历年新课标全国卷2理科数学试题.分类汇编-立体几何.doc

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1、2011 年年2018 年新课标全国卷年新课标全国卷理科数学试题分类汇编理科数学试题分类汇编 11立体几何立体几何 一、选择题一、选择题（20189）在长方体中，则异面直线与所成角的余弦1111ABCDABC D1ABBC13AA 1AD1DB值为ABCD1 55 65 52 2（20174）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体 由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A B C D90634236（201710）已知直三棱柱中，111CCAA C120A2A ，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）1CCC11A1CA B C D

2、3 215 510 53 3（20166）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A20B24C28D32442 3（20156）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）ABCD 81 71 61 51（20159）已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB=90，C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为（ ）A36B64C144D256（20146）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm） ，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径

3、为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）ABCD17 275 910 271 3（201411）直三棱柱 ABC-A1B1C1中，BCA=90，M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM 与 AN 所成的角的余弦值为（ ）2016，62015，62014，6ABCD1 102 530 102 2（20134）已知为异面直线，平面，平面.直线 满足，,m nm n llmlnll则（ ）A. / 且 l / B.且lC.与相交，且交线垂直于D.与相交，且交线平行于ll（20137）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的

4、坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，Oxyz画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）zOxA.B.C.D.（20127）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A. 6B. 9C. 12D. 18（201211）已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此棱锥的体积为（ ）A.B. C. D. 62 63 32 22（20116）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图

5、可以为（ ）A. B. C. D.二、填空题二、填空题（201816）16已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，SSASB7 8与SA圆锥底面所成角为 45，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_SAB5 15（201614）、 是两个平面，m、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果 mn，m，n，那么 .（2）如果 m，n，那么 mn.（3）如果 ，m，那么 m. （4）如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等.其中正确的命题有 . (填写所有正确命题的编号.)（201115）已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且，则棱锥 O-6,2 3ABBC

6、ABCD 的体积为 .三、解答题三、解答题（201719）如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD， E 是 PD 的中点.1 2ABBCADo90BADABC （1）证明：直线 平面 PAB；/ /CE（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 ，求二面角 M-AB-D 的余弦值o45（201619）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB=5，AC=6，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AE=CF=，EF 交 BD 于点 H. 将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置，5 4.10OD （）证明：平

7、面 ABCD；D H（）求二面角的正弦值.BD A C（201519）如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1中 AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点 E，F 的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线 AF 与平面所成角的正弦值.（201418）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点. （）证明：PB / 平面 AEC； （）设二面角 D-AE-C 为 60，AP=1，AD=，求三棱锥 E-ACD 的体积.3

8、（201318）如图，直三棱柱111ABCABC中，分别是，DEAB的中点，.1BB12 2AAACCBAB（）证明：1BC/平面；1ACD（）求二面角的正弦值.1DACE（201219）如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1中，D121AABCACCBADC1A1B11AD1B1CACEBO BACFDHED是棱 AA1的中点，DC1BD.（）证明：DC1BC；（）求二面角 A1-BD-C1的大小.（201118）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB=60，AB=2AD，PD底面ABCD.（）证明：PABD；（）若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值.

9、 （201820）如图，在三棱锥中，为的中点PABC2 2ABBC4PAPBPCACOAC（1）证明：平面；PO ABC（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值MBCMPAC30PCPAMPAOCBM2011 年年2018 年新课标全国卷年新课标全国卷理科数学试题分类汇编理科数学试题分类汇编 11立体几何（逐题解析版）立体几何（逐题解析版）一、选择题一、选择题（20189）C（20174）B【解析解析】从三视图可知：一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分，剩下的体积分上下两部分阴影的体积，下面阴影的体积为， ；上面阴影的体VSh3r 4h 136V积是上面部分体积的一半，即，与的比

10、为高的比（同底） ，即，2V3V231 2VV3V1V313 2VV213274VV故总体积.02163VVV方法方法 2：，其余同上，故总体积.354VSh02163VVV（201710）B【解析解析】解法一：解法一：在边上分别取中点，并相互连接.1BB11BC11ABABEFGH由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面直线和所成的夹角为或其补角，1AB1BCFEG通过几何关系求得，利用余弦定理可求得异面直线2 2EF 5 2FG 11 2FH 和所成的夹角余弦值为.1AB1BC10 5解法二：补形解法二：补形通过补形之后可知：或其补角为异面直线和所成的角，通过几何关系可知：1BC D1AB

11、1BC，由勾股定理或余弦定理可得异面直线和所成的夹角余弦值为.12BC 15C D 3BD 1AB1BC10 5解法三：建系解法三：建系建立如左图的空间直角坐标系，0,2,1A10,0,0B0,0,1B131,022C ， 131, 122BC 10,2,1B A 1111210cos552B A BCB ABC （20166）C 解析：解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为 ，rcl圆柱高为由图得， ，由勾股定理得：， h2r 24cr2222 34l ，故选 C214168282Srchcl表（20156）D 解析：解析：由三视图得，在正方体 ABCD-

12、A1B1C1D1中，截去四面体 A-A1B1D1，如图所示，设正方体棱长为a，则 1 1 1331 113 26A AB DVaa ，故剩余几何体体积为33315 66aaa，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选 D.（20159）C 解析：解析：如图所示，当点 C 位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球 O 的半径为 R，此时2311136326O ABCC AOBVVRRR，故 R=6，则球 O 的表面积为24144SR，故选 C（20146）C 解析：解析：原来毛坯体积为 326=54 (cm2)，由三视图得，该零件由左侧底面半径为 2cm，高为 4cm

13、的圆柱和右侧底面半径为 3cm，高为2cm 的圆柱构成，所以该零件的体积为：322+224=34 (cm2)，则切削掉部分的体积为 54-34 =20(cm2)，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为.2010 5427 （201411）C 解析：解析：取 BC 的中点 P，连结 NP、AP， M，N 分别是A1B1，A1C1的中点，四边形 NMBP 为平行四边形，BM/PN，所求角的余弦值等于ANP 的余弦值，不妨令 BC=CA=CC1=2，则AN=AP=，NP=MB=，56 .222222|( 5)( 6)( 5)cos2 | |256ANNPAPANPANNP30 10【另解】如图建

14、立坐标系，令 AC=BC=C1C=2，则 A(0, 2, 2)，B(2, 0, 2)，M(1, 1, 0)，N(0, 1, 0)， ( 1,1, 2)(0, 1, 2),BMAN ，0 1430cos.10| |6 5BM ANBMAN （20134）D 解析：解析：因为 m，lm，l，所以 l. 同理可得 l. 又因为 m，n 为异面直线，所以 与 相交，且 l 平行于它们的交线故选 D.（20137）A 解析：解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系 Oxyz 的图像为右图，则它在平面 zOx 上的投影即正视图为右图，故选 A.（20127）B 解析：解析：由三视图可知，此几何体为底面是斜

15、边为 6 的等腰直角三角形（俯视图），高为 3 的三棱锥，故其体积为.113 23 23932V （201211）A 解析：解析：易知点 S 到平面 ABC 的距离是点 O 到平面 ABC 的距离的 2 倍.显然 O-ABC 是棱长CBADD1C1B1A1BOACACB1A1C1BNMP为 1 的正四面体，其高为，故，.6 31362 34312O ABCV226S ABCO ABCVV（20116）D 解析：解析：条件对应的几何体是由底面棱长为 r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为 r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的. 故选 D.二、填空题二、填空题（201816）40 2（2

16、01614） 【答案：】（201115）解析：解析：设 ABCD 所在的截面圆的圆心为 M，则 AM=221(2 3)62 32，8 3OM=224(2 3)2，162 328 33O ABCDV .三、解答题三、解答题（201719）如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD， E 是 PD 的中点.1 2ABBCADo90BADABC （1）证明：直线 平面 PAB；/ /CE（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 ，求二面角 M-AB-D 的余弦值o45【基本解法基本解法 1】 （1）证明：取中点为，连接、，PAFEF

17、AF因为，所以，90BADABC 1 2BCADBC1 2AD因为是的中点，所以，所以，EPDEF1 2ADEFBC所以四边形为平行四边形，所以，EFBC/ /ECBF 因为平面，平面，所以直线平面，BFPABECPAB/ /CEPAB （2）取中点为，连接，因为为等边三角形，所以，ADOOCOP、PADPO AD 因为平面平面，平面平面，平面，PADABCDPADABCDADPO PAD所以平面，PO ABCD 因为，所以四边形为平行四边形，所以，AOBCOABC/ /ABOC 所以，OCAD 以分别为轴建立空间直角坐标系，如图,OC OD OP, ,x y z设，则，所以，1BC (0,0

18、, 3), (0, 1,0), (1, 1,0),(1,0,0)PABC(1,0,3)PC 设，则，( , , )M x y z( , ,3)PMx y z (1,0,0)AB 因为点在棱上，所以，即，MPC(01)PMPC ( , ,3)(1,0,3)x y z所以，所以，( ,0, 33 )M(1,1, 33 )BM 平面的法向量为，ABCD(0,0,1)n 因为直线与底面所成角为，BMABCD45所以， 222|33 |2|sin45 | |cos,|2|(1)1( 33 )1BM nBM nBMn 解得，所以，212 26(,1,)22BM 设平面的法向量为，则，MAB( , , )m

19、x y z026022AB mxBM mxyz 令，则，1z 6(0,1)2m 所以，22110cos,5| |6()12m nm nmn 所以求二面角的余弦值.MABD10 5（201619）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB=5，AC=6，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AE=CF=，EF 交 BD 于点 H. 将DEF 沿 EF 折到DEF 的5 4位置，.10OD （）证明：平面 ABCD；D H（）求二面角的正弦值.BD A C解析：解析：证明：，四边形为菱形，5 4AECFAECF ADCDEFACABCDACBD，；EFBDEFDHEFD H6A

20、C 3AO 又，5AB AOOB4OB 1AEOHODAO3DHD H，又，面222ODOHD HD HOHOHEFHID H ABCD建立如图坐标系，Hxyz500B表表，130C表表， 003D表表130A表表430AB uu u r 表表，133AD uuur 表表060AC uuu r 表表设面法向量，ABD1nxyz，u r由得，取，1100nABnADu r uu u ru r uuur430 330xy xyz 3 4 5x y z 同理可得面的法向1345n u r 表表AD C量，2301n u u r 表表O BACFDHED，1212957 5cos255 210n nn

21、 nu r u u ru r u u r2 95sin25（201519）如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1中 AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点 E，F 的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线 AF 与平面所成角的正弦值.（201519）解析：解析：（）交线围成的正方形如图：EHGF（）作，垂足为 M，则，因为EMAB14AMAE18EMAA为正方形，所以，于是EHGFEHEF10BC，所以，以 D 为坐标原点，的226MHEHEM10AH DA 方向为

22、轴正方向，建立如图所以的空间直角坐标系，则xDxyz，(10,0,0)A(10,10,0)H(10,4,8)E(0,4,8)F(10,0,0)FE ，设是平面的法向量，则(0, 6,8)HE ( , , )nx y zEHGF，即，所以可取，又，故00n FEn HE 100680xyz (0,4,3)n ( 10,4,8)AF ，所以 AF 与平面所成角的正弦值为.|4 5|cos,|15|n AFn AFn AFEHGF4 15 15（201418）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点.（）证明：PB / 平面 AEC；（）设二面

23、角 D-AE-C 为 60，AP=1，AD=，求三棱锥 E-ACD 的体积.3解析：解析：（）证明：连结交于点，连结底面为矩形，BDACOOEABCD点为的中点，又为的中点，平面，平面，OBDEPD/ /OEPBOE AECPB AEC/平面.PBAEC（）以为原点，直线、分别为、轴建AABADAPxyz立空间直角坐标系，设，则，ABa(0, 3,0)D(0,0,0)A，3 1(0, )22E( , 3,0)C a3 1(0, )22AE ( , 3,0)ACa，设是平面的法向量，则( , , )nx y zAECPBCDEA，解得：，令，得，又31022 30n AEyzn ACaxy 33

24、ayxzy 3x ( 3,3 )naa是平面 AED 的一个法向量， 解得，( ,0,0)ABa 231|cos,|cos6023 4aAB n aa 3 2a .111| |322E ACDVADCDAP 11313332228（201318）如图，直三棱柱111ABCABC中，分别是，的中点，.DEAB1BB12 2AAACCBAB（）证明：1BC/平面；1ACD（）求二面角的正弦值.1DACE解析：解析：（）连结 AC1交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1中点又 D 是 AB 中点，连结 DF，则 BC1DF. 因为DF平面 A1CD，BC1平面 A1CD，所以 BC1 / 平面 A

25、1CD.（）由 ACCB得，ACBC. 以 C 为坐标原点，的方向为 x 轴正方向，建立如图所2 2ABCAuu r示的空间直角坐标系 Cxyz. 设 CA2，则 D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)CDuuu r CEuur1CAuuu r设 n(x1，y1，z1)是平面 A1CD 的法向量，则，即可取 n(1, -1, -1)100CDCAuuu ruuu rnn11110, 220.xy xz 同理，设 m 是平面 A1CE 的法向量，则，可取 m(2, 1, -2)100CECAmmuuruuu r从而 cosn，m，故

26、 sinn，m. 3 |3n m n m6 3即二面角 DA1CE 的正弦值为.6 3（201219）如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1中，D 是棱 AA1的中点，DC1BD.121AABCAC（）证明：DC1BC；（）求二面角 A1-BD-C1的大小.CBADC1A1B11AD1B1CACEB14解析：解析：（） 证明：设，直三棱柱，11 2ACBCAAa111CBAABC ， ，. 又，12DCDCa12CCa222 11DCDCCC1DCDC1DCBDQ，平面. 平面，1DCDCDI1DCBDCBC QBDC.1DCBC（）由 ()知，又已知，12DCa15BCaBDDC 1. 在中，

27、3BDaRtABD3BDa,90ADaDABo. ，.2ABa222ACBCABACBC取的中点，则易证平面，连结，则11ABE1C E 1BDADE1C E ，已知，平面，BDBDDC 1BD1DC EBDDE是二面角平面角. 1C DE11CBDA在中，. 1RtC DE1 1 1221sin22C EaC DEC Da130C DE即二面角的大小为.11CBDA30以点为坐标原点，为轴，为轴,为轴,建立空间直角坐标系.则CxCBy1CCzCxyz. ，,11,0,2,0, ,0 ,0,0,0,2A aaBaD aaCa, ,DBa aa uuu r1,0,DCaa uuur设平面的法向量

28、为，则，不妨令，得1DBC1111( ,)nx y zr11111100n DBaxayazn DCaxaz uuu rruuurr11x ，故可取.112,1yz1(1,2,1)n r同理,可求得平面的一个法向量. 1DBA2(1,1,0)n r设与的夹角为，则 , . 1nr2nr121233cos| |262n n nnrr rr30由图可知，二面角的大小为锐角，故二面角的大小为.11CBDA30（201118）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB=60，AB=2AD，PD底面ABCD.（）证明：PABD；（）若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦

29、值.15解析：解析：（）因为，由余弦定理得602DABABAD，从而 BD2+AD2= AB2，故 BDAD，又 PD底面3BDADABCD，可得 BDPD，所以 BD平面 PAD，故 PABD. （）如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为轴x的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz，则，(1,0,0)A(03,0)B ，CBADC1A1B1，. ， ，设平面 PAB 的法向量为( 1, 3,0)C (0,0,1)P( 1, 3,0)AB uu u r(0, 3, 1)PB ，uur ( 1,0,0)BC uuu rn=(x, y, z)，则，即 ，因此可取，设平面 PBC

30、 的法向量为 m，00ABPBuu u ruurnn3030xyyz ( 3,1, 3)n则，可取，故二面角 A-PB-C 的余弦值为00PBBC uuruuu rmm(0, 1,3) m42 7cos,72 7 m n.2 7 7（201820）解：（1）因为，为的中点，所以，且.4APCPACOACOPAC2 3OP 连结.因为，所以为等腰直角三角形，OB2 2ABBCACABC且，.OBAC122OBAC由知.222OPOBPBPOOB由知平面.,OPOB OPACPO ABC（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.OOBuu u r xOxyz由已知得取平面的(

31、0,0,0), (2,0,0), (0, 2,0),(0,2,0), (0,0,2 3),(0,2,2 3),OBACPAPuu u r PAC法向量.(2,0,0)OB uu u r设，则.( ,2,0)(02)M aaa( ,4,0)AMaauuur设平面的法向量为.PAM( , , )x y zn由得，可取，0,0APAMuu u ruuur nn22 30 (4)0yz axa y( 3(4), 3 ,)aaan所以.由已知得. 2222 3(4)cos, 2 3(4)3aOB aaa uu u r n3|cos,|2OBuu u r n所以.解得（舍去） ，. 2222 3 |4|3=22 3(4)3aaaa4a 4 3a 所以.又，所以.8 3 4 34(,)333 n(0,2, 2 3)PC uu u r3cos,4PCuu u r n所以与平面所成角的正弦值为.PCPAM3 4