2023年高中数学定理汇总.docx

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1、2023年高中数学定理汇总 第一篇：2023年中学数学定理汇总 124推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 125切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 126圆的外切四边形的两组对边的和相等 127弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 128推论 假如两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 129相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 130推论 假如弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 131切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条

2、线段长的比例中项 132推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 133假如两个圆相切，那么切点确定在连心线上 134两圆外离 dr+r 两圆外切 d=r+r 两圆相交 r-rdr+r(rr) 两圆内切 d=r-r(rr)两圆内含dr-r(rr) 135定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 136定理 把圆分成n(n3): 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形137定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 138正n边形的每个内角都等于n-2

3、180/n 139定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形149正n边形的面积sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长 141正三角形面积3a²/4(a表示边长) 142假如在一个顶点四周有k个正n边形的角，由于这些角的和应为 360，因此k(n-2)180/n=360化为n-2(k-2)= 4143弧长计算公式：l=nr/180 144扇形面积公式：s扇形=nr2/360=lr/ 2145内公切线长= d-(r-r)外公切线长= d-(r+r) 146等腰三角形的两个底角相等 147等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合148假如一个三角形

4、的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 149三条边都相等的三角形叫做等边三角形 150两边的平方的和等于第三边的三角形是直角三角形 编辑本段数学归纳法 第一数学归纳法： 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤： 1证明当n取第一个值时命题成立 2假设当n=kkn的第一个值，k为自然数时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 二其次数学归纳法： 其次数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题，假如： 1当n=1回时，命题成立； 2假设当nk时命题成立，则当n=k+1时，命题也成立。 那么，命题对于一切自然数n来说都成立。 三螺旋归纳法： 螺旋归纳法是归纳法的一种变式，其结构如下

5、： Pi和Qi是两组命题，假如： P1成立 Pi成立=Qi成立 那么Pi,Qi对全部自然数i成立 利用第一数学归纳法简洁证明螺旋归纳法是正确的编辑本段排列，组合阶乘： n！=123n，n为不小于0的整数 规定0！=1。 排列 从n个不同元素中取m个元素的全部排列个数，An，m= n！/(nsinx (ex) = ex (ax) =(ax)* Inaln为自然对数 (Inx) = 1/xln为自然对数 X0 (log a x)=1/(xlna),(a0且a不等于1) (sinh(x)=cosh(x) (cosh(x)=sinh(x) (tanh(x)=sech2(x) (coth(x)=-csc

6、h2(x) (sech(x)=-sech(x)tanh(x) (csch(x)=-csch(x)coth(x) (arcsinh(x)=1/sqrt(x2+1) (arccosh(x)=1/sqrt(x2-1)(x1) (arctanh(x)=1/(1+x2)(|x|1) (chx)=shx,ch为双曲余弦函数 shx=chx:sh为双曲正弦函数 3导数的四则运算法则： (uv)=uv (uv)=uv+uv (u/v)=(uv-uv)/ v 24复合函数的导数 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数链式法则： d f/dx=d f/du*du/dx。

7、=fhx-fgx洛必达法则(LHospital)： 是在确定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。 设 (1)当xa时，函数f(x)及F(x)都趋于零 (2)在点a的去心邻域内，f(x)及F(x)都存在且F(x)0 (3)当xa时lim f(x)/F(x)存在(或为无穷大)，那么 xa时 lim f(x)/F(x)=lim f(x)/F(x)。 再设 (1)当x时，函数f(x)及F(x)都趋于零 (2)当|x|N时f(x)及F(x)都存在，且F(x)0 (3)当x时lim f(x)/F(x)存在(或为无穷大)，那么 x时 lim f(x)/F(x)=lim f(x)/F(x)

8、。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应留意： 在着手求极限以前，首先要检查是否满意0/0或/型，否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时不包括情形，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限。比方利用泰勒公式求解。 洛必达法则可连续多次运用，直到求出极限为止。 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是假如仅用洛必达法则，往往计算会特别繁琐，因此确定要与其他方法相结合，比方刚好将非零极限的乘积因子分别出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等。 曲率 K = lim(s0)|/s| 当曲线y=f(x)存在二阶导数时，K=|y|/(1+ y 2)(3/2); 曲

9、率半径R=1/K; 不定积分 设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的全部原函数F(x)+CC为随便常数叫做函数f(x)的不定积分。 记作f(x)dx。 其中叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。 由定义可知： 求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的全部的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上随便的常数C，就得到函数f(x)的不定积分。也可以表述成,积分是微分的逆运算，即知道了导函数,求原函数。 基本公式： 10dx=c; a dx=ax

10、+c; 2xudx=(xu+1)/(u+1)+c; 31/xdx=ln|x|+c 4)axdx=(ax)/lna+c 5exdx=ex+c 6sinxdx=-cosx+c 7cosxdx=sinx+c 81/(cosx)2dx=tanx+c 91/(sinx)2dx=-cotx+c 101/1-x2)dx=arcsinx+c 111/(1+x2)dx=arctanx+c 121/(a2-x2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c; 13secxdx=ln|secx+tanx|+c 141/(a2+x2)dx=1/a*arctan(x/a)+c 151/(a2-x2)dx=arc

11、sin(x/a)+c; 16)sec2 x dx=tanx+c; 17)shx dx=chx+c; 18)chx dx=shx+c; 19)thx dx=ln(chx)+c; 分部积分法: u(x)v(x)dx=u(x)d v(x)=u(x)v(x)-v(x)d u(x)=u(x)v(x)-u(x)v(x)dx.一元函数泰勒公式(Taylors formula) 泰勒中值定理：若f(x)在开区间a，b有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以绽开为一个关于x-x0)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+f(x0)/2!?(x-x0)2,+f(x0)/3!?

12、(x-x0)3+f的n阶导数?(x0)/n!?(x-x0)n+Rn 其中Rn=f(n+1)()/(n+1)!?(x-x0)(n+1)为拉格朗日型的余项，这里在x和x0之间。定积分 形式为f(x)dx(上限a写在上面，下限b写在下面)。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。 牛顿-莱布尼兹公式：若F(x)=f(x)，那么f(x)dx(上限a下限b)=F(a)-F(b) 牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。微分方程凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 假如在一个微分方

13、程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。 如 二阶常系数齐次线性微分方程y+py+qy=0的通解： 设特征方程r*r+p*r+q=0两根为r1，r2。若实根r1不等于r2 y=C1*e(r1x)+C2*e(r2x).若实根r=r1=r2 y=(C1+C2x)*e(rx)若有一对共轭复根 r1, 2=ib ： y=ex 一般分类 两点成一线，多线成面，多面成体，多体成界，多界成。圆柱体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长 (1)侧面积=底面周长高 (2)外表积=侧面积+底面积2 (3)体积=底面积高 4体积

14、=侧面积2半径 植树问题非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: 假如在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数=段数+1=全长株距1 全长=株距(株数1) 株距=全长(株数1) 假如在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数=段数=全长株距 全长=株距株数 株距=全长株数 假如在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数=段数1=全长株距1 全长=株距(株数+1) 株距=全长(株数+1)封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数=段数=全长株距 全长=株距株数 株距=全长株数 盈亏问题 (盈+亏)两次支配量之差=参加支配的份数 (大盈小盈)两次支配量之差=参加支配的份数(大亏小亏

15、)两次支配量之差=参加支配的份数相遇问题 相遇路程=速度和相遇时间 相遇时间=相遇路程速度和 速度和=相遇路程相遇时间 追及问题 追及距离=速度差追刚好间 追刚好间=追及距离速度差 速度差=追及距离追刚好间 流水问题 顺流速度=静水速度+水流速度 逆流速度=静水速度水流速度 静水速度=(顺流速度+逆流速度)2 水流速度=(顺流速度逆流速度)2 浓度问题 溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量 溶质的重量溶液的重量100%=浓度 溶液的重量浓度=溶质的重量 溶质的重量浓度=溶液的重量 利润与折扣问题 利润=售出价本钱 利润率=利润本钱100%=(售出价本钱1)100%涨跌金额=本金涨跌百分比 折扣=

16、实际售价原售价100%(折扣0) p 焦点：F,0 2 (x)=2x 2,11 =-2xx,(xa),=ax a-1 离心率：e=ca 准线：x=-p2 数列类： 等差：an=a1+(n-1)d a n = a m +(n-m)d S 1+ n )n = n(2 =n a +n(n-1)2 d m+n=p+q a m + a n = a p + aq 等比：an-1 n=a1q a n = a n-m m q S a11-n q = a1- anq n = 1-q1-q(q1) m+n=p+q am a n = ap aq 线性规划类： n nxn niyi-xi y ii=1(b=i=1 i

17、=1*)n2 nx2 ni-x ii=1i=1 a=y-bx nxiyi-nxy(x i -x)(yi-y) (*)b=i=1 n =n x2 x2i-n(x i -x ) i=1 i=1 a=y-bx 导数类： (kx+b),=kC,=0C为常数 x,=1 (ax),= a x lna(a0,且a1)(e x),= ex (log a x ),=1e xloga = 1xlna (a 0,且a1) (lnx),=(sinx),x =cosx (cosx),=-sinx f(x)g(x),=f,(x)g,(x) Cf(x),=Cf,(x)(C为常数) f(x)g(x),=f,(x)g(x)+f

18、(x)g,(x) f(x),f,(x)g(x)+f(x)g,(x) g(x) = g2 (x) (g(x)0) 复数： i =-1 a+bi=c+dia=c,b=d (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i (a+bi)(c+di)=(ac -bd)+(bc+ad)i x2+y =(x+yi)(x-yi) Z-a=r,以(a,0)为圆心，r为半径的圆 Z-(a+b)i=r,以(a,b)为圆心，r为半径的圆 w=1 3-2+ 2i =1 (1i)2 =2i1+w+w2 =0 ax +bx+c=0,( b2 -4ac0 ) x= -

19、b 4ac-b2 求根公式： i 2a 向量与向量模关系： Z1-Z2Z1-Z2Z1+Z2 Z1,Z2是二次方程的根，那么即Z1=a+bi,Z2=a+(-b)i Z1,Z2共轭。 等式与不等式： a+b=(a+b)a-ab+b () (a+c)2 2a ( +b ) a+ab+b b3b =a+ 24 (a+b+c)2 3a+b+c ( ) a+b2ab,a+b2 ab,a=b时取“= a+b2ab a+b+cab+bc+ac 222 平面几何类： 内心：三条角平分线的交点 到交边距离相等，为内切圆圆心外心：三条中垂线的交点外接圆的圆心垂心：三条高线的交点 重心：三条中线的交点 S三角形= 1

20、 pp-ap-bp-c注：p=(a+b+c) 2 角平分线：中 AD= ABAC =BDDC ： 线 2AB 长 +AC -BC 12a S扇形=pr=rl弧长 2p2 立体几何类： S直棱柱侧=ch ch,V柱体=V长方体=abc=Sh V球= pR S正棱锥侧=S正棱台侧= 1212，V椎体=V台体= 1313 Sh SS,S球= 4pR +S,(c+c)h hS+ () 公理1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在这个平面内。 公理2：假如两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。 公理3：经过不在同一条直线上的三点

21、，有且只有一个平面。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 定理1：假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 定理2：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。 点、线、平面垂直：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。 直线与平面平行的判定定理：假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 直线与平面平行的性质定理

22、：假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。 直线与平面垂直的判定定理：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 直线与平面垂直的性质定理：假如两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。 两个平面平行的判定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 两个平面平行的性质定理：假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行。 两个平面垂直的判定定理：假如一个平面经过；另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 两个平面垂直的性质定理：假如两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。