【新高考数学专用】专题15已知函数的单调区间求参数的范围(原卷+解析)-2022年难点解题方法突破.pdf

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1、 专题 15 已知函数的单调区间求参数的范围 一、单选题 1若函数sin()cosxaf xx在区间(0,)2上单调递增，则实数a的取值范围是（）A1a B2a C1a D1a 2已知函数 21=)1 ln2(,1+fxxa xaabx，函数2x by的图象过定点0,1（），对于任意1212,0,x xxx，有 1221f xf xxx，则实数a的范围为（）A15a B25a C25a D35a 3已知函数 2xfxxa e在区间1,2上单调递增，则a的取值范围是（）A3,B,8 C3,D8,4函数32123yxxmx是R上的单调函数，则m的范围是（）A(,1)B(,1 C(1,)D1,)5已

2、知函数321()13f xxaxx在(,0)，(3,)上为增函数，在1,2上为减函数，则实数a的取值范围为（）A(,1 B55,34 C5,13 D55,34 6函数1()f xxax在(,1)上单调递增，则实数 a 的取值范围是（）A1,)B(,0)(0,1 C(0,1 D(,0)1,)7对任意的0abt，都有lnlnbaab，则t的最大值为（）A1 Be C2e D1e 8函数 2122ln2fxaxaxx单调递增的必要不充分条件有（）A2a B2a C1a D2a 9设函数21()9ln2f xxx在区间1,1aa上单调递减，则实数a的取值范围是（）A1,2 B0,3 C4,D,2 10

3、已知函数3211()(,)32f xaxbxcxd a b c dR的单调递增区间是(3,1)，则（）Aabc Bbca Cbac Dacb 11已知函数 f x在定义域R上的导函数为 fx，若函数 yfx没有零点，且 2019xff x 2019，当 sincosg xxxkx在,2 2 上与 f x在R上的单调性相同时，则实数 k的取值范围是（）A,1 B,2 C1,2 D2,12若函数 24lnf xxxbx 在0,上是减函数，则b的取值范围是（）A,2 B,2 C2,D2,13已知函数2(3)(xf xaex aR，若0,2x时，()f x在0 x 处取得最大值，则a的取值范围为（）A

4、0a B212ae C6ae D2126aee 14已知函数3244,0(),0 xxaxa xf xax，是单调递增函数，则实数 a的取值范围是（）A(1,2)B(1,3 C2,3 D3,)15已知函数 3lnf xxmx在区间1,2上不是单调函数，则m的取值范围是（）A,3 B24,3 C24,3 D24,16若函数()(cos)xf xexa在区间,2 2 上单调递减，则实数a的取值范围是（）.A(2,)B(1,)C1,)D 2,)17若函数()2()af xxaRx在1,)是增函数，则实数 a的取值范围是（）A0,2 B0,4 C(,2 D(,4 二、解答题 18已知函数 3exf x

5、xxa，aR.（1）当2a 时，求 f x在1,2上的最大值和最小值；（2）若 f x在1,上单调，求a的取值范围.19设函数()ln()xf xeax aR，其中e为自然对数的底数.（1）若()f x在定义域上是增函数，求a的取值范围；（2）若直线ye是函数()f x的切线，求实数a的值；20已知 a0，函数21()ln(1)2f xxxxax（1）若 f（x）为减函数，求实数 a的取值范围；（2）当 x1时，求证：2e()e2aaf x （e2.718）21已知函数 sin 1lnf xaxx，aR.（1）若函数 f x在区间0,1内是增函数，求a的取值范围；（2）证明：222111sin

6、sinsinln2231 n.22 已知函数32()()f xaxbxxR的图象过点(1,2)P，且在 P处的切线恰好与直线30 xy垂直（1）求()f x的解析式；（2）若()()3g xmf xx在 1,0上是减函数，求 m 的取值范围 23已知aR，函数3211()(1)332f xxaxax.（1）当1a 时，求函数()yf x在点(3,(3)f处的切线方程；（2）若函数()f x在区间(2,4)上是减函数，求a的取值范围.24已知函数432()f xaxxbx(),a bR，g xf xfx是偶函数（1）求函数 g x的极值以及对应的极值点（2）若函数43221()()(1)4h x

7、f xxcxxcxc，且()h x在2,5上单调递增，求实数c的取值范围 25已知函数321()23f xxxax，21()42g xx.（1）若函数()f x在0,上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（2）设()()()G xf xg x.若02a，()G x在 1,3上的最小值为13，求()G x在 1,3上取得最大值 时，对应的x值.26已知三次函数32()324f xaxaxa.（1）当1a 时，求曲线()yf x在点(3,(3)f处的切线方程；（2）若函数()f x在区间(,3)a a 上具有单调性，求a的取值范围；（3）当0a 时，若122xx，求12()()f xf x的取值

8、范围.27设函数32()23(1)6f xxaxaxb，其中,a bR.（1）若曲线()yf x在(1,(1)f的切线方程为123yx，求 a，b的值；（2）若()f x在3x 处取得极值，求 a的值；（3）若()f x在(,0)上为增函数，求 a的取值范围.28已知函数2()13xef xaxa，其中aR.（1）若()f x在1,2内为减函数，求实数 a 的取值范围；（2）求函数()f x在1,2上的最大值.29已知函数 lnf xx（1）令 1axg xf xx，若函数 g x在其定义域上单调递增，求实数a的取值范围；（2）求证：2xf xe 30已知：函数()(1)ln()f xaxxa

9、x.（1）当1a 时，讨论函数()f x的单调性；（2）若()f x在(0,)x上单调递增，求实数a的取值范围.31已知函数32121()332af xaxxx，（1）当2a 时，求函数()f x的单调区间与极值；（2）是否存在正实数a，使得函数()f x在区间 1,1上为减函数？若存在，请求a的取值范围；若不存在，请说明理由.32设函数 2ln1f xxax（a为常数）（1）若函数 yf x在区间1,上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若函数 yf x有两个极值点1x、2x，且12xx，求证：2110ln22f xx 33已知函数 ,sinxf xeg xxax.（1）若 h xf

10、xg x在0，单调递增，求a的取值范围：（2）若12a，证明：当0 x 时，2112g xf x.34已知函数 22 lnf xxax（1）若函数 f x的图象在 22f,处的切线斜率为 1，求实数a的值；并求函数 f x的单调区间；（2）若函数 2g xfxx在1,2上是减函数，求实数a的取值范围.35已知函数 lnf xxax在1x 的切线与直线20 xy垂直，函数 212g xfxxbx （1）求实数 a 的值；（2）若函数 g x存在单调递减区间，求实数 b 的取值范围；36设函数 32211233fxxkxkkx，xR，k R.（1）若函数 f x为奇函数，求函数 f x在区间3,3

11、上的单调性；（2）若函数 f x在区间0,2内不单调，求实数k的取值范围.37已知函数2()af xxx（0 x，常数aR）.（1）讨论函数 f x的奇偶性，并说明理由；（2）若函数 f x在2,)上为增函数，求a的取值范围.38已知aR，函数2()()xf xxax exR.（1）当0a 时，求函数 fx的单调区间；（2）若函数 fx在1,1上单调递减，求 a 的取值范围.39已知函数1()lnf xa xxx.（1）若1a，求曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程；（2）若函数()f x在其定义域内为增函数，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，设函数()eg xx，若在1,

12、e上至少存在一点0 x，使得 00f xg x成立，求实数 a的取值范围.40已知函数()2 lnf xxax（1）若函数()f x的图象在点(2,(2)f处的切线与直线210 xy 垂直，求实数a的值；（2）若函数2()()g xf xx在1,2上是减函数，求实数a的取值范围.专题 15 已知函数的单调区间求参数的范围 一、单选题 1若函数sin()cosxaf xx在区间(0,)2上单调递增，则实数a的取值范围是（）A1a B2a C1a D1a 【答案】C 【分析】利用导函数研究原函数的单调性，利用单调性求解实数a的取值范围【详解】解：函数sin()cosxaf xx 则2coscoss

13、in(sin)()xxxxafxcos x(0,)2x上，2cos0 x 要使函数sin()cosxaf xx在区间(0,)2上单调递增，22cossinsin0 xxax在(0,)2x上恒成立，即：sin10ax 在(0,)2x上恒成立，(0,)2x上，sin(0,1)x 1a 故选：C【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理 2已知函数 21=)1 ln2(,1+fxxa xaabx，函数2x by的图象过定点0,1（），对于任意12

14、12,0,x xxx，有 1221f xf xxx，则实数a的范围为（）A15a B25a C25a D35a【答案】A【分析】由图象过定点可得0b，设 F xf xx，结合已知条件可得 F x在0,递增，求 F x的导数，令 211g xxaxa，由二次函数的性质可得102ag，从而可求出实数a的范围.【详解】解：因为2x by的图象过定点0,1（），所以21b，解得0b，所以 21=1 ln,12fxxaxax a，因为对于任意1212,0,x xxx，有 1221f xf xxx，则 1122f xxxf x，设 F xf xx，即 22111 ln=11 ln22Fxaxaxxxfxx

15、xaxax，所以 21111xaxaaFxxaxx，令 211g xxaxa，因为1a，则102ax，所以要使 0Fx在0,恒成立，只需102ag，故21111022aaaa，整理得150aa，解得15a，故选:A.【点睛】关键点睛：本题的关键是由已知条件构造新函数 F xf xx，并结合导数和二次函数的性质列出关于参数的不等式.3已知函数 2xfxxa e在区间1,2上单调递增，则a的取值范围是（）A3,B,8 C3,D8,【答案】A 【分析】由函数的单调性与导数的关系得出220 xxa在区间1,2上恒成立，将问题转化为求2min2xx，即可得出答案.【详解】220 xfxxxa e在区间1

16、,2上恒成立，则220 xxa在区间1,2上恒成立 即22min2123axx 故选：A 4函数32123yxxmx是R上的单调函数，则m的范围是（）A(,1)B(,1 C(1,)D1,)【答案】D【分析】函数在R上时单调函数，等价于导函数大于等于0或小于等于0恒成立，列不等式求出m的范围即可【详解】函数32123yxxmx是R上的单调函数，即220yxxm 或220yxxm(舍)在R上恒成立 440m，解得m1 故选：D【点睛】本题考查导数解决函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于基础题 5已知函数321()13f xxaxx在(,0)，(3,)上为增函数，在1,2上为减函数，则实数a的

17、取值范围为（）A(,1 B55,34 C5,13 D55,34【答案】B【分析】求导得到2()21fxxax，然后根据()f x在(,0)，(3,)上为增函数，在1,2上为减函数，由(0)0(1)0(2)0(3)0ffff求解.【详解】已知函数321()13f xxaxx，则2()21fxxax，因为()f x在(,0)，(3,)上为增函数，在1,2上为减函数，所以(0)0(1)0(2)0(3)0ffff，即10121044109610aaa ，解得 5534a，所以实数a的取值范围为55,34 故选：B【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的

18、能力，属于中档题.6函数1()f xxax在(,1)上单调递增，则实数 a 的取值范围是（）A1,)B(,0)(0,1 C(0,1 D(,0)1,)【答案】D【分析】函数1()f xxax在(,1)上单调递增，所以 0fx 在(,1)上恒成立，求函数()f x的导函数，参变分离求最值即可.【详解】解：因为函数1()f xxax在(,1)上单调递增，所以 0fx 在(,1)上恒成立，即21()10fxax 在(,1)上恒成立.即2min1()xa，即11a，解得：1a 或0a.检验，当1a 时，f x不是常函数，所以1a 成立.故选：D【点睛】本题考查已知函数的单调性求参数的范围，属于中档题.方

19、法点睛：（1）已知在区间上单调递增，则导函数大于等于 0恒成立；（2）分类讨论或参变分离，求出最值即可.易错点睛：必须检验等号成立的条件，有可能取等号的时候是常函数，所以需要检验取等时是否是常函数.7对任意的0abt，都有lnlnbaab，则t的最大值为（）A1 Be C2e D1e【答案】B【分析】令ln xyx，问题转化为函数在(0,)t递增，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出t的最大值即可【详解】0abt，lnlnbaab，lnlnabab，()ab，令ln xyx，则函数在(0,)t递增，故21ln0 xyx，解得：0 xe，所以(0,)t是(0,)e的子集，可得0te，故t

20、的最大值是e，故选：B【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间,a b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;利用导数转化为不等式 0fx 或 0fx 恒成立问题求参数范围 8函数 2122ln2fxaxaxx单调递增的必要不充分条件有（）A2a B2a C1a D2a 【答案】A【分析】求导，把问题转化为2220axax在区间0,恒成立，a分三种情况讨论即可得出结论。判断选项即可.【详解】由函数 2122ln2fxaxaxx在区间0,单调递增，则 222220axaxfxa

21、xaxx在区间0,恒成立，即2220axax在区间0,恒成立，当0a 时，2201xx，不满足题意；当0a 时，222210axaxa xxa，又20a，即2101xxxa，不满足题意；当0a 时，222210axaxa xxa，又20a，2220axax在区间0,恒成立，则2228202aaaa，综上：函数 2122ln2fxaxaxx单调递增的充要条件为2a，判断选项 A正确.故选：A.【点睛】思路点睛：利用导数研究函数的单调性以及求解必要不充分条件.求定义域；利用已知条件转化问题为2220axax在区间0,恒成立；对参数分类讨论.9设函数21()9ln2f xxx在区间1,1aa上单调递

22、减，则实数a的取值范围是（）A1,2 B0,3 C4,D,2【答案】A【分析】利用 f x的导函数 fx，结合 f x在区间1,1aa上的单调性列不等式组求得a的取值范围.【详解】由 219ln,(0)2f xxx x，则 299,(0)xfxxxxx，当(0,3)x时，0fx，则 f x单调递减；当(3,)x时，0fx，则 f x单调递增，又函数 f x在区间1,1aa上单调递减，所以101311aaaa ，解得12a，故选：A.【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求解参数的取值范围问题，其中导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查

23、都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下两个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 10已知函数3211()(,)32f xaxbxcxd a b c dR的单调递增区间是(3,1)，则（）Aabc Bbca Cbac Dacb 【答案】C【分析】首先求出函数的导函数，再根据函数的单调递增区间为(3,1)，即可()0fx的解集为(3,1)，即可得到a、b、c的关系，从而得解；【详解】解：由题可得2()fxaxbxc，则()0fx的解集为(3,1)，即()(3)(1)0fxa xx，0a，可得2

24、,3ba ca，bac，故选:C【点睛】本题考查函数的单调性，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题 11已知函数 f x在定义域R上的导函数为 fx，若函数 yfx没有零点，且 2019xff x 2019，当 sincosg xxxkx在,2 2 上与 f x在R上的单调性相同时，则实数 k的取值范围是（）A,1 B,2 C1,2 D2,【答案】A【分析】根据导函数与单调性关系，可知 f x为R上的单调函数，设 tf x2019x，利用换元法即可得 2019xf xt，进而可得 f x为增函数，即可知 g x也为增函数，先求得 g x，并令 0gx，结合正弦函数的性质即可确定 k的取值

25、范围.【详解】由函数 yfx没有零点，即方程 0fx无解，则 0fx 或 0fx 恒成立，所以 f x为R上的单调函数，xR 都有 20192019xff x，则 2019xf x 为定值，设 tf x2019x，则 2019xf xt，易知 f x为R上的增函数，sincosg xxxkx，gxcossin2sin4xxkxk，又 g x与 f x的单调性相同，g x在,2 2 上单调递增，则当,2 2x 时，0gx恒成立.当,2 2x 时，3,444x，所以由正弦函数性质可知2sin,142x，2sin1,24x.所以10,1kk ，即,1k ，故选：A.【点睛】本题考查了导函数与单调性关

26、系，换元法求函数解析式，正弦函数的性质求参数的取值范围，属于中档题.12若函数 24lnf xxxbx 在0,上是减函数，则b的取值范围是（）A,2 B,2 C2,D2,【答案】A【分析】2()4lnf xxxbx 在0,上是减函数等价于 0fx 在0,上恒成立，利用分离参数求解即可.【详解】2()4lnf xxxbx 在0,上是减函数，所以 0fx 在0,上恒成立，即()240bfxxx，即224bxx，22242(1)22xxx，2b ，故选：A.【点睛】本题主要考查“分离参数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法：视参数为已知

27、数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间,a b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;利用导数转化为不等式 0fx 或 0fx 恒成立问题求参数范围.13已知函数2(3)(xf xaex aR，若0,2x时，()f x在0 x 处取得最大值，则a的取值范围为（）A0a B212ae C6ae D2126aee【答案】A【分析】求导6()()xxxfxeae，构造新函数6()xxg xe，研究()g x单调性及最值，讨论6xxae正负符号得解【详解】6()6()xxxxfxaexeae，令6()xxg xe，6(1)()xxg

28、xe，1x 时()0g x，()g x在(,1)单调递增；1x 时()0g x，()g x在1,单调递减.如图，max(1)6)(ggxe，当6ae时，60 xxae，()0fx，()f x在R上单调递增，不成立；当0a 时，()f x在0,2上单调增减，成立；当60ae时，60 xxae有两个根1x，2120 xxx，当1xx时，60 xxae，()0fx；当12xxx时，60 xxae，()0fx；当2xx时，60 xxae，()0fx，f x在10,x，2,)x 上单调递增，在12,x x上单调递减，显然不成立.综上，0a.故选：A 【点睛】本题考查导函数的应用，利用导函数求得函数极值讨

29、论参数的取值范围，属于中档题.14已知函数3244,0(),0 xxaxa xf xax，是单调递增函数，则实数 a的取值范围是（）A(1,2)B(1,3 C2,3 D3,)【答案】C【分析】结合已知分段函数的单调性及每段函数单调性的要求进行求解即可.【详解】由32()44f xxaxa，0 x，可知22()340fxxa在0 x 时恒成立，故240a 即2a 或2a ，根据分段函数的性质可知，204014aaaa，解可得，23a.故选：C.【点睛】本题主要考查了导数函数在单调性判断中的应用及分段函数的单调性的应用，属于中档题.15已知函数 3lnf xxmx在区间1,2上不是单调函数，则m的

30、取值范围是（）A,3 B24,3 C24,3 D24,【答案】C【分析】求导，分别对0m，0m 分类讨论，确定 fx的单调性，根据题意，列出不等式，即可得出答案.【详解】323()3mxmfxxxx 当0m 时，()0fx，即函数 fx在区间1,2上单调递增，不符合题意 当0m 时，3()03mfxx，3()003mfxx 则函数 fx在区间30,3m上单调递减，在区间3,3m上单调递增 要使得函数 3lnf xxmx在区间1,2上不是单调函数，则3123m 解得243m 故选：C【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.16若函数()(cos)xf xexa在区间,2

31、2 上单调递减，则实数a的取值范围是（）.A(2,)B(1,)C1,)D 2,)【答案】D【分析】由函数的单调性与导数的关系可得sincosaxx 在区间,2 2 上恒成立，求得当,2 2x 时，max2sin4x即可得解.【详解】因为()(cos)xf xexa，所以()sincosxfxexxa，又函数()f x在区间,2 2 上单调递减，所以()0fx在区间,2 2 上恒成立，即sincos0 xxa在区间,2 2 上恒成立，所以sincosaxx 在区间,2 2 上恒成立，因为sincos2sin4xxx，当,2 2x 时，3,444x ，所以max2sin24x，所以2,a.故选：D

32、.【点睛】本题考查了导数、三角恒等变换及三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.17若函数()2()af xxaRx在1,)是增函数，则实数 a的取值范围是（）A0,2 B0,4 C(,2 D(,4【答案】C【分析】根据题中条件，得到2()20afxx在1,)上恒成立，分离参数，进而可求出最值.【详解】因为函数()2()af xxaRx在1,)是增函数，所以2()20afxx在1,)上恒成立，即22ax在1,)上恒成立，所以只需2a.故选：C.【点睛】本题主要考查由函数在给定区间的单调性求参数，属于基础题型.二、解答题 18已知函数 3exf xxxa，aR.（

33、1）当2a 时，求 f x在1,2上的最大值和最小值；（2）若 f x在1,上单调，求a的取值范围.【答案】（1）最大值为24e，最小值为2e；（2）2,.【分析】（1）2a 代入 f x，对函数求导，利用导数正负确定单调性即可；（2）先利用极限思想进行估值x 时 0fx，来确定 f x在1,上单增，0fx，再对32310 xxax 分离参数，研究值得分布即得结果.【详解】（1）3231xfxexxax 当2a 时，3233311xxfxexxxexxx fx在3,1 和1,上为正，在,3 和1,1上为负，f x在3,1 和1,上单增，在,3 和1,1上单减，有 21fe，224fe，12fe

34、，故 f x在1,2上的最大值为24e，最小值为2e；（2）由 3231xfxexxxa知，当x 时，0fx，若 f x在1,上单调则只能是单增，0fx在1,恒成立，即32310 xxax 3231axxx，令 3231g xxxx，1x，则 23610gxxx ，g x在1,递减，12g xg，2,a.【点睛】（1）利用导数研究函数()f x的最值的步骤：写定义域，对函数()f x求导()fx；在定义域内，解不等式()0fx和()0fx得到单调性；利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.（2）函数()f x在区间 I上递增，则()0fx恒成立；函数()f x在区间 I 上递减，则

35、()0fx恒成立.（3）解决恒成立问题的常用方法：数形结合法；分离参数法；构造函数法.19设函数()ln()xf xeax aR，其中e为自然对数的底数.（1）若()f x在定义域上是增函数，求a的取值范围；（2）若直线ye是函数()f x的切线，求实数a的值；【答案】（1）0a；（2）ae.【分析】（1）由题意可得()0 xafxex在(0,)x上恒成立；即xaxe在(0,)x上恒成立，令()xm xxe，利用导数求出其最小值即可；（2）设切点为000,lnxx eax，则00lnxaeex，由题意得000 xaex，得00 xax e，0000lnxxeexxe，令()lnxxg xexe

36、x，利用导数求出其单调区间和最值即可【详解】（1）函数()ln()xf xeax aR的定义域为(0,)，()0 xafxex，()f x在(0,)上是增函数()0 xafxex在(0,)x上恒成立；即xaxe在(0,)x上恒成立 设()xm xxe，则()(1)xm xxe 由(0,)x得0()(1)xm xxe()xm xxe在(0,)x上为增函数；即()(0)0m xm 0a.（2）设切点为000,lnxx eax，则00lnxaeex，因为()xafxex，所以000 xaex，得00 xax e，所以0000lnxxeexxe.设()lnxxg xexex，则()(1)lnxg xx

37、ex ，所以当01x时，()0g x，()g x单调递增，当1x 时，)(0g x，()g x单调递减，所以max()(1)g xge.因为方程0000lnxxeexxe仅有一解01x，所以ae.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，解题的关键是由题意得00lnxaeex，00 xax e，得到0000lnxxeexxe，然后构造函数()lnxxg xexex，利用导数求得max()(1)g xge，从而得01x，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题 20已知 a0，函数21()ln(1)2f xxxxax（1）若 f（x）为减函数，求实数 a的取值范围；（2）当 x1时，求证：2e()e

38、2aaf x （e2.718）【答案】（1）0a1；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意可得在0，上，0fx恒成立，即ln0 xxa恒成立，设 lng xxxa，求导数分析 g x的单调性，使得 max0g x，即可得结果；（2）当0a1时，可得 12fx ，2e1e22aa；当1a 时，先得 fx在1,上单调递减，10f，得出存在0 x，使得01,x上单调递增，在0+x，上单调递减，进而 20001()2f xf xxx，结合函数 21()2F xxx的单调性可得结果.【详解】（1）解：由题意知 f（x）的定义域为（0，），f（x）lnx-xa，由 f（x）为减函数可知 f（x）0恒成立

39、 设 g（x）lnx-xa，11()g xx，令 g（x）0得 x1，当 x（0，1）时，g（x）0，g（x）单调递增，即 f（x）单调递增；当 x（1，）时，g（x）0，g（x）单调递减，即 f（x）单调递减 故 f（x）f（1）-1a0，因此 0a1（2）证明：由（1）知，当 0a1时，f（x）为减函数，所以3()(1)2f xfa，又 0a1，3122a 设2ee2aay，eat，则22tyt，t（1，e 又22tyt在区间（1，e上单调递增，所以11122y ，故231e()(1)e222aaf xfa，所以当 0a1时，2e()e2aaf x 当 a1时，由（1）知，当 x（1，）时

40、，f（x）单调递减，且 f（1）a-10 f（ea）2a-ea，令 h（x）2x-ex，h（x）2-ex，当 x1 时，h（x）0，h（x）单调递减，故 h（a）2a-eah（1）2-e0，又 ea1，f（x）在（1，）上单调递减，故存在 x0（1，ea），使得 f（x0）0，即 f（x0）lnx0-x0a0，即 ax0-lnx0，因此有 f（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，故2000001()()ln(1)2f xf xxxxax，将 ax0-lnx0代入，得20001()2f xxx 因为函数21()2F xxx在（1，）上单调递增，所以20e()(e)e2aaaF

41、xF，即20e()e2aaf x，故20e()()e2aaf xf x成立。【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理 21已知函数 sin 1lnf xaxx，aR.（1）若函数 f x在区间0,1内是增函数，求a的取值范围；（2）证明：222111sinsinsinln2231 n.【答案】（1）,1；（2）证明见解析.【分析】（1）求得 1cos 1fxaxx，由题意可得出 0fx在区间0,1上恒成立，利用参变量分离法得出1

42、cos 1axx在0,1上恒成立，利用导数求出当0,1x时，11cos 1g xxx，由此可求得实数a的取值范围；（2）由（1）推导出1sin 1ln01xxx，令2111xkNk 可得出2211sinln21kk kk，然后利用不等式的可加性可证得结论成立.【详解】（1）由题意，1cos 10fxaxx 在0,1上恒成立.当01x时，011x，则cos 10 x，即1cos 1axx在0,1上恒成立，令 1cos 1g xxx，则 22cos 1sin 10cos1xxxgxxx，所以，函数 g x在0,1上单调递减，则 11g xg，1a，因此，实数a的取值范围是,1；（2）证明：由（1）

43、知，当1a 时，sin 1lnf xaxx在0,1是减函数，所以 10f xf，即sin 1ln0axx，则sin 1lnxx，1sin 1lnln01xxxx，令2111xkNk，代入1sin 1lnxx可得222111sinlnln12111kk kkk，所以2212sinln21 3，2213sinln32 4，2211sinln21nn nn，上述不等式全部相加得：222222111123sinsinsinlnlnln231 32 421nn nn22212123lnlnln21 32 422nnn nn.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题：（1）直接构造法：证明不等式 f xg

44、 x（或 f xg x）转化为证明 0f xg x（或 0f xg x），进而构造辅助函数 h xf xg x；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22 已知函数32()()f xaxbxxR的图象过点(1,2)P，且在 P处的切线恰好与直线30 xy垂直（1）求()f x的解析式；（2）若()()3g xmf xx在 1,0上是减函数，求 m 的取值范围【答案】（1）32()3f xxx；（2）1m .【分析】（1）求导得直线斜率，再利用已知条件建立方程组，求解即可函数的解

45、析式；（2）由题得2()3630g xmxmx在 1,0上恒成立，法一：分0m 和0m 两种情况讨论，运用二次函数的性质可得答案.法二：进行参变分离，运用不等式恒成立的思想可得答案.【详解】解：（1）2()32fxaxbx，由题意可得(1)2(1)323fabfab ，解得13ab.所以32()3f xxx （2）因为32()()333g xmf xxmxmxx，所以2()363g xmxmx.因为()g x在 1,0上是减函数，所以2()3630g xmxmx在 1,0上恒成立，当0m 时，30 在 1,0上恒成立；当0m 时，设2()363t xmxmx，由函数()t x的图象的对称轴为1

46、x 可得(1)0(0)0tt，即363030mm ，得1m .故 m 的取值范围是 1,).法二：2()3630g xmxmx对 1,0 x 成立，当0 x 时；01恒成立，当0 x 时；2222111120122(1)1xxmxxxxx ，1;m 【点睛】不等式的恒成立问题，常常利用函数的最值得以解决，参数与函数的最值的大小关系 23已知aR，函数3211()(1)332f xxaxax.（1）当1a 时，求函数()yf x在点(3,(3)f处的切线方程；（2）若函数()f x在区间(2,4)上是减函数，求a的取值范围.【答案】（1）8210 xy；（2）4a.【分析】（1）求出 f x在3

47、x 处的导数，即切线斜率，求出 3f，即可求出切线方程；（2）可得()0fx在(2,4)恒成立，由此可建立关系求解.【详解】2()(1)fxxaxa，（1）当1a 时，3211(3)3(1 1)31 33332f ，2(3)3(1 1)3 18f ，在点(3,(3)f处的切线方程为38(3)yx，即8210 xy.（2）函数()f x在区间(2,4)上是减函数，2()(1)(1)()0fxxaxaxxa在(2,4)恒成立，而10 x 在(2,4)恒成立，0 xa在(2,4)恒成立，这时4a，当函数()f x在区间(2,4)上是减函数时，4a.24已知函数432()f xaxxbx(),a bR

48、，g xf xfx是偶函数（1）求函数 g x的极值以及对应的极值点（2）若函数43221()()(1)4h xf xxcxxcxc，且()h x在2,5上单调递增，求实数c的取值范围【答案】（1）函数()g x的一个极大值点为6，对应的极大值为9，另一个极大值点为6，对应的极大值为9；函数()g x极小值点为0，对应的极小值为0；（2）4,13【分析】(1)求出()g x的表达式，结合函数的奇偶性即可求出140ab，从而可确定 g x的解析式，求出导数即可求出函数的极值点和极值.(2)结合第一问可得()h x的解析式，从而可求出2()32h xcxxc，由()h x的单调性可得213cxx在

49、2,5上恒成立，设 13m xxx，利用导数求出 m x在2,5上的最小值，从而可求出实数c的取值范围.【详解】解：（1）432()f xaxxbx，32()432fxaxxbx，432()()()(41)(3)2g xf xfxaxaxbxbx，因为 g x为偶函数，41020ab，解得140ab，431()4f xxx，则421()34g xxx，3()6(6)(6)g xxxx xx ，由()0g x，解得6x 或06x；由()0g x，解得6x或60 x；()g x在,6，0,6单调递增；在6,0，6,单调递减 函数()g x的一个极大值点为6，对应的极大值为69g，另一个极大值点为6

50、，对应的极大值为 69g；函数()g x极小值点为0，对应的极小值为 00g.（2）由（1）知431()4f xxx，43221()()(1)4h xf xxcxxcxc322cxxcxc，2()32h xcxxc，因为函数()h x在2,5上单调递增，2320cxxc在2,5上恒成立，即 2221313xcxxx在2,5上恒成立，设 13m xxx，令 22213130 xmxxx，解得32,53x ，当2,5x时，0m x，所以 13m xxx在2,5上单调递增，则 1322m xm，所以24=13132c.【点睛】方法点睛：已知奇偶性求函数解析式时，常用方法有：一、结合奇偶性的定义，若已