高级中学数学圆锥曲线结论(最完美版本.).doc

《高级中学数学圆锥曲线结论(最完美版本.).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高级中学数学圆锥曲线结论(最完美版本.).doc（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、椭椭 圆圆1. 点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P处的外角外角.2. PT 平分PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离相离.4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切内切.5. 若在椭圆上，则过000(,)P xy22221xy ab的椭圆的切线方程是.0P00 221x xy y ab6. 若在椭圆外 ，则过000(,)P xy22221xy abPo 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2， 则切点弦 P1P2的直线方程是.00 221x xy

2、y ab7. 椭圆 (ab0)的左右焦点分22221xy ab别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 ，则椭圆的焦点角形的面积12FPF为. . 122tan2F PFSb8. 椭圆椭圆（ab0）的焦半径公）的焦半径公22221xy ab式：式： ,( , 10|MFaex20|MFaex1(,0)Fc ).2( ,0)F c00(,)M xy9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F的椭圆准线于 M、N 两点，则MFNF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的

3、顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是椭圆的不平行于对称22221xy ab轴的弦，M为 AB 的中点，则),(00yx，22OMABbkka 即。0202yaxbKAB双曲线双曲线1. 点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的内角内角.2. PT 平分PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交相交.4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.

4、若在双曲线000(,)P xy（a0,b0）上，则过22221xy ab的双曲线的切线方程是0P.00 221x xy y ab6. 若在双曲线000(,)P xy（a0,b0）外 ，则过22221xy abPo 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是.00 221x xy y ab7. 双曲线（a0,bo）的22221xy ab左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为 双曲线上任意一点，则12FPF 双曲线的焦点角形的面积为. 122t2F PFSb co8. 双曲线双曲线（a0,bo）的）的22221xy ab焦半径公式：焦半径公式：( , 1(,0)Fc2(

5、 ,0)F c 当当在右支上时，在右支上时，00(,)M xy ,.10|MFexa20|MFexa 当当在左支上时，在左支上时，00(,)M xy ,10|MFexa 20|MFexa 9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于M、N 两点，则 MFNF.10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则MFNF.11. AB 是双曲线（a0,b0）的不平行22221xy ab于

6、对称轴的弦，M为 AB 的),(00yx中点，则，即0202yaxbKKABOM。0202yaxbKAB12. 若在双曲线000(,)P xy（a0,b0）内，则被22221xy abPo 所平分的中点弦的方程是.22 0000 2222x xy yxy abab13. 若在双曲线000(,)P xy（a0,b0）内，则过22221xy abPo 的弦中点的轨迹方程是.22 00 2222x xy yxy abab椭圆与双曲线的对偶椭圆与双曲线的对偶性质性质-椭椭 圆圆1. 椭圆（abo）的两个22221xy ab顶点为,，与 y 轴平1(,0)Aa2( ,0)A a 行的直线交椭圆于 P1、

7、P2时 A1P1 与 A2P2交点的轨迹方程是.22221xy ab2. 过椭圆 (a0, b0)上任22221xy ab一点任意作两条倾斜角互00(,)A xy 补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且（常数）.2 0 2 0BCb xka y3. 若 P 为椭圆（ab0）22221xy ab上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则12PFF21PF F.tant22accoac4. 设椭圆（ab0）的两22221xy ab个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记, 12FPF,，则有12PFF12FF P.sin sinsi

8、ncea 5. 若椭圆（ab0）的左、22221xy ab右焦点分别为 F1、F2，左准线为L，则当 0e时，可在椭21圆上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项.6. P 为椭圆（ab0）上22221xy ab任一点,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则,当且2112| | 2|aAFPAPFaAF仅当三点共线时，等号成立.2,A F P7. 椭圆与直线22 00 22()()1xxyy ab有公共点的充要条件0AxByC 是.22222 00()A aB bAxByC8. 已知椭圆（ab0） ，O22221xy ab为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动

9、点，且.OPOQ1);22221111 |OPOQab2) |OP|2+|OQ|2的最大值为;22224a b ab3)的最小值是.OPQS2222a b ab9. 过椭圆（ab0）的右22221xy ab焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则.| |2PFe MN10. 已知椭圆（ ab0）22221xy ab,A、B、是椭圆上的两点，线 段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点, 则.0(,0)P x22220ababxaa11. 设 P 点是椭圆（ 22221xy abab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，12FPF则1)

10、.2122|1 cosbPFPF2). 1 22tan2PF FSb12. 设 A、B 是椭圆（ 22221xy abab0）的长轴两端点，P 是椭 圆上的一点，, ,PABPBA ，c、e 分别是椭圆的半焦BPA 距离心率，则有(1).(2) 22222|cos|sabPAac co .(3) 2tantan1 e .22222cotPABa bSba13. 已知椭圆（ ab0）的22221xy ab右准线 与 x 轴相交于点，过椭lE圆右焦点的直线与椭圆相交于FA、B 两点,点在右准线 上，且Cl轴，则直线 AC 经过线段BCxEF 的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴

11、为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 椭圆与双曲线的对偶性椭圆与双曲线的对偶性 质质-双曲线双曲线1. 双曲线（a0,b0）22221xy ab的两个顶点为,，1(,0)Aa2( ,0)A a

12、与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是.22221xy ab2. 过双曲线（a0,bo）上任一22221xy ab点任意作两条倾斜角互00(,)A xy 补的直线交双曲线于 B,C 两点， 则直线 BC 有定向且（常数）.2 0 2 0BCb xka y 3. 若 P 为双曲线（a0,b0）右（或22221xy ab左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , 12PFF，则21PF F（或tant22cacoca）.tant22cacoca4. 设双曲线（a0,b0）的两个22221xy ab焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上

13、任意一点，在PF1F2中，记, 12FPF,，则有12PFF12FF P.sin (sinsin)cea 5. 若双曲线（a0,b0）的左、22221xy ab右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 1e时，可21在双曲线上求一点 P，使得PF1是 P 到对应准线距离 d 与PF2的比例中项.6. P 为双曲线（a0,b0）上任一22221xy ab点,F1,F2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则,当且仅当21| 2|AFaPAPF三点共线且和在2,A F PP2,A Fy 轴同侧时，等号成立.7. 双曲线（a0,b0）22221xy ab与直线有公共点0AxByC 的充要条件是.222

14、22A aB bC8. 已知双曲线（ba 22221xy ab0） ，O 为坐标原点，P、Q 为 双曲线上两动点，且.OPOQ（1）;22221111 |OPOQab（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;22224a b ba（3）的最小值是.OPQS2222a b ba 9. 过双曲线（a0,b0）的右焦22221xy ab点 F 作直线交该双曲线的右支 于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则.| |2PFe MN10. 已知双曲线（a0,b0）,A、B22221xy ab是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点, 则或0(,0)P x220abx

15、a.220abxa 11. 设 P 点是双曲线（a0,b0）上异于22221xy ab实轴端点的任一点,F1、F2为其 焦点记，则(1)12FPF.(2) 2122|1 cosbPFPF. 1 22cot2PF FSb12. 设 A、B 是双曲线（a0,b0）的长轴22221xy ab两端点，P 是双曲线上的一点， , PAB ,，c、e 分别PBABPA 是双曲线的半焦距离心率，则 有1).22222|cos|s|abPAac co 2).2tantan1 e 3).22222cotPABa bSba13. 已知双曲线（a0,b0）的右准22221xy ab线 与 x 轴相交于点，过双曲lE

16、线右焦点的直线与双曲线相F交于 A、B 两点,点在右准线C上，且轴，则直线 AClBCx经过线段 EF 的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.18.双曲线焦三角形中,半焦距必为

17、内、外点到双曲线中心的比例中项.圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解 题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手 段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则 固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握 一些方法和技巧。 一一. 紧扣定义，灵活解题紧扣定义，灵活解题 灵活运用定义，方法往往直接又明了。 例 1. 已知点 A（3，2） ，F（2，0） ，双曲线，P 为双曲线上一点。xy2231求的最小值。|PAPF1 2解析：如图所示，双曲线离心率为 2，F 为右焦点，由第二定律知即点 P 到准线距离。1 2|PF| | |PAPFPAPEAM1 25 2二二

18、. 引入参数，简捷明快引入参数，简捷明快 参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化 和加快问题的解决。 例 2. 求共焦点 F、共准线 的椭圆短轴端点l 的轨迹方程。解：取如图所示的坐标系，设点 F 到准 线 的距离为 p（定值） ，椭圆中心坐标为l M（t，0） （t 为参数），而 pb c2 ctbpcpt2再设椭圆短轴端点坐标为 P（x，y） ，则xctybpt 消去 t，得轨迹方程ypx2三三. 数形结合，直观显示数形结合，直观显示 将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥 “数”的严密性和“形”的直观性，以数促形， 用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽 象问题形象化。熟练的使用它，

19、常能巧妙地解决 许多貌似困难和麻烦的问题。 例 3. 已知，且满足方程x yR,，又，求 m 范围。xyy2230()my x 3 3解析：的几何意义为，曲线my x 3 3 上的点与点（3，3）连线xyy2230() 的斜率，如图所示kmkPAPB33 235 2m四四. 应用平几，一目了然应用平几，一目了然 用代数研究几何问题是解析几何的本质特征， 因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和 “平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用， 问题就会迎刃而解。 例 4. 已知圆和直线()xy3422的交点为 P、Q，则的值为ymx|OP OQ _。解：OMPOQN| |OP OQOM ON 5五五

20、. 应用平面向量，简化解题应用平面向量，简化解题 向量的坐标形式与解析几何有机融为一体， 因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工 具。例 5. 已知椭圆：，直线 ：xy2224161l，P 是 上一点，射线 OP 交椭圆于一xy 1281l点 R，点 Q 在 OP 上且满足，当| |OQ OPOR2点 P 在 上移动时，求点 Q 的轨迹方程。l分析：考生见到此题基本上用的都是解 析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用 向量共线的条件便可简便地解出。解：如图，共线，设OQOROP，则OROQOPOQOQxy ()，ORxy ()，OPxy ()，| |OQ OPOR2|OQOQ2222点

21、 R 在椭圆上，P 点在直线 上l，222224161xyxy 1281即xyxy222416128化简整理得点 Q 的轨迹方程为：（直线上()()xy1 5 21 5 3122 yx 2 3方部分）六六. 应用曲线系，事半功倍应用曲线系，事半功倍 利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半 功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重 要的解题方法和技巧之一。 例 6. 求经过两圆和xyx22640 的交点，且圆心在直线xyy226280上的圆的方程。xy40解：设所求圆的方程为：xyxxyy2222646280()()()()1166284022xyxy则圆心为，在直线() 3 13 1 ，上x

22、y40解得 7故所求的方程为xyxy227320七七. 巧用点差，简捷易行巧用点差，简捷易行 在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采 用点差法，此法比其它方法更简捷一些。 例 7. 过点 A（2，1）的直线与双曲线相交于两点 P1、P2，求线段 P1P2中xy2221点的轨迹方程。解：设，则P xy111()，P xy222()，xyxy12122222211212 得()()()()xxxxyyyy21122112 2即yy xxxx yy212112122 ()设 P1P2的中点为，则 M xy()00，kyy xxx yP P1 22121002 又，而 P1、A、M、P2共线ky xA

23、M 001 2，即中点kkP PAM1 2y xx y00001 22 P P12M 的轨迹方程是24022xyxy解析几何题怎么解解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 30 分左右, 考查的 知识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识 的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基 本知识,这点值得考生在复课时强化. 例

24、1 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点，AB=2、OT=t (0t1)，以 AB 为直腰作直角梯 形，使垂直且等于 AT，使垂直且等于 BT，交半圆于 P、Q 两点，建立如BBAAAA BB BA 图所示的直角坐标系. (1)写出直线的方程； （2）计算出点 P、Q 的坐标；BA（3）证明：由点 P 发出的光线，经 AB 反射后，反射光线通 过点 Q.讲解: 通过读图, 看出点的坐标.,BA(1 ) 显然, 于是 直线tA1 , 1，tB 11BA的方程为；1txy（2）由方程组解出、； , 1, 122txyyx),( 10P),(22211 12 tt ttQ （3）, .ttk

25、PT1 001tttttttttkQT1 111201122222 )(由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知，由点 P 发出的光线经点 T 反射，反射光线通 过点 Q.需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?例 2 已知直线 l 与椭圆有且仅有一个交点 Q，且与 x 轴、y 轴分别交于)0( 12222 baby axR、S，求以线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程讲解：从直线 所处的位置, 设出直线 的方程,ll由已知，直线 l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线 l 的方程为).0(kmkxy 代入椭圆方程 得 ，222222

26、bayaxb.)2(22222222bamkmxxkaxb化简后，得关于的一元二次方程 x. 02)(222222222bamamxkaxbka于是其判别式).(4)(4)2(222222222222222mbkababamabkamka 由已知，得=0即 .2222mbka在直线方程中，分别令 y=0，x=0，求得mkxy)., 0(),0 ,(mSkmR 令顶点 P 的坐标为（x，y） ， 由已知，得 .,.,ymxykmykmx 解得代入式并整理，得 , 即为所求顶点 P 的轨迹方程12222 yb xa方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?12222 yb xa例 3 已知双曲

27、线的离心率，过的直线到原点的距离是12222 by ax 332e), 0(),0 ,(bBaA.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线交双曲线于不同的点 C，D 且 C，D 都在以 B 为圆心的圆上，求 k)0(5kkxy的值.讲解：（1）原点到直线 AB：的距离.,332ac1by ax.3, 1.2322abcab baabd故所求双曲线方程为 .1322 yx（2）把中消去 y，整理得 .33522yxkxy代入07830)31 (22kxxk设的中点是，则CDyxDyxC),(),(2211),(00yxE012 00022 0115515,.21313BEyxxkxykxkkkx

28、k 即, 000kkyx7,0,0315 31152 22kkkkk kk又故所求 k=. 为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程.7kk例 4 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点 F1、F2在 x 轴上，点 P 为椭圆上的一个动点，且F1PF2 的最大值为 90，直线 l 过左焦点 F1与椭圆交于 A、B 两点，ABF2的面积最大值为 12（1）求椭圆 C 的离心率； （2）求椭圆 C 的方程讲解：（1）设, 对 由余弦定理, 得112212|,|,| 2PFrPFrFFc,21FPF，1 )2(2441244 242)( 24cos221222122212 212 212122

29、21 1 21rrca rrca rrcrrrr rrcrrPFF0212e解出 .22e（2）考虑直线 的斜率的存在性，可分两种情况：li) 当 k 存在时，设 l 的方程为)(cxky椭圆方程为 由 得 .),(),(, 122112222 yxByxAby ax.22e2222,2cbca于是椭圆方程可转化为 222220xyc将代入，消去得 ,y02)(22222ccxkx 整理为的一元二次方程，得 .x0) 1(24)21 (22222kcxckxk则 x1、x2是上述方程的两根且，221221122|kkcxx22122 21)1 (22|1|kkcxxkABAB 边上的高, 1|

30、2sin| 22121kkcFBFFFh c kk kkcS2 1|)211(2221222224 2222 224421|12 22 22 22.1121444kkkkcccckkk kkii) 当 k 不存在时，把直线代入椭圆方程得 cx221,|2 ,2222yc ABc Scc 由知 S 的最大值为 由题意得=12 所以 22c22c2226bc2122a故当ABF2面积最大时椭圆的方程为： . 12621222 yx下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为：cmyx （这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）椭圆的方程为：),(),(, 12

31、2112222 yxByxAby ax由得：于是椭圆方程可化为：.22e,22222cbca022222cyx把代入并整理得：02)2(222cmcyym 于是是上述方程的两根.21, yy,222 121221|()()1|ABxxyymyy 2)2(44122222 2 mmccmm2)1 (2222mmcAB 边上的高,212mch 从而 22 2222)2(122 12 2)1 (22 21|21 mmc mc mmchABS.2 21111222222cmmc 当且仅当 m=0 取等号，即.22 maxcS由题意知, 于是 .1222c212,26222acb故当ABF2面积最大时椭

32、圆的方程为： . 12621222 yx例 5 已知直线与椭圆相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在1xy)0( 12222 baby ax直线上.（）求此椭圆的离心率；02:yxl（2 ）若椭圆的右焦点关于直线 的对称点的在圆上，求此椭圆的方程.l422 yx也可这样求解：|212121yyFFS|21xxkc讲解:（1）设 A、B 两点的坐标分别为 得 11 ).,(),(22222211 by axxy yxByxA， 则由, 02)(2222222baaxaxba根据韦达定理，得 ,22)(,2222212122221babxxyybaaxx线段 AB 的中点坐标为（）. 222

33、222 ,bab baa 由已知得，故椭圆的离心率为 . 222222 222222 2)(22, 02cacababab baa22e（2）由（1）知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为, cb ),0 ,(bF)0 ,(bF02:yxl解得 , 02221210),(0000 00ybx bxyyx且则bybx54 5300且由已知得 ，故所求的椭圆方程为 .4, 4)54()53(, 42222 02 0bbbyx14822 yx例 6 已知M：轴上的动点，QA，QB 分别切M 于 A，B 两点，xQyx是, 1)2(22（1）如果，求直线 MQ 的方程；（2）求动弦 AB 的中

34、324|AB点 P 的轨迹方程.讲解:（1）由，可得324|AB由射影定理，得 ,31)322(1)2|(|2222ABMAMP, 3|,|2MQMQMPMB得在 RtMOQ 中，故，523|2222MOMQOQ55aa或所以直线 AB 方程是; 0525205252yxyx或（2）连接 MB，MQ，设由点 M，P，Q 在一直),0 ,(),(aQyxP线上，得(*),22 xy a由射影定理得即 |,|2MQMPMB(*), 14)2(222ayx把（*）及（*）消去 a，并注意到，可得2y).2(161)47(22yyx适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥

35、妙.例 7 如图，在 RtABC 中，CBA=90，AB=2，AC=。DOAB 于 O 点，22OA=OB，DO=2，曲线 E 过 C 点，动点 P 在 E 上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变. （1）建立适当的坐标系，求曲线 E 的方程；（2）过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点 M、N 且 M 在 D、N 之间，设，试确定DNDM实数的取值范围 讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y=动点 P 的轨迹是椭圆22)22(22222曲线 E 的方程是 .2,1,1abc1222 yx（2）设直线 L 的

36、方程为 , 代入曲线 E 的方程2 kxy，得设 M1（, 则2222yx068) 12(22kxxk),(),221, 1yxNyx.126,128, 06) 12(4)8(2212212kxxkkxxkki) L 与 y 轴重合时， 31 |DNDMii) L 与 y 轴不重合时， 由得 又,.232k21 xx xxxx DNDMNDMD 或 01 , 012 xx, 012 xx212)(1221212 21 xx xx xxxx)12(332 ) 12(664)(222212 2kkk xxxx而 , ,232k. 8)12(362k,316)12(33242 k316214,的取值

37、范围是 . 31012. 131,3101, 21, 10 1 ,31A O BC值得读者注意的是，直线 L 与 y 轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕. 例 8 直线 过抛物线的焦点，且与抛物线相交于 A两点.l)0(22ppxy),(),(2211yxByx和（1）求证：;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦 CD，直线 l 不是 CD 的垂2 214pxx直平分线.讲解: （1）易求得抛物线的焦点. 若 lx 轴，则 l 的方程为.若 l 不垂直于)0 ,2(PF4,2221PxxPx显然x 轴，可设,代入抛物线方程整理得. 综上可知 .)2(Pxky4, 04)21 (221222PxxPxkPPx则2 214pxx（2）设，则 CD 的垂直平分线的方程为dcdpdDcpcC且),2(),2(22l)4(2222pdcxpdcdcy假设过 F，则整理得 l)42(22022pdcp pdcdc0)2)(222dcpdc0p，. 这时的方程为 y=0，从而与抛物线只相交于原点. 而 l 与02222dcp0dcl lpxy22抛物线有两个不同的交点，因此与 l 不重合，l 不是 CD 的垂直平分线.l此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！