灰度预测模型详解举例分析.doc

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1、/ 灰色系统预测 重点内容：灰色系统理论的产生和发展动态，灰色系统的基 本概念，灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别，灰色系统预测 GM（1，1）模型，GM（1，N）模型，灰色系统模型的检验，应用 举例。 1 灰色系统理论的产生和发展动态 1982 邓聚龙发表第一篇中文论文灰色控制系统标志着灰 色系统这一学科诞生。 1985 灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。 1989 海洋出版社出版英文版灰色系统论文集 ，同年，英文 版国际刊物灰色系统杂志正式创刊。目前，国际、国内 200 多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论 专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著 5

2、00 多次。 灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能 源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科 学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。 2 灰色系统的基本原理 2.1 灰色系统的基本概念 我们将信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统 称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色 系统。 系统信息不完全的情况有以下四种： 1.元素信息不完全 2.结构信息不完全 3.边界信息不完全 4.运行行为信息不完全 2.2 灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别 主要在于对系统内涵与外延处理态度不同； 研究对象内涵与外延的性质不同。 灰色系统着重外延明确、

3、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延 不明确、内涵明确的对象。 “黑箱”方法着重系统外部行为数据的处理方法，是因果关系的/ 两户方法，使扬外延而弃内涵的处理方法，而灰色系统方法是外 延内涵均注重的方法。 2.3 灰色系统的基本原理 公理 1：差异信息原理。 “差异”是信息，凡信息必有差异。 公理 2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。公理 3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有 的“最少信息” 。 公理 4：认知根据原理。信息是认知的根据。 公理 5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。 公理 6：灰性不灭原理。 “信息不完全”是绝对的。 2.4 灰色

4、系统理论的主要内容灰色系统理论经过 10 多年的发展，已基本建立起了一门新兴 学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理 论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为 基础的方法体系，以灰色模型（G，M）为核心的模型体系。以系 统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体 系。灰色关联分析 灰色统计 灰色聚类3 灰色系统预测模型 灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续 变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理 数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成 数列使用微分方程模型。这样，可以抵消大部分随机误差，显示 出

5、规律性。 3.1 灰色系统理论的建模思想 下面举一个例子，说明灰色理论的建模思想。考虑 4 个数据， 记为，其数据见下表：)4(),3(),2(),1 ()0()0()0()0(XXXX 序号1234/ 符号) 1 ()0(X)2()0(X)3()0(X)4()0(X 数据121.53 将上表数据作图得0123451234 XY上图表明原始数据没有明显的规律性，其发展态势是摆动)0(X 的。如果将原始数据作累加生成，记第 K 个累加生成为,并)()1(KX 且 1) 1 () 1 ()0()1( XX 321)2() 1 ()2()0()0()1(XXX5 . 45 . 121)3()2()

6、1 ()3()0()0()0()1(XXXX5 . 735 . 121)4()3()2() 1 ()4()0()0()0()0()1(XXXXX 得到数据如下表所示 序号1234 符号) 1 ()1(X)2()1(X)3()1(X)4()1(X 数据134.57.5/0123456781234 XY上图表明生成数列 X 是单调递增数列。 3.2 灰色系统预测模型建立 1.数列预测 GM（1，1）模型 灰色系统理论的微分方程成为 Gm 模型，G 表示 gray（灰色） ， m 表示 model（模型） ，Gm（1，1）表示 1 阶的、1 个变量的微分 方程模型。 Gm（1，1）建模过程和机理如下

7、： 记原始数据序列为非负序列)0(X其中，nkkx, 2 , 1, 0)()0( 其相应的生成数据序列为)1(X其中，nkixkxki, 2 , 1, )()(1)0()1( 为的紧邻均值生成序列)1(Z)1(X)(,),2(),1 ()1()1()1()1(nzzzZ 其中，nkkxkxkZ, 2 , 1),1(5 . 0)(5 . 0)()1()1()1( 称为 Gm(1,1)模型，其中 ，b 是需要通过建bkazkx)()()1()0(a 模求解的参数，若为参数列，且),(baa记原始时间序列为： nxxxxX00000,.,3,2,1 nxxxxX11111,.,.3,2,1/， )(

8、)3()2()0()0()0(nxxxY )5(1)4(1)3(1)2()1()1()1()1(zzzzB则求微分方程的最小二乘估计系数列，满足 bkazkx)()()1()0(YBBBaTT1)(称为灰微分方程，的白化方程，baxdtdx)1()1( bkazkx)()()1()0(也叫影子方程。 如上所述，则有1.白化方程的解或称时间响应函数为baxdtdx)1()1(abeabxtxat)0()()1()1(2.Gm(1,1)灰微分方程的时间响应序列为bkazkx)()()1()0(nkabeabxkxak, 2 , 1,)0() 1()1()1(3.取，则) 1 ()0()0()1(x

9、xnkabeabxkxak, 2 , 1,) 1 () 1()0()1(4.还原值 nkkxkxkx, 2 , 1),() 1() 1()1()1()0( 2.系统综合预测 GM（1，N）模型 P134 4 灰色系统模型的检验 定义定义 1. 设原始序列)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxX 相应的模型模拟序列为 )(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxX 残差序列 )(),2(),1 ()0(n)()(,),2()2(),1 () 1 ()0()0()0()0()0()0(nxnxxxxx 相对误差序列)()(,)2()2(,) 1 ( ) 1 ()0()

10、0()0(nxn xx/ n k11.对于 kn,称为 k 点模拟相对误差，称)()()0(kxkk为滤波相对误差，称为平均模拟相对误差；)()()0(nxnn nkkn112.称为平均相对精度，为滤波精度；1n13.给定，当，且成立时，称模型为残差合格模型。n定义定义 2设为原始序列，为相应的模拟误差序列， 为与)0(X)0(X)0(X 的绝对关联度，若对于给定的，则称模型为关联合)0(X00, 0 格模型。 定义定义 3 设为原始序列，为相应的模拟误差序列，为残差)0(X)0(X)0( 序列。为的均值， nkkxnx1)0()(1)0(X为的方差，21)0(2 1)(1xkxnsnk )0

11、(x为残差均值， nkkn1)(1为残差方差， nkkns122 2)(11.称为均方差比值；对于给定的，当时，称模12 ssc 00c0cc 型为均方差比合格模型。 2.称为小误差概率，对于给定的,当16745. 0)(skpp00p时，称模型为小误差概率合格模型。0pp 精度检验等级参照表指标临界性 精度等级相对误差关联度均方差比值小误差概率一级0.010.900.350.95 二级0.050.800.500.80 三级0.100.700.650.70/ 四级0.200.600.800.60 一般情况下，最常用的是相对误差检验指标。5 应用举例 例 1 设原始序列)5(),4(),3(),

12、2(),1 ()0()0()0()0()0()0(xxxxxX 679. 3 ,390. 3 ,337. 3 ,278. 3 ,874. 2 建立 Gm(1,1)模型，并进行检验。 解：1）对作 1-AGO，得)0(X D 为的一次累加生成算子，记为 1-AGO，A cumulated )0(X Generating Operator)5(),4(),3(),2(),1 ()1()1()1()1()1()1(xxxxxX 558.16,579.12,489. 9 ,152. 6 ,874. 2 2)对作紧邻均值生成，令)1(X ) 1(5 . 0)(5 . 0)()1()1()1(kxkxkZ

13、 )5(),4(),3(),2(),1 ()1()1()1()1()1()1(zzzzzZ 718.14,84.11,820. 7 ,513. 4 ,874. 2 于是， 1718.14184.111820. 71513. 41)5(1)4(1)3(1)2()1()1()1()1(zzzzB 679. 3390. 3337. 3278. 3)5()4()3()2()0()0()0()0(xxxxY 1718.14184.111820. 71513. 41111718.14184.11820. 7513. 4BB 4235.38235.38221.423 832371. 11665542. 01

14、65542. 0017318. 04235.38235.38221.423)(1 1BB 221.423235.38235.384 969.2301221.423235.38235.384 235.384221.42312/ 679. 3390. 3337. 3278. 31111718.14184.11820. 7513. 4 832371. 11665542. 0165542. 0017318. 0)(1YBBBa 679. 3390. 3337. 3278. 3604076.10019051. 0537833. 0085280. 1089344. 0028143. 0030115. 00

15、87386. 0 065318. 3037156. 03）确定模型065318. 3037156. 0)1()1( xdtdx及时间响应式abeabxkxak) 1 () 1()0()1(4986.823728.85037156. 0ke 4)求的模拟值)1(X )5(),4(),3(),2(),1 ()1()1()1()1()1()1(xxxxxX =(2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16.5538) 5)还原出的模拟值，由)0(X )() 1() 1()1()1()0(kxkxkx得 )5(),4(),3(),2(),1 ()0()0()0()0()0()0(xx

16、xxxX=（2.8740，3.2318，3.3541，3.4811，3.6128）6）误差检验 实际数据模拟数 据残差相对误差序号)()0(kx)()0(kx)()()()0()0(kxkxk)()()0(kxkk23.2783.23180.04621.41% 33.3373.3541-0.01710.51% 43.3903.4811-0.09112.69% 53.6793.61280.06621.80% 残差平方和/ )5()4()3()2()5()4()3()2(s 0662. 00911. 00171. 00462. 00662. 00911. 00171. 00462. 0=0.015

17、1085 平均相对误差%)80. 1%69. 2%51. 0%41. 1 (41 4151 kk=1.0625% 计算 X 与的灰色关联度X)1 ()5(21) 1 ()(42xxxkxSk=)874. 2679. 3(21)874. 2390. 3()874. 2337. 3()874. 2278. 3(0.40250.5160.4630.404 =1.7855) 1 ( )5( (21) 1 ( )( (42xxxkxSk)874. 26128. 3(21)874. 24811. 3()874. 23541. 3()874. 22318. 3(3694. 06071. 04801. 035

18、78. 0 =1.8144 42)1 ( )5( ()1 ()5(21)1 ( )( ()1 ()(kxxxxxkxxkxSS)4025. 03694. 0(21)516. 06071. 0()463. 04801. 0()404. 03578. 0(01655. 0091. 00171. 00462. 0 =0.0453564525. 45999. 404535. 08144. 17855. 118144. 17855. 11 11 SSSSSS /=0.99020.90 精度为一级，可以用 4986.823728.85) 1(037156. 0)1(kekx 预测。)() 1() 1()1

19、()1()0(kxkxkx例 2 某大型企业 1997-2000 年四年产值资料 年份199719981992000 产值（万元）27260295473241135388试建立 Gm(1,1)模型的白化方程及时间响应式，并对 Gm(1,1) 模型进行检验，预测该企业 2001-2005 年产值。 解：设时间序列为)4(),3(),2(),1 ()0()0()0()0()0(xxxxX=（27260，29547，62411，35388）)4(),3(),2(),1 ()1()1()1()1()1(xxxxX 124606,89218,56807,27260 2)对作紧邻均值生成，令)1(X )

20、1(5 . 0)(5 . 0)()1()1()1(kxkxkZ )4(),3(),2(),1 ()1()1()1()1()1(zzzzZ 106912, 5 .73012, 5 .42033,27260 于是， 110691215 .7301215 .420331)4(1)3(1)2()1()1()1(zzz B 353883241129547)4()3()2()0()0()0(xxx Y对参数列作最小二乘估计，得,ba 28.25790089995. 0)(1YBBBa设baxdtdx)1()1(由于28.25790,089995. 0ba/ 可得 Gm(1,1)模型的白化方程28.2579

21、0089995. 0)1()1( xdtdx其时间响应式为)() 1() 1(286574313834) 1 () 1()1()1()0(089995. 0)0()1(kxkxkxeabeabxkxkak由此得模拟序列)4(),3(),2(),1 ()0()0()0()0()0(xxxxX=（27260，29553，32336，35381） 检验：残差序列为 )4(),3(),2(),1 ()0()0()0()0()0(=（0，-6，75，7）)4()4(,)3()3(,)2()2(,) 1 ( ) 1 ()0()0()0()0()0()0()0()0(xxxx),()0002. 0 ,002

22、31. 0 ,0002. 0 , 0(4321 平均相对误差01. 0%068. 000068. 04141 kk模拟误差 ，精度一级01. 0%02. 00002. 04 计算与的灰色关联度)0(X)0(X=11502)1 ()4(21) 1 ()()0()0(32)0()0(xxxkxSk=11429.5) 1 ( )4( (21) 1 ( )( (32xxxkxSk 32)0()0()0()0()0()0()0()0()1 ()4()1 ()4(21)1 ()()1 ()(kxxxxxkxxkxSS=72.590. 0997. 05 .725 .114291150215 .1142911

23、5021 11 SSSSSS 精度为一级/ 计算均方差比5 .31151)(4141)0( kkxx74.3051,25.9313116)(411412)0(2 1 SxkxSk19)(4141 KK66.32, 5 .1066)(4122412 2 skSk所以，均方差比值为一级35. 0011. 074.305166.3212SSc计算小误差概率 40.20586745. 01S12)4(,56)3(25)2(,19) 1 ( 所以，95. 01)6745. 0)(1SkPP小误差概率为一级，故可用 )() 1() 1(286574313834) 1( )1()1()0(089995. 0

24、)1(kxkxkxekxk进行预测，2001-2005 年预测值为 )9(),8(),7(),6(),5()0()0()0()0()0()0(xxxxxX=（38713，42359，46318，50712，55488）例 3 预测实例，已知某企业 2001-2005 年的工业总产值 年份20012002200320042005 总产值1.671.511.032.141.99 建立 Gm(1,1)模型的白化方程，预测 2006-2015 工业总产值。 解： )5(),4(),3(),2(),1 ()0()0()0()0()0()0(xxxxxX 99. 1 ,14. 2 ,03. 1 ,51.

25、1 ,67. 1 )5(),4(),3(),2(),1 ()1()1()1()1()1()1(xxxxxX 43. 8 ,35. 6 ,21. 4 ,18. 3 ,67. 1 对作紧邻均值生成，令)1(X ) 1(5 . 0)(5 . 0)()1()1()1(kxkxkZ/ )5(),4(),3(),2(),1 ()1()1()1()1()1()1(zzzzzZ 345. 7 ,28. 5 ,695. 3 ,425. 2 ,67. 1 于是， 1345. 7128. 51695. 31425. 21)5(1)4(1)3(1)2()1()1()1()1(zzzzB 99. 114. 203. 1

26、51. 1)5()4()3()2()0()0()0()0(xxxxY 1345. 7128. 51695. 31425. 21111345. 728. 5695. 3425. 2BB 4745.18745.18361.101 8747. 134669. 034669. 007398. 0)(1BB 99. 114. 203. 151. 11111345. 728. 5695. 3425. 2YB 67. 638335.33 67. 638335.33 8747. 134669. 034669.0003798. 0)(1YBBBbaa 931. 0157. 0方程为baxdtdx)1()1(93

27、1. 0157. 0)1()1( xdtdx及时间响应式abeabxkxak) 1 () 1()0()1(93. 5)93. 567. 1 (157. 0ke93. 56 . 7157. 0ke 求的模拟值)1(X )5(),4(),3(),2(),1 ()1()1()1()1()1()1(xxxxxX =(1.67,2.962,4.474,6.202,8.311) 还原出的模拟值，由)0(X/)() 1() 1()1()1()0(kxkxkx得 )5(),4(),3(),2(),1 ()0()0()0()0()0()0(xxxxxX=（1.67，1.292，1.512，1.728，2.109

28、）计算 X 与的灰色关联度X)1 ()5(21) 1 ()(42xxxkxSk=17. 032. 02147. 064. 061. 0() 1 ( )5( (21) 1 ( )( (42xxxkxSk439. 021058.1580. 0378. 0=0.2585 42)1 ( )5( ()1 ()5(21)1 ( )( ()1 ()(kxxxxxkxxkxSS)32. 0439. 0(2147. 0058. 0()64. 0158. 0(16. 0378. 0(0595. 0417. 0482. 0218. 0 =0.0885517. 14285. 10885. 02585. 017. 01

29、2585. 017. 01 11 SSSSSS =0.940.90 精度为一级，关联度为一级，可以用 )() 1() 1(93. 56 . 7) 1()1()1()0(157. 0)1(kxkxkxekxk进行预测。),10(),9(),8(),7(),6()1()1()1()1()1()1(xxxxxX )15(),14(),13(),12(),11()1()1()1()10)1(xxxxx,293.25,756.20,879.16,565.13,732.10 523.62,577.52,076.44,811.36,601.30)15(,),10(),9(),8(),7(),6()0()0()0()0()0()0()0(xxxxxxX,537. 4 ,877. 3 ,314. 3 ,833. 2 ,421. 2 946. 9 ,501. 8 ,265. 7 ,21. 6 ,308. 5