2023年高数期末复习总结.docx

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1、2023年高数期末复习总结 第一篇：高数期末复习总结 高数期末复习 定积分 1、变上限定积分求导数 dxf(t)dtdxa，2、定积分的计算牛顿莱布尼兹公式用到不定积分主要公式tdt、1dt、edt、tat，sintdt、costdt，凑微分法 3、对称区间奇偶函数的定积分，4、定积分的几何意义，5、a0，+a1dxxa收敛、发散的充要条件，6、定积分应用：求平面曲线所围成图形的面积，已知边际收益，求平均收益。 多元函数 1、求已知多元函数的偏导数及全微分，2、半抽象函数的一阶偏导数，3、求一个已知二元函数的极值，4、直角坐标系下f(x,y)dxdy的计算及交换 D二次积分的依次。 微分方程

2、1、一阶微分方程，2、可分别变量微分方程求解，3、一阶线性非齐次微分方程的求解公式法、常数变易法。 无穷级数 记住e、sinx、cosx绽开式，并理解绽开式中的x可以换元。 线性代数部分 1、计算行列式，2、矩阵乘法，3、利用行变换求矩阵的秩，4、方阵可逆的充要条件，矩阵可逆时求逆矩阵，5、非齐次线性方程组AX=B无解、有解、有唯一解、有无穷多解的充要条件，一个具体的线性方程组的求解，6、求一般二阶方阵和特殊三阶方阵对角矩阵、上三角形矩阵、下三角形矩阵的特征值及特征向量。xmnn1m1 其次篇：期末高数复习 期末高数复习重点： 一 求极限 1.等价无穷小的代换; 2.洛必达法则; 3.两个重要

3、极限;lim(1-1/x)x=1/e 二求导，求微分 1.复合函数; 2.隐函数； 3.参数函数； 4.求切线，法线方程； 5.反三角函数：sin y=xy=arcsin x 三函数连续性质 1.连续的定义；左右连续 2.分段函数，分段点处的连续性：求函数的间断点及类型 3.闭区间连续函数的性质：零点定理，介值定理 四求函数的单调性，凹凸区间和拐点 五中值定理闭区间开区间连续可导 课本重点复习章节： 第一章 函数与极限 第五节 极限运算法则 无穷小因子分出法 P47例5-例7;消去零因子法P46例3；通分化简 第六节 极限存在法则；两个重要极限 P58：例7可用洛必达法则求； 求幂指函数的极限

4、：如例8 第七节 无穷小的比较 几个重要等价无穷小的代换 第八节 函数的连续性 证明函数的连续性;求函数的间断点及类型，特别是可去间断点 第九节 闭区间上连续函数的性质 中值定理和介值定理 其次章 导数与微分 第三节 复合函数的求导法则 第五节 隐函数的导数以及参数方程所确定的函数的导数 对数求导法 P116 例5，例6； 参数求导 第三章 中值定理与导数的应用 第一节 中值定理 其次节 洛必达法则 各种未定式类型求极限 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 单调性和驻点；凹凸性和拐点；不行导点 第三篇：高数期末复习题 重点：会求多元函数的定义域、极限、偏导数留意复合函数链式法、全微分；会推断二

5、元函数的极限有不存在、多元函数的连续、可偏导、可微分的必要条件与充分条件；会求多元函数的极值特别是条件极值、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线向量以及方向导数及方向余弦。 一、单项选择题 1设f(x,y)在(x0,y0)点的偏导数存在，则fx(x0,y0)=。 Alimf(x0+Dx,y0+Dy)-f(x0,y0)f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0)lim Dx0Dx0DxDx f(x,y)-f(x0,y0)f(x,y)-f(x0,y0)limlim xx0xx0x-x0x-x0yy0 2函数f(x,y)在(x,y)=(x0,y0)处可微是在该处连续的条件.A.充分B.必要C.充分必要

6、D.无关的3设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0,则().(x0,y0)为极值点B.(x0,y0)为驻点 C.f(x,y)在(x0,y0)有定义D.(x0,y0)为连续点 4设f(x,y)在(x0,y0)处偏导数存在,则f(x,y)在该点().极限存在B.连续C.可微D.以上结论均不成 5.若函数f(x, y)在点(xo,yo)处不连续，则()。 Alimf(x, y)必不存在；Bf(xo,yo)必不存在； xxoyyo Cf(x, y)在点(xo,yo)必不行微；Dfx(xo,yo)、fy(xo,yo)必不存6.fx(x0,y0)和fy(x0,y0)存在是函数f(x,y)在点(x0,

7、y0)连续的 A必要非充分条件；B充分非必要条件； C充分且必要条件；D既非充分又非必要条件。 7考虑二元函数f(x, y)的下面4 条性质： 函数f(x, y)在点(xo,yo)处连续； 函数f(x, y)在点(xo,yo)处两个偏导数连续；函数f(x, y)在点(xo,yo)处可微； 函数f(x, y)在点(xo,yo)处两个偏导数存在。则下面结论正确的选项是。 ABCD。8以下极限存在的为 x2x11AlimBlimClimDlimxsin x0x+yx0x+yx0x+yx0x+yy0 y0 y0 y0 x2y 9二元函数极限lim为。 (x,y)(0,0)x4+y 2A0B;C2D不存

8、在 10设f(x,y)=xyex，则fx(1,x)=。 A0BeCe(x+1)D 1+ex 11函数z=Ln(x3+y3)在1，1处的全微分dz=。 A.dx+dyB.2(dx+dy)C.3(dx+dy)D.(dx+dy) 2z 12设z=esin3y，则。= xy 2x Ae2xsin3yBe2x+e2xsin3yC6e2xcos3yD-6e2xsin3y 13设y-xey=0,则 dy =()。dx eyey1-xeyxey-1AB.C.D.xey-11-xeyeyey 14设函数z=f(x,y)在点0，0的某邻域内有定义，且fx(0,0)=3，fy(0,0)=-1，则有 Adz(0,0)

9、=3dx-dy B曲面z=f(x,y)在点(0,0,f(0,0)的一个法向量为(3,-1,1) C曲线 z=f(x,y) 在点(0,0,f(0,0)的一个切向量为(1,0,3) y=0 z=f(x,y)D曲线在点(0,0,f(0,0)的一个切向量为(3,0,1) y=0 15设函数 f(x,y)=x+8y-6xy+5，则f(x,y)(D)。A在(0,0)点有微小值B没有极值 C在(0,0)点有极大值D在1，16函数f(x,y)=4(x-y)-x2-y2的极值为。点有微小值2 A极大值为8B微小值为0C微小值为8D极大值为0 17.函数z=2x+y在点(1，2)沿各方向的方向导数的最大值为。A3

10、BC 0D 5二、填空题 1函数z=ln(1-x)+ y-x2+x+y-1的定义域是_。 2极限lim sinxy = 。 x2yy0 lim 3二元函数的极限 (x,y)(0,0) (x2+y2)cos =。2 2xy 4设z=e x2y，则dz=。 5设函数z=z(x,y)由方程sinx+2y-z=ez所确定，则 z = _。x 6设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义, 且fx(0,0)=3,fy(0,0)=-1, 则曲线z=f(x,y),在点(0,0,f(0,0)的一个法平面为。 x=0 7设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义, 且fx(0,0)=2,fy(0,0

11、)=-5, 则曲线 z=f(x,y),在点(0,0,f(0,0)处的切线方程为。 x=0 8.若曲面z=4-x2-y2上点P的切平面平行于2x+2y+z=1,则点P的坐标为9旋转抛物面z=x+y-1在点2，1，4处的切平面方程为 10曲面z=e x2y +2xy-3在点(1, 0, -2)处的切平面方程为_。 11.曲面 z=x+y-3上点,2，处的单位切向量为_ 12求曲线 x=t,y=t2,z=t3在t=1时的点的切线方程_。 13函数u=ln(xy-z)+2yz在点(1,3,1)处沿方向l=(1,1,-1)的方向导数 u =。l 14u=xyz在点M(5,1,2)处沿点5，1，2到点9，

12、4，14的方向的方向导数为。 三、解答题 1 计算极限：。 (x,y)(0,0)lim (x,y)(0,0)lim (1,1) 计算极限： 3设函数z=z(x,y)由方程2xz=2xyz-ln(xyz)所确定，求dz4设z=eusinv，而u=xy，v=x+y求。 zz和xy zz2zx 5设函数z=z(x,y)由方程=ln所确定，求。,zxxyy y22z 6设z=f(2xy,),f具有二阶连续偏导数，求。 xxy 7设函数u=(xy)z，求du (1,2,1)。 8设x,y均是z的函数,且 x+y+z=0dxdy,。，求22 2dzdzx+y+z=1 8已知两点A2，2，2和B1，3，0，

13、求向量的模、方向余弦和方向角 9求函数z=xy-x2+11y-y3的极值点和极值。10求曲线x2+y2+z2=6,x+y+z=0在点(1,-2,1)处的切线及法平面方程。11求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值 12将一个正数a分为三个正数x,y,z之和，当x,y,z为何值时它们的乘积xyz最大.13求函数z=x+y+1在y=1-x下的极值。 14求曲面z=x+y与平面x+y-2z=2之间的最短距离。15求外表积为a而体积最大的长方体。 17求二元函数f(x,y)=x+xy-x-y在以O(0,0),A(1,0),B(1,2),E(0,2)为顶点的闭 222 矩形区域D上的

14、最大值和最小值。 19某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告，据统计资料，销售收入R万元与电台广告费x(万元)及报纸广告费y(万元)之间有如下阅历公式：。R(x,y)=15+14x+32y-8xy-2x2-10y2，求最优广告策略利润收入本钱 四、证明题 x2y2 1 证明极限lim不存在。 (x,y)(0,0)x2y2+(x-y)2 2证明极限lim(1+ x+y+ 1)x x2x+y 不存在。 xy,x2+y2022 3.设函数f(x,y)=x+y，证明：函数在0，0点不连续。 0,x2+y2=0 4设z=x+ y)，求证x zz1+y=。xy2 5设z=xy+yF(u)，而u=

15、 xzz，F(u)为可导函数，证明x+y=z+xy yxy zz +b=1。xy 6设f为可微函数，且x-az=f(y-bz)，证明：a 2u2u2u 7函数u=(x+y+z),证明：2+2+2=0。 xyz 2- 8证明：曲面xyz=c3(c0)上随便点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为确定值. 第四篇：上册高数复习必备 第一章： 1、极限 2、连续学会用定义证明一个函数连续，推断间断点类型 其次章： 1、导数学会用定义证明一个函数是否可导注：连续不愿定可导，可导确定连续 2、求导法则背 3、求导公式 也可以是微分公式 第三章： 1、微分中值定理确定要熟识并灵敏运用-第一节 2、洛必达法

16、则 3、泰勒公式 拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值中学学过，不需要过多复习 5、曲率公式 曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分： 1、两类换元法 2、分部积分法留意加C 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章： 定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线两直线的夹角、线面夹角、求直线方程 3、空间平面 4、空间旋转面柱面 高数解题技巧。高等数学、考研数学通用 高数解题的四种思维定势 第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一，把f(x)在指定点展成泰勒公式再

17、说。 其次句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 第三句话：在题设条件中函数f(x)在上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)f(b)=0，则“不管三七二十一先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一先做变量替换使之成为简洁形式f(u)再说。 第五篇：高数复习要点 高数上册期末复习要点 第一章： 1、极限夹逼准则 2、连续学会用定义证明一个函数连续，推断间断点类型 其次章： 1、导数学会用定义证明一个函数是否可导注：连续不愿定可导，可导确定连续 2、求导法则背 3、求导公式也可以是微分公式 第三章： 1、微分中值定理确定要熟识并灵敏运用-第一节 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值中学学过，不需要过多复习 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分： 1、两类换元法 2、分部积分法留意加C 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章： 定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线两直线的夹角、线面夹角、求直线方程 3、空间平面 4、空间旋转面柱面