穷小公式 三角函数公式整合： 两角和公式 sin(A+B)= sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)= sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)= cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)= cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-c

2、otA)倍角公式 Sin2A=2SinACosA Cos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1 tan2A=2tanA/1-tanA2 和差化积 sin+sin = 2 sin cos sin-sin = 2 cos sin cos+cos = 2 cos cos cos-cos =-2 sin sin tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差 sinsin =-1/2* coscos = 1/2* sinc

3、os = 1/2* cossin = 1/2* 诱导公式 sin(-)=-sin cos(-)= cos sin(/2-)= cos cos(/2-)= sin sin(/2+)= cos cos(/2+)=-sin sin(-)= sin cos(-)=-cos sin(+)=-sin cos(+)=-cos tanA= sinA/cosA tan/2cot tan/2cot tantan tantan 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限 万能公式 1.极限的概念 1数列的极限：e0，$N正整数，当nN时，恒有xn-A0，$X0，当xX时，恒有f(x)-Ae limf(x)=A 或 f

4、(x)A(x) x几何意义：在-Xx0，$d0，当0x-x0d时，恒有f(x)-A0，$d0，当x0-dxx0时，恒有f(x)-A0，$d0，当x0xx0+d时，恒有f(x)-A0(A0(f(x)0则称b为a的k阶无穷小； a若lim4无穷大的比较： 若limu=，limv=，且lim无穷大，记为o1(v)；特别u称为u+v=o1(v)+v的主部 3.等价无穷小的替换 u=，则称u是比v高阶的v若同一极限过程的无穷小量aa，bb，且lima存在，则 blimaf(x)af(x)=limbg(x)bg(x)121-cosaa211+a-1a2 a 11(1+a)n-1anaa-1alna常用等价

5、无穷小(lima=0)sinatanaarcsinaarctanaln(1+a)ea-11+a-1-a留意：1无论极限过程，只要极限过程中方框内是相同的无穷小就可替换； 2无穷小的替换一般只用在乘除情形，不用在加减情形； 3等价无穷小的替换对复合函数的情形仍好用，即 若limf(a)=f(0)，aa，则f(a)f(a) 4.极限运算法则设 limf(x)=A，limg(x)=B1limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB2limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB 特别地，limCf(x)=Climf(x)，limf(x)=limf(x)=An nn3limf(

6、x)limf(x)A=(B0)g(x)limg(x)B5.准则与公式lima=0，limb=0准则1：夹逼定理若j(x)f(x)y(x)，则 limj(x)=limy(x)=A limf(x)=A 准则2：单调有界数列必有极限 若xn单调，且xnMM0，则limxn存在xn收敛 n准则3：主部原则 lim+o()o()a+o(a)a=lim； lim111=lim11 2+o1(2)o1(2)b+o(b)b公式1： limsinasinx= 1=1 limx0xa1xlim(1+x)x0公式2： =e 1lim(1+)nnn1alim(+1lim(+11a)=e )公式3： lim(1+a)=

7、elima，一般地，lim(1+a)f=elimaf 0anxn+an-1xn-1+L+a0anxnan公式4：lim=lim=m-1xbxm+bxbxmx+L+bmm-10mbm6.几个常用极限(a0,a1)1limnnmna=1，limnn=1；2lim+xx=1，limxx=+； nx0x+3limex=+，limex=0；4lim+lnx=-； +-x0x0x0110q1x0x2n5；6limq= nq=1limarctan1=-p1x2x0-不存在q=-1 其次篇：高等数学等价无穷小替换_极限的计算 西南石油高校高等数学专升本讲义 讲义 无穷小 极限的简洁计算 1、理解无穷小与无穷大

8、的概念； 2、驾驭无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 重点是驾驭无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。 首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质30分钟，在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点驾驭用等价无穷小求极限的方法20分钟。最终归纳总结求极限的常用方法和技巧25分钟，课堂练习15分钟。 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们探讨了n数列xn的极限、xx+、x+函数f(x)的极限、xx0xx0、xx0函数f(

9、x)的极限这七种趋近方式。下面我们用 +-西南石油高校高等数学专升本讲义 x表示上述七种的某一种趋近方式，即 nxx+x-xx0xx0+xx0- 定义：当在给定的x下，f(x)以零为极限，则称f(x)是x下的无穷小，即limf(x)=0。 x.例如, Qlimsinx=0, 函数sinx是当x0时的无穷小x011Qlim=0, 函数是当x时的无穷小.xxx(-1)n(-1)nQlim=0, 数列是当n时的无穷小.nnn不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的x下，f(x)无限增大，则称f(x)是x下的无穷大，即limf(x)=。明

10、显，n时，n、n2、n3、L都是无穷大量，x不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 limex=0，limex=+，x-x+所以ex当x-时为无穷小，当x+ 时为无穷大。 2无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一转变过程中，假如f(x)为无穷大，则11为无穷小；反之，假如f(x)为无穷小，且f(x)0，则为无穷大。f(x)f(x)小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的转变趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的转变趋势。 3

11、.无穷小与函数极限的关系: 定理1 limf(x)=A?f(x)xx0xA+a(x),其中a(x)是自变量在同一转变过程xx0或x中的无穷小.证：必要性设limf(x)=A,令a(x)=f(x)-A,则有lima(x)=0，xx0xx0f(x)=A+a(x).西南石油高校高等数学专升本讲义 充分性设f(x)=A+a(x),其中a(x)是当xx0时的无穷小，则 xx0limf(x)=lim(A+a(x)=A+lima(x)=A.xx0xx0 1将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);2给出了函数f(x)在x0旁边的近似表达式f(x)A,误差为a(x).3.无穷小的运算性质 定理2 在同一过程

12、中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.但n个之和为1不是无穷小.例如,n时,是无穷小，nn定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：lim(-1)nn111=0，limxsin=0，limsinx=0 x0xxnx推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较 例如，当x0时,x,x2,sinx,x2sin都是无穷小，视察各极限： 1xx2lim=0,x2比3x要快得多;x03xsinx=1,sinx与x大致相同; x0x1x2sinx=limsin1不存在

13、lim.不行比.2x0x0xxlim极限不同, 反映了趋向于零的“快慢程度不同.1定义: 设a,b是自变量在同一转变过程中的两个无穷小，且a0.b=0,就说b是比a高阶的无穷小,记作b=o(a);ab(2)假如lim=C(C0),就说b与a是同阶的无穷小; ab特殊地假如lim=1,则称b与a是等价的无穷小，记作ab; ab(3)假如limk=C(C?0,k0),就说b是a的k阶的无穷小.a(1)假如lim3 西南石油高校高等数学专升本讲义 例1 证明:当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.4xtan3xtanx3=4lim()=4,故当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小证：lim.4

14、x0x0xx例2 当x0时,求tanx-sinx关于x的阶数.解Qlimtanx-sinxtanx1-cosx1=lim()=,tanx-sinx为x的三阶无穷小.x0x0x3xx222常用等价无穷小:当x0时，1sinxx；2arcsinxx；3tanxx；4arctanxx；5ln(1+x)x；6ex-1x x271-cosx8(1+x)m-1mx9ax-1lna*x 2用等价无穷小可给出函数的近似表达式: Qlimba-b=1,lim=0,即a-b=o(a),于是有a=b+o(a).aa12例如sinx=x+o(x),cosx=1-x2+o(x2).3等价无穷小替换 定理：设aa,bb且

15、lim证：limbbb存在,则lim=lim.aaabbbbabba=lim()=limlimlim=lim.aabaabaa2tan22xex-1.； 2lim例31求lim x01-cosxx0cosx-112(2x)2解:1当x0时,1-cosxx,tan2x2x.故原极限=lim= 8 x012x22x22原极限=lim2x0x-2例4 求lim=-1 2tanx-sinx.3x0sin2x错解: 当x0时,tanxx,sinxx.原式=lim4 x-x=0 x0(2x)3西南石油高校高等数学专升本讲义 正解: 当x0时,sin2x2x,tanx-sinx=tanx(1-cosx)13

16、x, 213x1故原极限=lim23=.x0(2x)16和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。例5 求limtan5x-cosx+1.x0sin3x12x+o(x2).2o(x)1o(x2)1225+x+5x+o(x)+x+o(x)x2x=5.2=lim原式=limx0x0o(x)33x+o(x)3+x解: Qtanx=5x+o(x),sin3x=3x+o(x),1-cosx= 三、极限的简洁计算 1.代入法：干脆将xx0的x0代入所求极限的函数中去，若f(x0)存在，2x5-3x4+2x+12=；若f(x0)不存在，我们也能知道属即为其极限，例如li

17、mx193x3+2x+4x2-9于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，lim就代不进去了，但 x3x-3我们看出了这是一个 0型未定式，我们可以用以下的方法来求解。02.分解因式，消去零因子法 x2-9=lim(x+3)=6。例如，limx3x-3x33.分子分母有理化法 x2+5-3x2+5-3x2+5+32x+1+5=lim例如，lim 2x22x+1-5x22x+1-52x+1+5x+5+3()()()()()x2- =lim x22x-4 =lim(x+2)(x-2) x22(x-2) =2 西南石油高校高等数学专升本讲义 又如，limx+(x22+1-x=lim)1x+1+x2

18、x+=0 4.化无穷大为无穷小法 13+-3x+x-7x例如，lim2=limx2x-x+4x12-+x这个无穷大量。由此不难得出 7x2=3，事实上就是分子分母同时除以x242x2a0，n=mba0xm+a1xm-1+L+am0lim=0，nm xbxn+bxn-1+L+b01n，nm 1+x=limx+2x+1+1x分子分母同除x。=1，21+x又如，limx+2-1nn2-55=lim=-1，再如，limn分子分母同除5n。nnn3+5n3+15n例如，limxarctan(x+1)=0，无穷小量乘以有界量。x3x2+x+14x-1.又如，求lim2x1x+2x-3解：Qlim(x2+2

19、x-3)=0,商的法则不能用 x15.利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限 x2+2x-30又Qlim(4x-1)=30,lim=0.x1x134x-1由无穷小与无穷大的关系,得lim4x-1=.x1x2+2x-3再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3例5。6.利用两个重要极限求极限例题参见1.4例3例57.分段函数、复合函数求极限 西南石油高校高等数学专升本讲义 例如，设f(x)=1-x,xM.无界，21(2)取x0=(k=0,1,2,3,L) 2kpp当k充分大时,xkd, 但y(xk)=2kpsin2kp =00，且limf(x)=A，问：能否保证有A0的结论？试举例 x+说明

20、.解：不能保证.例f(x)=11 x0, f(x)=0 limf(x)= x+xx1=A=0.x+xlim思索题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？ 解：不能例如当x+时f(x)=,g(x)=1xsinx都是无穷小量 x7 西南石油高校高等数学专升本讲义 但lim较.g(x)=limsinx不存在且不为无穷大，故当x+时f(x)和g(x)不能比x+x+f(x)求以下函数的极限 ex-cosx1lim； x0xex-cosxex-11-cosx=lim+lim=1 解：原极限=limx0x0x0xxx1x2求limx0(1+cosx)ln(1+x)3sinx+x2cos “型，拆项。0011223

21、sinx+xcosxcos3sinx3xx=lim= 解：原极限=lim+x0x02x2x22x5x5+4x4+3x23lim ； x2x5-4x+1“抓大头法，用于 型 355x55x解：原极限=lim=，或原极限=lim5= x2-412+52x2xx4x5+4x+34lim(x2+x-x)； x+分子有理化 解：原极限=limxx2+x+xx+=limx+11= 1+1x+12x21-)5lim(2x2x-4x-2-型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。 x+13x2-x-2x21-)=lim2解：lim(2=lim= x2x+2x2x-44x-2x2x-48 西南石油高

22、校高等数学专升本讲义 6limx0x2x+9-32 “子。0型，是不定型，四则运算法则失效，运用分母有理化消零因0x2x2+9+3解：原极限=lim=6 2x0x7求lim(n()12n+L+).222nnn和解: n时,是无穷小之先变形再求极限.1n(n+1)12n1+2+L+n1112=limlim(2+2+L+2)=lim=lim(1+)=.22nnnnnnnnn2n2 一、无穷小大的概念 无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论.2、几点留意:(1) 无穷小大是变量,不能与很小大的数混淆，零是唯一的无穷小的数； 2无穷多个无穷小的代数和乘积未必是无

23、穷小.3无界变量未必是无穷大.二、无穷小的比较: 1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是全部的无穷小都可进行比较。高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶。 2.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法, 留意适用条件.三、极限求法不同类型的未定式的不同解法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限. 第三篇：等价无穷小函数求极限 等价无穷小函数求极限 1.绪论 1.1探讨背景和意义 1.2探讨现状 1.3文章结构 2.基础学问 2.1等价无穷小相关概念 2.2等价无穷

24、小代换定理及证明 2.3等价无穷小代换定理推广及证明 3.等价无穷小求函数极限应用及推广 4.总结 第四篇：高校高等数学等价无穷小 这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行，包括不少高校老师。其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。 1.做乘除法的时候确定可以替换，这个大家都知道。 假如f(x)u(x)，g(x)v(x)，那么lim f(x)/g(x)= lim u(x)/v(x)。关键要记住道理 lim f(x)/g(x)= lim f(x)/u(x)* u(x)/v(x)* v(x)/g(x)其中两项的极限是1，所以就顺当替换

25、掉了。2.加减法的时候也可以替换！但是留意保存余项。 f(x)u(x)不能推出f(x)+g(x)u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的缘由，但是假如你这样看： f(x)u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x)，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x)，留意这里是等号，所以确定是成立的！ 问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x)成为主导，所以不能忽视掉。当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x)照旧是可以忽视的。 比方你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为 ln(1+x)+x=+x=2x+o(x)，所以ln(1+x

26、)+x和2x是等价无穷小量。但是假如遇到ln(1+x)-x，那么 ln(1+x)+x=-x=o(x)，此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子照旧是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法干脆求出来而已。 遇到这种状况也不是说就不能替换，假如你换一个高阶近似： ln(1+x)=x-x2/2+o(x2)那么 ln(1+x)-x=-x2/2+o(x2)这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x2)可以忽视。也就是说用x-x2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。从上面的例子就可以看出来，余项很重要，不能干

27、脆扔掉，因为余项当中包含了确定的信息。而且只要保存余项，那么所做的就是恒等变换(留意上面我写的都是等式)而不是近似，这种方法恒久是可行的，即使得到不定型也不行能得出错误的结论。等你学过带余项的Taylor公式之后对这一点就会有更好的相识。 高数教了一段时间了，对于等价无穷小量代换法求极限为什么只能在乘除中运用，而不能在加减的状况下运用的条件感到有些怀疑，于是找了一些资料，细致的探讨了这个问题，整理如下： 等价无穷小的定义及常用的等价无穷小 无穷小量是指某转变过程中极限为0的变量。而等价无穷小量是指在某转变过程中比值极限为1的两个无穷小量。 常用的等价无穷小有： sinxtanxarctanxa

28、rcsinxln(1+x)x(x0) sinxtanxarctanxarcsinxln(1+x)x(x0)1cosxx22,1+xn1xn(x0)1cosxx22,1+xn1xn(x0)等价无穷小量在求极限问题中特殊重要。恰当的运用等价无穷小量代换常常使极限问题大大简化。但是有时却不能运用等价无穷小量代换。 等价无穷小替换原理 定理1：设,1,1,1,1是某一转变过程中的无穷小量，且1,11,1，若limlim存在，则lim=lim11lim=lim11。 例1： limx0ln(1+3x)sin2x.limx0ln(1+3x)sin2x.解： limx0ln(1+3x)sin2x=limx0

29、3x2x=32.limx0ln(1+3x)sin2x=lim x03x2x=32.例2： limx0tanxsinxx3.limx0tanxsinxx3.错误会法： limx0tanxsinxx3=limx0xxx3=0.limx0tanxsinxx3=limx0x xx3=0.正确解法： limx0tanxsinxx3=limx0sinx(1cosx)x3cosx=limx01cosxx2cosx=limx012cosx=12.limx0tanxsinxx3=limx0sinx(1cosx)x3cosx=limx01cosxx2cosx=limx012cosx=12.从上面的解法可以看出，该

30、题分子不能干脆用等价无穷小量替代来做，下面我们分析产生错误的缘由：等价无穷小之间本身一般并不相等，它们之间一般相差一个较它们高阶的无穷小，由函数f(x)f(x)在点x=0x=0处的泰勒公式，即麦克劳林公式： f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)2!x2+f(n)(0)n!xn+o(xn)f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)2! x2+f(n)(0)n!xn+o(xn)很简洁有： tanx=x+x33+2x515+o(x5).(x0)tanx=x+x33+2x515+o(x5).(x0)sinx=x+x33!+x55!+x77!+(1)m1x2m1(2m1)!+o(x2m1).(x0)s

31、inx=x+x33!+x55!+x77!+(1)m1x2m1(2m1)!+o(x2m1).(x0)由此可知，sinx与tanx相差一个较xx的三阶无穷小，此三阶无穷小与分母x3x3相比不行忽视，因为把上述结论代入原式得 limx0tanxsinxx3=limx0x33+x33!+o(x3)x3=12.limx0tanxsinxx3=limx0x33+x33!+o(x3)x3=12.由此，我们可以得出：加减状况下不能随便运用等价无穷小。 下面我们给出一个在加减状况下运用等价无穷小的定理并加以证明。在这里我们只探讨减的状况，因为我们知道加上一个数可以看成减去这个数的负数。为便利，首先说明下面的定理

32、及推论中的无穷小量其自变量都是xx，其趋近过程都相同：x0x0，在有关的极限中都省去了极限的趋近过程。 定理2：设,1,1,1,1是某一转变过程中的无穷小量，且1,11,1，则1111的充分必要条件是lim=k1lim=k1。 证明： 11充分性： 1,1lim1=lim1=11,1lim1=lim1=1 又 lim=k1,lim11=k1lim=k1,lim11=k1 则 lim11=lim11111=k1k1=1lim11=lim1 1111=k1k1=1 即 11.11.22必要性： ,11lim11=1,11lim11=1 即 lim(111)=0lim(111)=0 通分得 lim1

33、11lim111=0lim111lim111=0 所以 lim1111lim11111=0lim1111lim11111=0 又 lim1=1,lim1=1lim1=1,lim1=1 所以 lim011lim0111=0lim011lim0111=0 所以 lim11=k1lim11=k1lim11=k1lim11=k1 又 lim=lim11.lim=lim11.所以 lim=k1,lim11=k1.lim=k1,lim11=k1.由1,21,2得，原命题成立。证毕。 这样一来，就得到了差形式无穷小量等价代换的充要条件。例3： limx01cosx+2sinxarcsin2xsinx.lim

34、x01cosx+2sinxarcsin2x sinx.解： 1cosxx22,2sinx2x,2arcsinx2x,sinxx(x0)1cosxx22,2sinx2x,2arcsinx2x,sinxx(x0)所以 limx01cosx2sinx=01,limx02arcsinxsinx=21limx01cosx2sinx=01,limx02arcsinxsinx=21 由定理2得 limx01cosx+2sinxarcsin2xsinx=limxx22+2xx=2.limx01cosx+2sinxarcsin2xsinx=limxx22+2xx=2.例4： limx0arctan2x+arcs

35、in5xsin3x.limx0arctan2x+arcsin5xsin3x.解： arctan2x2x,arcsin5x5x,sin3x3x(x0)arctan2x2x,arcsin5x 5x,sin3x3x(x0)又 limarctan2xarcsin5x=251limarctan2xarcsin5x=251 由定理2得 limx0arctan2x+arcsin5xsin3x=2x+5x3x=73.limx0arctan2x+ar csin5xsin3x=2x+5x3x=73.总结 本文指出，在有加减的状况下不能随便运用等价无穷小代换求极限，并且指出了在有加减的状况下能够运用等价无穷小代换的

36、充分必要条件。对于不满意条件的状况，根据给出的泰勒绽开公式，可以求出。 第五篇：求极限的方法三角函数公式 高数中求极限的16种方法好东西 假如高等数学是棵树木得话，那么 极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要？ 各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表如今各个方面 首先 对 极限的总结 如下 极限的保号性很重要 就是说在确定区间内 函数的正负与极限一样极限分为 一般极限，还有个数列极限，区分在于数列极限时发散的，是一般极限的一种 2解决极限的方法如下：我能列出来的全部列出来了！你还能有补充么？等价无穷小的转化，只能在乘除时候运用，但是不是说确定在加减时候不能用 但是前提是必需证明拆分后极限照旧存在e的X次方-1 或者1+x的