2023年三角函数中万能公式总结.docx

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1、2023年三角函数中万能公式总结 第一篇：三角函数中万能公式总结 两角和与差的三角函数 三角函数基本公式总结 1和、差角公式 sin(ab)=sinacosbcosasinb；cos(ab)=cosacosbmsinasinb； tg(ab)=tgatgb 1mtgatgb2二倍角公式 sin2a=2sinacosa；cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a； tg2a=2tga 1-tg2a3降幂公式 sinacosa=11-cos2a1+cos2a；cos2a= sin2a；sin2a=2224半角公式 sina2=1-cosa2； cosa2=1+cosa2

2、；tga2=1-cosasina1-cosa= 1+cosa1+cosasina5万能公式 2tgsina=a2；cosa=1-tg21+tg2aa2；tga=22tga2 1+tg2a21-tg2a26积化和差公式 sinacosb=；cosasinb=；2211 cosacosb=；sinasinb=-22 7和差化积公式 sina+sinb=2sina+b2222a+ba-ba+ba-b；cosa-cosb=-2sin cosa+cosb=2coscossin2222cosa-b；sina-sinb=2cosa+bsina-b； 倍角、半角的三角函数 二倍角公式是两角和公式的特殊状况，即

3、: 由此可接着导出三倍角公式.视察角之间的联系应当是解决三角变换的一个关键.二倍角公式中余弦公式有三种形式，接受哪种形式应根据题目具体而定.倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即，进一步得到半角公式: 降次公式在三角变换中应用得特别广泛，“降次可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时确定要留意正、负号的选取，而是正是负取决于 所在的象限.而半角的正切可用的正弦、余弦表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问题，因此经常接受.反之用tan也可表示sin, cos, tan，即:，这组公式叫做“万能公式.教材中只要求记忆两倍

4、角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出. 其次篇：三角函数公式学问点总结 三角函数公式大全 三角函数看似很多，很困难，但只要驾驭了三角函数的本质及内部规律就会觉察三角函数各个公式之间有强大的联系。而驾驭三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是为大家整理的： 锐角三角函数公式 sin =的对边 / 斜边 cos =的邻边 / 斜边 tan =的对边 / 的邻边 cot =的邻边 / 的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1 tan2A=2tanA/1-tanA2

5、注：SinA2 是sinA的平方 sin2A 三倍角公式 sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-) cos3=4coscos(/3+)cos(/3-) tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 帮助角公式 Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中 sint=B/(A2+B2)(1/2) cost=A/(A2+B2)(1/2) tant=B/A Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B 降幂公式 sin2()=

6、(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos2()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2) 推导公式 tan+cot=2/sin2 tan-cot=-2cot2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2 1+sin=(sin/2+cos/2)2 =2sina(1-sina)+(1-2sina)sina =3sina-4sina cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cosa-1)cosa-2(1-sina)cosa =4cosa-3cosa sin3a=3sina-4s

7、ina =4sina(3/4-sina) =4sina =4sina(sin60-sina) =4sina(sin60+sina)(sin60-sina) =4sina*2sincos*2sincos =4sinasin(60+a)sin(60-a) cos3a=4cosa-3cosa =4cosa(cosa-3/4) =4cosa =4cosa(cosa-cos30) =4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30) =4cosa*2coscos*-2sinsin =-4cosasin(a+30)sin(a-30) =-4cosasinsin =-4cosacos(60-a) =

8、4cosacos(60-a)cos(60+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a) 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin2(a/2)=(1-cos(a)/2 cos2(a/2)=(1+cos(a)/2 tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a) 学习方法网 三角和 sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(+)=coscosc

9、os-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan) 两角和差 cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) 和差化积 sin+sin = sin cos sin-sin = cos sin cos+cos = cos cos cos-cos = sin sin tanA+tanB=si

10、n(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差 sinsin = /2 coscos = /2 sincos = /2 cossin = /2 诱导公式 sin(-) = -sin cos(-) = cos tan (a)=-tan sin(/2-) = cos cos(/2-) = sin sin(/2+) = cos cos(/2+) = -sin sin(-) = sin cos(-) = -cos sin(+) = -sin cos(+) = -cos

11、tanA= sinA/cosA tan/2cot tan/2cot tantan tantan 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限 万能公式 sin=2tan(/2/1+tan(/2) cos=1-tan(/2)/1+tan(/2) tan=2tan(/2)/1-tan(/2) 其它公式 (1)(sin)2+(cos)2=1 (2)1+(tan)2=(sec)2 (3)1+(cot)2=(csc)2 证明下面两式,只需将一式,左右同除(sin)2,其次个除(cos)2即可 (4)对于随便非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=-C tan

12、(A+B)=tan(-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证 同样可以得证,当x+y+z=n(nZ)时,该关系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA2+(cosB2+(cosC2=1-2cosAcosBcosC (8)sinA2+s

13、inB2+sinC2=2+2cosAcosBcosC (9)sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos=0 以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 第三篇：中学数学-三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)= sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)= sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)= cosAcosB-sinAsinBcos(A

14、-B)= cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan2 A)Sin2A=2SinACosA Cos2A = Cos2 A-Sin2 A=2Cos2 A1=12sin2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3;cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a)半角公式 sin(A/2)= (1-cosA)/2cos(A/2)= (1+cos

15、A)/2 tan(A/2)= (1-cosA)/(1+cosA) tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)和差化积 sin(a)+sin(b)= 2sincossin(a)-sin(b)= 2cossincos(a)+cos(b)= 2coscoscos(a)-cos(b)=-2sinsin tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差 sin(a)sin(b)=-1/2*cos(a)cos(b)= 1/2*sin(a)cos(b)= 1/2* cos(a)sin(b)= 1/2* 诱导公式 sin(-a)=-sin(a)cos(-a)= c

16、os(a)sin(/2-a)= cos(a)cos(/2-a)= sin(a)sin(/2+a)= cos(a)cos(/2+a)=-sin(a)sin(-a)= sin(a)cos(-a)=-cos(a)sin(+a)=-sin(a)cos(+a)=-cos(a)tanA = sinA/cosA 万能公式 sin(a)= / 1+2 cos(a)= 1-2 / 1+2 tan(a)= /1-2 其它公式 asin(a)+bcos(a)= *sin(a+c)asin(a)-bcos(a)= *cos(a-c) 1+sin(a)= 2;1-sin(a)= 2;公式一： 设为随便角，终边相同的角的

17、同一三角函数的值相等： sin2k= sincos2k= costan2k= tan公式二： 设为随便角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin=-sincos=-costan= tan公式三： 随便角与-的三角函数值之间的关系：sin-=-sincos-= costan-=-tan公式四： 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系：sin-= sincos-=-costan-=-tan公式五： 利用公式-和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系：sin2-=-sincos2-= costan2-=-tan公式六： /2及3/2与的三角函数值之间的关系： sin/2+=

18、 coscos/2+=-sinsin/2-= coscos/2-= sinsin3/2+=-coscos3/2+= sinsin3/2-=-coscos3/2-=-sin 第四篇：中学数学-三角函数公式doc 中学数学三角函数公式大全 锐角三角函数公式 sin =的对边 / 斜边 cos =的邻边 / 斜边 tan =的对边 / 的邻边 cot =的邻边 / 的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1tan2A=2tanA/1-tanA2 注：SinA2 是sinA的平方 sin2A三倍角公式 sin3=4sins

19、in(/3+)sin(/3-) cos3=4coscos(/3+)cos(/3-) tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a)三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 帮助角公式 Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中sint=B/(A2+B2)(1/2) cost=A/(A2+B2)(1/2) tant=B/A Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B降幂公式 sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos2()=(1+cos(2)/2

20、=covers(2)/2tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2) 推导公式 tan+cot=2/sin2 tan-cot=-2cot2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2 1+sin=(sin/2+cos/2)2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 成都家教济南家教 =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-

21、4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina =4sina(sin²60-sin²a) =4sina(sin60+sina)(sin60-sina) =4sina*2sincos*2sincos=4sinasin(60+a)sin(60-a) cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa =4cosa(cos²a-cos²30) =4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30) =4cosa*2coscos*-2sinsin=-4cosasin

22、(a+30)sin(a-30) =-4cosasinsin =-4cosacos(60-a) =4cosacos(60-a)cos(60+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a) 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin2(a/2)=(1-cos(a)/2 cos2(a/2)=(1+cos(a)/2 tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a) 三角和 sin(+)=sincoscos+co

23、ssincos+coscossin-sinsinsincos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan) 两角和差 cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) 和差化积 sin+sin = 2 sin cos sin-sin = 2 cos sin cos

24、+cos = 2 cos cos cos-cos =-2 sin sin tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差 sinsin = /2 coscos = /2 sincos = /2 cossin = /2 诱导公式 sin(-)=-sin cos(-)= cos tan(a)=-tan sin(/2-)= cos cos(/2-)= sin sin(/2+)= cos cos(/2+)=-sin sin(-)= sin cos

25、(-)=-cos sin(+)=-sin cos(+)=-cos tanA= sinA/cosA tan/2cot tan/2cot tantan tantan 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限 万能公式 sin=2tan(/2/1+tan(/2) cos=1-tan(/2)/1+tan(/2) tan=2tan(/2)/1-tan(/2) 其它公式 (1)(sin)2+(cos)2=1 (2)1+(tan)2=(sec)2 (3)1+(cot)2=(csc)2 证明下面两式,只需将一式,左右同除(sin)2,其次个除(cos)2即可 (4)对于随便非直角三角形,总有 tanA+tan

26、B+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=-C tan(A+B)=tan(-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证 同样可以得证,当x+y+z=n(nZ)时,该关系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA2+(cosB2+

27、(cosC2=1-2cosAcosBcosC (8)sinA2+sinB2+sinC2=2+2cosAcosBcosC (9)sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos=0 以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 第五篇：三角函数变换公式 两角和公式 cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin(+)=sincos+

28、cossin sin(-)=sincos cossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)cot(+)=(cotcot-1)/(cot+cot)cot(-)=(cotcot+1)/(cot-cot)和差化积 sin+sin= 2sin cossin-sin= 2cos sincos+cos= 2cos coscos-cos=-2sin sintan+tan=sin(+)/coscos =tan(+)(1-tantan) tan-tan=sin(-)/coscos =tan(-)/(1+tantan) 积化和差 sinsi

29、n =- /2coscos = /2sincos = /2cossin = /2 锐角三角函数公式 正弦：sin =的对边/ 的斜边余弦：cos =的邻边/的斜边正切：tan =的对边/的邻边余切：cot =的邻边/的对边 同角三角函数的基本关系 tan= sin/ cos ；cot= cos/ sin；sec1 /cos ；csc1/ sin； 倒数关系: tan cot1sin csc1cos sec1商的关系： sin/costansec/csccos/sincotcsc/sec平方关系： sin2()cos2()11tan2()sec2()1cot2()csc2()二倍角公式： 正弦s

30、in2=2sincos 余弦cos2a=cos2(a)-sin2(a)=2Cos2(a)-1 =1-2Sin2(a) 正切tan2=2tan/1-tan2() 半角公式 tan(/2)=(1-cos)/sin=sin/(1+cos)cot(/2)=sin/(1-cos)=(1+cos)/sin.sin2(/2)=(1-cos()/2cos2(/2)=(1+cos()/2诱导公式 sin(-)=-sincos(-)= costan(-)=-tansin(/2-)= coscos(/2-)= sinsin(/2+)= coscos(/2+)=-sinsin(-)= sincos(-)=-cossi

31、n(+)=-sincos(+)=-costan/2cottan/2cot tantantantan 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限 万能公式 sin=2tan(/2)/ cos=/tan=2tan(/2)/三倍角公式 sin3= 3sin-4sin3 cos3=4cos3-3cos sin3=(3sin-sin3)/4 cos3=(3cos+cos3)/4 一个特殊公式sin+sin*sin-sin=sin+*sin-证明：sin+sin*sin-sin=2 sin cos *2 cos sin=sin+*sin-其它公式 (1)(sin)+(cos)=1(2)1+(tan)=(se

32、c)(3)1+(cot)=(csc) (4)对于随便非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证:A+B=-Ctan(A+B)=tan(-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=n(nZ)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)cosA+cosB+cosC=1-2cosAcosBcosC(8)sinA+sinB+sinC=2+2cosAcosBcosC