专题45数列通项结构的应用-2022年高考必刷压轴题(选择题、填空题)(新高考专用).pdf

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1、1 1 专题 45 数列通项结构的应用【方法点拨】1.数列an是等差数列anpnq(p，q 为常数).2.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B 为常数).3.已知 Sn是等差数列an的前 n 项和，则Snn也是等差数列，且其首项为 a1，公差为an公差的12.4.两个等差数列an、bn的前 n 项和 Sn、Tn之间的关系为1212nnnnTSba.5.两个等差数列an、bn的前 n 项和分别为 Sn、Tn，若DCnBAnTSnn，则DmCBnAbamn)12()12(.【典型题示例】例 1 nS是公差为 2 的等差数列 na的前n项和，若数列1nS 也是等差数列，则1a _.【答案】1或

2、3【分析】用特殊值法，也可直接抓住等差数列的结构特征解题.【解析一】（特殊值法）由题意211(1)2(1)2nn nSnanan，数列1nS 是等差数列 2132111SSS ，1112 23137aaa，解得11a 或13a，11a 时，21211nSnnn ，13a 时，21211nSnnn ，均为n的一次函数，数列1nS 是等差数列，故1a的值为1 或 3.【解析一】（特殊值法）由题意211(1)2(1)2nn nSnanan，2 2 数列1nS 是等差数列 21(1)+1nSnan必为关于n的一次式，即21(1)+1nan是完全平方式 21(1)40a 解之得11a 或13a（下同解法

3、一）例 2 已知 na是首项为 2，公比为1q q 的等比数列，且 na的前n项和为nS，若2nS 也为等比数列，则q 【答案】2【解析】因为 na是首项为 2，公比为1q q 的等比数列 所以1122221111nnnnaqqqSqqqq 222112nnqqSq 2nS 为等比数列，则2nS 也为等比数列 所以2201q，即2q 点评：等比数列通项的结构特征是：(0)nnaAqAq、.例 3 已知两个等差数列na和 nb的前n项和分别为An和nB，且7453nnAnBn，则使得nnab为整数的正整数n的个数是 .【答案】5【解析】根据等差数列前n项和的公式不难得到：2121(21)7(21

4、)45719(21)(21)31nnnnnnanaAnnbnbBnn （）（）式是一个关于n的一次齐次分式，遇到此类问题的最基本的求解策略是“部分分式”即将该分式逆用通分，将它转化为分子为常数，只有分母中含有变量n 3 3 因为7197(1)12127111nnnnn 所以，要求使得nnab为整数的正整数n，只需1n为12的不小于2的正约数 所以12,3,4,6,12n 例 4 已知 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a12 014，S2 0142 014S2 0082 0086，则 S2 020等于_.【答案】2 020【解析】由等差数列的性质可得Snn也为等差数列，设其公差为d，则S2

5、 0142 014S2 0082 0086d6，d1，且首项为S112 014.故S2 0162 016S112 015d2 0142 0151，S2 02012 0202 020.4 4【巩固训练】1.记等差数列an的前 n 项和为nS，已知12a，且数列 nS也为等差数列，则13a=.2.已知公差大于零的等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a3a4117，a2a522，数列bn满足 bnSnnc（其中 c0），若bn为等差数列，则 c 的值等于_.3.设等比数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意自然数 n 都有314nnnST，则33ab的值为_.4.设nS，nT

6、分别是等差数列 na，nb的前n项和，已知2142nnSnTn，*nN，则1011318615aabbbb 5.已知nS是等差数列 na的前n项和，若77S，1575S，则数列nSn的前20项和为 6.已知数列的an的前 n 项和 Sn，若an和 nS都是等差数列，则10nnSa的最小值是 .5 5【答案与提示】1.【答案】50【解析】设该等差数列的公差为d，则由等差数列求和公式得2(1)2(2)222nn nddSndnn.又因为数列 nS为等差数列，202d，故4d.所以1311250aad.2.【答案】12【解析】设等差数列an的公差为 d，且 d0，由等差数列的性质，得 a2a5a3a

7、422，所以 a3，a4是关于 x 的方程 x222x1170 的解，所以 a39，a413，易知 a11，d4，故通项为 an1(n1)44n3.所以 bnSnnc2n2nnc.法一（特殊值法）所以 b111c，b262c，b3153c(c0).令 2b2b1b3，解得 c12.当 c12时，bn2n2nn122n，当 n2 时，bnbn12.故当 c12时，数列bn为等差数列.法二 由 bnSnncn（14n3）2nc2nn12nc，c0，可令 c12，得到 bn2n.bn1bn2(n1)2n2(nN*)，数列bn是公差为 2 的等差数列.即存在一个非零常数 c12，使数列bn也为等差数列

8、.3.【答案】9 6 6【解析】联想等比数列的前 n 项和的结构特征，可知：1(1 9)1 9nnaS，1(1 3)1 3nnbT，且11ab 所以2339()93ab.4.【答案】4178 【提示】因为318615bbbb，所以10101110112011318615615101120aaaaaSabbbbbbbbT.5.【答案】55【解析】由等差数列的性质得Snn 也是等差数列，设nnSbn，其公差为 d 且7717Sb，1515515Sb，所以12d，12b 所以nSn的前 20 项和即为 nb的前 20 项和，故为20 19120(2)5522.6.【答案】21【解析】设该等差数列的公差为d，则由等差数列求和公式得211(1)()222nn nddSnadnan.又因为数列 nS为等差数列，102da，故12da.所以221011(10)12121(21)21(21)4212nnSnananan，当且仅当10n 时，“=”成立.所以10nnSa的最小值是 21.