历届全国大学生数学竞赛真命题及其答案非数学类.doc

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1、高数竞赛预赛试题（非数学类）高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。 ）2009 年年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题一、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分）1计算_，其中区域由直线与 yxyxxyyxDdd1)1ln()( D1 yx两坐标轴所围成三角形区域.解: 令，则，vxuyx,vuyvx ,vuvuyxdddd1110detdd vuuvuuuyxyxxyyxDDdd1lnlndd1)1ln()( 1021000d1)ln

2、( 1lnd)dln1d1ln(uuuuuu uuuuvvuuvuuuuu（*）102 d1uuu令，则ut121tu，dt2dtu42221ttu)1)(1 ()1 (2tttuu 0142d)21(2(*)ttt1042d)21 (2ttt1516 51 3221053 ttt2设是连续函数，且满足, 则_.)(xf2022d)(3)(xxfxxf)(xf解: 令，则，20d)(xxfA23)(2Axxf,AAxAxA24)2(28d)23(202解得。因此。34A3103)(2 xxf3曲面平行平面的切平面方程是_.2222 yxz022zyx解: 因平面的法向量为，而曲面在022zyx

3、) 1, 2 , 2(2222 yxz处的法向量为，故),(00yx) 1),(),(0000yxzyxzyx与平行，因此，由，知) 1),(),(0000yxzyxzyx) 1, 2 , 2(xzxyzy2，0000002),(2 ,),(2yyxzxyxzyx即，又，于是曲面在1, 200yx5) 1 , 2(),(00 zyxz022zyx处的切平面方程是，即曲面 ),(,(0000yxzyx0)5() 1(2)2(2zyx平行平面2222 yxz的切平面方程是。022zyx0122zyx4设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则)(xyy 29ln)(yyfexef1 f_.22dd

4、 xy解: 方程的两边对求导，得29ln)(yyfexex29ln)()()(yeeyyf xeyyfyf因，故，即，因此)(29lnyfyxeeyyyfx)(1 )(1 (1 yfxy2222)(1 )( )(1 (1 dd yfxyyf yfxyxy 322232)(1 )(1 )( )(1 (1 )(1 )( yfxyfyf yfxyfxyf 二、二、 （5 分）分）求极限求极限，其中，其中是给定的正整数是给定的正整数.xenxxxxneee)(lim20n解 :因xenxxxxxenxxxxnneee neee)1 (lim)(lim2020故nxneeeexe nneeeAnxxxx

5、nxxxx2020limlimen nnenneeeenxxxx21212lim20 因此en Axenxxxxeeneee2120)(lim三、三、 （15 分）分）设函数设函数连续，连续，且，且，为常数，求为常数，求)(xf10d)()(txtfxgAxxfx )(lim 0A并讨论并讨论在在处的连续性处的连续性.)(xg)(xg0x解 : 由和函数连续知，Axxfx )(lim 0)(xf0)(limlim)(lim)0( 000 xxfxxff xxx因，故，10d)()(txtfxg0)0(d)0()0(10ftfg因此，当时，故0xxuufxxg 0d)(1)(0)0(1)(lim

6、d)( lim)(lim 0000 fxf xuuf xg xxxx当时，0x，xxfuufxxgx)(d)(1)( 02200000d)( limd)(1lim)0()(lim)0(xttfxttfx xgxggxxxxx22)(lim 0A xxfx 22d)(1lim)(lim)(d)(1lim)(lim 02000200AAAuufxxxf xxfuufxxgxxxxxx这表明在处连续.)(xg0x四、四、 （15 分）分）已知平面区域已知平面区域，为为的正向边界，试的正向边界，试0,0| ),(yxyxDLD证：证：（1）；LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsi

7、nsin（2）.2sinsin 25ddLyyxyeyxe证 :因被积函数的偏导数连续在上连续，故由格林公式知D（1）yxyeyxexxyeyxeDxyLxydd)()(ddsinsinsinsin yxeeDxydd )(sinsinLxyxyeyxeddsinsinyxyeyxexDxydd)()(sinsin yxeeDxydd )(sinsin而关于和是对称的，即知DxyyxeeDxydd )(sinsinyxeeDxydd )(sinsin因此LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin（2）因)1 (2)! 4! 21 (2242 ttteett故22cos

8、5 22cos12sin22sinsinxxxeexx由 DxyLDxyyyyxeeyxeexyeyxedd)(dd )(ddsinsinsinsinsinsin知DxyLDxyyyyxeeyxeexyeyxedd)(21dd )(21ddsinsinsinsinsinsinDxxDxxDyyyxeeyxeeyxeedd)(dd)(21dd )(21sinsinsinsinsinsin200sinsin 25d22cos5d)(xxxeexx即 2sinsin 25ddLyyxyeyxe五、五、 （10 分）分）已知已知，是某二阶常系数是某二阶常系数xxexey2 1xxexey2xxxeex

9、ey2 3线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解 设，是二阶常系数线性非齐xxexey2 1xxexey2xxxeexey2 3次微分方程 )(xfcyyby 的三个解，则和都是二阶常系数线性齐次微分方程xxeeyy2 12xeyy13 0 cyyby的解，因此的特征多项式是，而的0 cyyby0) 1)(2(0 cyyby特征多项式是02cb因此二阶常系数线性齐次微分方程为，由和02 yyy)(2111xfyyy ，xxxexeey2 12xxxexeey2 142 知，1112)(yyyxf )(2)2(42222xxxxxxxxexeee

10、xeeexexex)21 ( 二阶常系数线性非齐次微分方程为xxxeeyyy22 六、六、 （10 分）分）设抛物线设抛物线过原点过原点.当当时时,又已知该抛物线又已知该抛物线cbxaxyln2210 x0y与与轴及直线轴及直线所围图形的面积为所围图形的面积为.试确定试确定,使此图形绕使此图形绕轴旋转一周而成的旋轴旋转一周而成的旋x1x31cba,x转体的体积最小转体的体积最小.解 因抛物线过原点，故，于是cbxaxyln221c2323dt)(311023102baxbxabxax 即)1 (32ab而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积x10221022dt)1 (32(dt)()(xaa

11、xbxaxaV10221031042dt)1 (94dt)1 (34dtxaxaaxa22)1 (274)1 (31 51aaaa即22)1 (274)1 (31 51)(aaaaaV令，0)1 (278)21 (31 52)(aaaaV得 04040904554aaa即 054a因此,.45a23b1c七、七、 （15 分）分）已知已知满足满足, 且且, 求函数项求函数项)(xun), 2 , 1()()(1nexxuxuxn nnneun) 1 (级数级数之和之和.1)(nnxu解 ，xn nnexxuxu1)()(即xnexyy1由一阶线性非齐次微分方程公式知)d(1xxCeynx即)(

12、nxCeyn x因此)()(nxCexun x n由知，)1() 1 (nCeune n0C于是nexxuxnn)(下面求级数的和：令11)()(nxnnnnexxuxS则xexSexxSnexexxSxnxnnxn xn 1)()()()(1111即xexSxSx1)()(由一阶线性非齐次微分方程公式知)d11()(xxCexSx令，得，因此级数的和0xCS)0(01)(nnxu)1ln()(xexSx八、八、 （10 分）分）求求时时, 与与等价的无穷大量等价的无穷大量.1x02nnx解 令，则因当，时，故2)(txtf10 x(0,)t2( )2ln0tf ttxx在上严格单调减。因此x

13、ttextf1ln22)(0,)1010001( )d( )d( )(0)( )d1( )dnnnnnnnf ttf ttf nff ttf tt 即， 000( )d( )1( )dnf ttf nf tt 又，200( )nnnf nx111lim11ln lim 11 x xxxx，21ln1d1ln1ddd)( 001ln00222xtextetxttftxtt所以，当时, 与等价的无穷大量是。1x02nnxx1212010 年年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是

14、一些各大高校的试题。 ）一、一、 （25 分，每小题分，每小题 5 分）分）（1）设其中求22(1)(1)(1),nnxaaa| 1,a lim.nnx （2）求。21lim1x xxex（3）设，求。0s 0(1,2,)sxnIex dx n（4）设函数有二阶连续导数，求。( )f t221, ( , )rxyg x yfr2222gg xy（5）求直线与直线的距离。10:0xylz 2213:421xyzl解：（1）=22(1)(1)(1)nnxaaa22(1)(1)(1)(1)/(1)nnxaaaaa=222(1)(1)(1)/(1)naaaa12(1)/(1)naa12limlim(1

15、)/(1)1/(1)nnnnxaaa(2) 22211ln(1)ln(1)1lim1limlimxxxexxxxxxxxeeex令 x=1/t,则原式=21(ln(1)1/(1) 11 2(1)22000limlimlimttt tttttteeee（3）00001 12021011()()|(1)!sxnnsxnsxsxn nsxn nnnnIex dxx dex eedxss nnn nnnexdxIIIsssss 二、二、 （15 分）设函数分）设函数在在上具有二阶导数，并且上具有二阶导数，并且( )f x(,) 且存在一点且存在一点，使得，使得。( )0, lim( )0, lim(

16、)0, xxfxfxfx 0x0()0f x证明：方程证明：方程在在恰有两个实根。恰有两个实根。( )0f x (,) 解： 二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为 f(x)有小于 0 的值，所以只需 在两边找两大于 0 的值。 将 f(x)二阶泰勒展开： 2( )( )(0)(0)2ff xffxx因为二阶倒数大于 0，所以，lim( ) xf x lim( ) xf x 证明完成。三、三、 （15 分）设函数分）设函数由参数方程由参数方程所确定，其中所确定，其中具有二阶具有二阶( )yf x22(1)( )xtttyt ( ) t导数，曲线导数，曲线与与在在出相切，求函数出相

17、切，求函数。( )yt2213 2tuyedue1t ( ) t解：（这儿少了一个条件）由与在出相切得22d y dx( )yt2213 2tuyedue1t ，3(1)2e2(1)e/ /( ) 22dydy dt dxdx dtt t=。 。 。22d y dx3( )(2(/)(/)/ /(22 )2 )2( )d dy dxd dy dxdt dxdx dtttt t上式可以得到一个微分方程，求解即可。四、四、 （15 分）设分）设证明：证明：10,nnnk kaSa（1）当）当时，级数时，级数收敛；收敛；11nnna S（2）当）当且且时，级数时，级数发散发散。1()nsn 1nnn

18、a S解：（1）0, 单调递增nans当收敛时，而收敛，所以收敛；1n na 1nnnaa ss1na snna s当发散时，1n nalimnns 111nnnnssnnnssnnnassdxdx sssx所以，11111211nnnssnssnnnaaadxdx ssxsx而，收敛于 k。1111 111111lim11nsnsnssaasdxkxss所以，收敛。1nnna s（2）limnns 所以发散，所以存在，使得1n na1k11 2kn naa于是，11112221 2kkkn nnnnkaaa sss依此类推，可得存在121.kk使得成立，所以11 2iik nkna s 11

19、 2Nk nnaNs当时，所以发散n N 1nnna s五、五、 （15 分）设分）设 是过原点、方向为是过原点、方向为， （其中（其中的直线，均匀椭球的直线，均匀椭球l( , ) 2221)，其中（，其中（密度为密度为 1）绕）绕 旋转。旋转。2222221xyz abc0,cbal（1）求其转动惯量；）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。的最大值和最小值。( , ) 解： （1）椭球上一点 P(x,y,z)到直线的距离2222222(1)(1)(1)222dxyzxyyzzx0xydVyzdVzxdV2222222 2223 214(1)15cc

20、cc xyzabczz dVz dzdxdyabz dzabcc 由轮换对称性，232344,1515x dVa bcy dVab c2232323444(1)(1)(1)151515Id dVa bcab cabc2222224(1)(1)(1)15abcabc（2）abc当时，122 max4()15Iabc ab当时，122 min4()15Iabc bc六、六、(15 分分)设函数设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲上，曲( )xC线积分线积分的值为常数。的值为常数。422( )cxydxx dy xy :（1）设

21、）设为正向闭曲线为正向闭曲线证明证明L22(2)1,xy422( )0;cxydxx dy xy :（2）求函数）求函数；( )x（3）设）设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求。C422( )cxydxx dy xy :解：（1）L 不绕原点，在 L 上取两点 A，B，将 L 分为两段，再从 A，B 作一曲线1L2L，使之包围原点。3L则有13234242422( )2( )2( )LLLLLxydxx dyxydxx dyxydxx dy xyxyxy:（2）令42422( ),xyxPQxyxy由（1）知，代入可得0QP xy42352( )()( )42

22、2x xyxxxxy上式将两边看做 y 的多项式，整理得24325( )( )( )4( 2 )2yxx xxxyxx由此可得( )2xx 435( )( )42x xxxx解得：2( )xx （3）取为，方向为顺时针L424xy0QP xy4242422 42( )2( )2( )12cc LLLxydxx dyxydxx dyxydxx dy xyxyxyxydxx dy:2011 年年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。 ）一一计算下列各题（本题共

23、计算下列各题（本题共 3 小题，每小题各小题，每小题各 5 分，共分，共 15 分）分）（1）.求；1 1 cos0sinlimxxx x解：（用两个重要极限）：20003221sin 1 cossin1 cos001 sincos12limlimlimsin1133 1 cos32220sinsinlimlim 1limxxxxx x xx x xxxxxx xxx x xxxxxxxxx xxeeeee （2）.求；111lim.12nnnnn解：(用欧拉公式）令111.12nxnnnn 111ln =C+o 12 11111ln2 =C+o 1212nnnnnn由欧拉公式得（），则（），

24、其中，表示时的无穷小量， 1on -ln2o 1nx两式相减，得：（）,limln2.nnx （3）已知，求。2ln 1arctanttxeyte 22d y dx解：222222221211,12112 1ttttttttttte dxedyedyeee edtedtedxe e 22222241212 1 224ttttttteed yddyee dxdxdtdxeee dt:二二 （本题（本题 10 分）求方程分）求方程的通解的通解。2410xydxxydy解：设，则24,1PxyQxy0PdxQdy是一个全微分方程，设1,PQ yx 0PdxQdydzPdxQdy,0,0241x yz

25、dzPdxQdyxydxxydy该曲线积分与路径无关,PQ yx2200124142xyzxdxxydyxxxyyy 三三 （本题（本题 15 分）设函数分）设函数 f(x)在在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数，且的某邻域内具有二阶连续导数，且均不为均不为 0，证明：存在唯一一组实数，证明：存在唯一一组实数，使得，使得 “0 ,0 ,0fff123,k k k。 123 20230lim0 hk f hk fhk fhfh证明证明：由极限的存在性： 1230lim2300 hk f hk fhk fhf 即，又， 123100kkkf 00f1231kkk由洛比达法则得 123 20 12

26、30230lim2233lim02hhk f hk fhk fhfh k fhk fhk fhh由极限的存在性得 1230lim22330 hk fhk fhk fh 即，又， 1232300kkkf 00f123230kkk再次使用洛比达法则得 1230“ 1230“ 1232233lim2 4293lim02 490000hhk fhk fhk fhh k fhk fhk fhkkkff123490kkk由得是齐次线性方程组的解123,k k k1231231231230490kkkkkkkkk 设，则，1231111123 ,01490kAxkbk Axb增广矩阵，则*111110031

27、230010314900011A : ,3R A bR A所以，方程有唯一解，即存在唯一一组实数满足题意，Axb123,k k k且。1233,3,1kkk 四 （本题 17 分）设，其中，2221222:1xyz abc0abc，为与的交线，求椭球面在上各点的切平面222 2: zxy121到原点距离的最大值和最小值。解：设上任一点，令，, ,M x y z222222, ,1xyzF x y zabc则椭球面在上点 M 处的法向量为： 222222,xyzxyzFFFabc1在点 M 处的切平面为：222,xyztabc12220xyzXxYyZzabc原点到平面的距离为，令 222444

28、1d xyz abc则，222444, ,xyzG x y zabc1, ,d G x y z现在求在条件，222444, ,xyzG x y zabc2222221xyz abc下的条件极值，222zxy令222222 222 12444222, ,1xyzxyzH x y zxyzabcabc则由拉格朗日乘数法得：， 1242 1242 1242222222222222022202220100xyzxxHxaa yyHybb zzHzcc xyz abc xyz 解得或，22 22 220xb cyzbc22 22 220a cxzac y 对应此时的或442222, ,bcG x y z

29、b cbc442222, ,acG x y za cac此时的或22144bcdbcbc22244acdacac又因为，则0abc12dd所以，椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为： 1，22244acdacac22144bcdbcbc五五 （本题（本题 16 分）已知分）已知 S 是空间曲线是空间曲线绕绕 y 轴旋转形成的椭球面轴旋转形成的椭球面22310xyz的上半部分（的上半部分（）取上侧，）取上侧，是是 S 在在点处的切平面，点处的切平面，0z , ,P x y z是原点到切平面是原点到切平面的距离，的距离，表示表示 S 的正法向的方向余弦。的正法向的方向余弦。, ,

30、x y z, , 计算：计算：（1）；（；（2）, ,SzdSx y z3Szxyz dS解：（1）由题意得：椭球面 S 的方程为222310xyzz令则，22231,Fxyz2 ,6 ,2xyzFx Fy Fz切平面的法向量为，,3 ,nxy z的方程为，30x Xxy Yyz Zz原点到切平面的距离22222222231, , 99xyzx y z xyzxyz 222 19, ,SSzIdSz xyz dSx y z将一型曲面积分转化为二重积分得：记22:1,0,0xzDxzxz 2222 12 1002223232 44sin 3 13 1xzDzxzrrdr Idxdzd xzr 2

31、222 12 00232sin32sin4433 1rrdrdr 431 332224223:(2)方法一： 2222222223, 999xyzxyzxyzxyz 222 213392SSIzxyz dSz xyz dSI六 （本题 12 分）设 f(x)是在内的可微函数，且, ，其中，任取实数，定义 fxmf x、01m0a证明：绝对收敛。1ln,1,2,.,nnaf an1 1nn naa 证明：112lnlnnnnnaaf af a由拉格朗日中值定理得：介于之间，使得12,nnaa 1212lnlnnnnnff af aaaf，又得 112nnnnfaaaaf fmf、 fmf 1 1

32、1210.n nnnnaam aamaa 01m级数收敛，级数收敛，即1 10 1nnmaa 1 1nn naa 绝对收敛。1 1nn naa 七七 （本题（本题 15 分）是否存在区间分）是否存在区间上的连续可微函数上的连续可微函数 f(x)，满足，满足0,2， 021ff？请说明理由。？请说明理由。 201,1fxf x dx、解：假设存在，当时，由拉格朗日中值定理得： 0,1x介于 0，x 之间，使得，1 10,f xffx同理，当时，由拉格朗日中值定理得：1,2x介于 x，2 之间，使得2 222f xffx即 121,0,1 ;12 ,1,2f xfx xf xfxx ， 11fx 、 11,0,1 ;13,1,2xf xx xxf xx x 显然， 200,0f xf x dx 1221201001111133x dxxdxf x dxx dxx dx，又由题意得 201f x dx 22001,1f x dxf x dx 即， 201f x dx 1,0,11,1,2x xf xxx 11111111limlim1,limlim11111xxxxf xff xfxxxxxx 不存在，又因为 f(x)是在区间上的连续可微函数，即存 1f0,2 1f在，矛盾，故，原假设不成立，所以，不存在满足题意的函数 f(x)。