【新高考数学专用】专题22导数解决函数零点交点和方程根的问题(原卷+解析)22年难点解题方法突破.pdf

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1、 专题 22 导数解决函数零点交点和方程根的问题 一、单选题 1已知关于x的方程2xeax有三个不等的实数根，则实数a的取值范围是（）A1,2e B2,4e C,e D2,e 2已知函数 3sinf xxxax，则下列结论错误的是（）A fx是奇函数 B若0a，则 fx是增函数 C当3a 时，函数 fx恰有三个零点 D当3a 时，函数 fx恰有两个极值点 3 已知函数xya（1a）与logayx（1a）的图象有且仅有两个公共点，则实数a的取值范围是（）A1e1ea B1ea C1eeea Dea 4已知函数 lnxf xexaxb，则下列说法正确的是（）A存在a、bR，函数 f x没有零点 B

2、任意bR，存在0a，函数 f x恰有1个零点 C任意0a，存在bR，函数 f x恰有2个零点 D任意bR，存在0a，函数 f x恰有3个零点 5函数 22ln3xf xxexxk有且只有一个零点，则k的值为（）Aln5 B52ln 2 C2 Dln3 6已知函数 lnf xx，若函数 12g xkx与函数 yfx的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是（）A120,e）B1122,ee C1122,00,ee D1122,00,ee 7已知函数 1,13ln,393xxf xxx，若函数 g xf xax有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A2 1,32 Bln3 11,932e C1l

3、n312,3923e Dln312 10,9332e 8已知函数()lnf xxax有两个零点，则实数a的取值范围为（）A1ae B0a C0a D10ae 9已知函数 22,02ln,0 xxfxaxxx x，若恰有 3 个互不相同的实数1x，2x，3x，使得 1232221232f xf xf xxxx，则实数a的取值范围为（）A1ae B10ae C0a D0a 或1ae 10已知函数2()ln(2)(0)f xxaxba xab x恰有三个零点，则（）A0a B0b C0ab D0ab 11已知函数 lnf xaxxa aR 有两个零点，则a的取值范围（）A,e B2,e C,e D2

4、,e 12若函数2()xf xmxe 恰有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A1,1e B1,e C(1,)e D(,)e 二、多选题 13函数 ln1xxkfxex在0,上有唯一零点0 x，则（）A001xx e B0112x C1k D1k 14已知函数 1lnf xxxx，给出下列四个结论，其中正确的是（）A曲线 yf x在1x 处的切线方程为10 xy B f x恰有 2 个零点 C f x既有最大值，又有最小值 D若120 x x 且 120f xf x，则121x x 15已知函数 2+cos4xf xxxR，则下列说法正确的有（）A直线 y=0 为曲线 y=f(x)的一条切

5、线 Bf(x)的极值点个数为 3 Cf(x)的零点个数为 4 D若 f(1x)=f(2x)(1 x2x)，则1x+2x=0 16已知函数 lnf xxmx有两个零点1x、2x，且12xx，则下列结论不正确的是（）A10me B21xx的值随m的增大而减小 C101x D2xe 三、解答题 17已知函数 sinf xx，cosxg xex（1）讨论函数 g xh xf x在0,上的单调性；（2）求函数 H xg xxf x在,4 2上的零点个数 18已知函数 lnxxxf xaxaeR（1）当1ae时，求函数 f x的单调区间；（2）若函数 f x只有 1 个零点，求实数a的取值范围 19已知函

6、数 3ln1f xxx，ln4mg xxx （1）求 fx的最值；（2）若4m，求关于x的方程 f xg x（1x）的实数根的个数 20已知函数 3213fxxaxbxab （1）若 f x是奇函数，且有三个零点，求b的取值范围；（2）若 f x在1x 处有极大值223，求当1,2x 时 f x的值域 21设函数21()sincos2f xxxxax（1）当12a 时，讨论()f x在(,)内的单调性；（2）当13a 时，证明：()f x有且仅有两个零点 22已知函数 2xf xxeax（e为自然对数的底数）.（1）当0a 时，求证：函数 f x在0,上恰有一个零点；（2）若函数 f x有两个

7、极值点，求实数a的取值范围.23已知函数()exf xax，a为非零常数.（1）求 f x单调递减区间；（2）讨论方程 21f xx的根的个数.24已知函数 2xf xxe，0,x（1）求函数 f x的单调区间；（2）若关于x的方程2()2xf xeaxx 在区间0,内无零点，求实数a的取值范围 25设a为实数，已知函数 12xxa xf xeae.（1）当2a 时，求 f x的单调区间；（2）当1a 时，若 f x有两个不同的零点，求a的取值范围.26设函数 22lnf xxaxax.(1)若e,x，2f xa x，求实数a的取值范围；(2)已知函数 yf x存在两个不同零点1x，2x，求满

8、足条件的最小正整数a的值.27 若函数 f x在,xa b时，函数值y的取值区间恰为,(0)k kkb a，则称,a b为 f x的一个“k倍倒域区间”.定义在4,4上的奇函数 g x，当0,4x时 24g xxx.（1）求 g x的解析式；（2）求 g x在2,4内的“8倍倒域区间”；（3）若 g x在定义域内存在“8k k 倍倒域区间”，求k的取值范围.28已知函数2()lnf xxaxx.（1）试讨论函数()f x的单调性；（2）对任意0a，满足2()lnf xxaxx的图象与直线ykx恒有且仅有一个公共点，求 k 的取值范围.29已知函数 f(x)=xe-mx-2，g(x)=xe-si

9、nx-xcosx-1.（1）当 x2时，若不等式 f(x)0 恒成立，求正整数 m的值；（2）当 x0 时，判断函数 g(x)的零点个数，并证明你的结论，参考数据:2e4.8 30设函数2()ln10f xxaxa.（1）当2a 时，求函数()f x的极值；（2）若函数()f x有 2个零点，求实数a的取值范围.专题 22 导数解决函数零点交点和方程根的问题 一、单选题 1已知关于x的方程2xeax有三个不等的实数根，则实数a的取值范围是（）A1,2e B2,4e C,e D2,e【答案】B【分析】参变分离后可根据直线ya与函数 20 xef xxx的图象有 3 个不同的交点可得实数a的取值范

10、围.【详解】问题等价于2xeax又三个不等的实数根，令 20 xef xxx，32xexfxx，当,0 x 时，0fx，当2,+x时，0fx，当0,2x时，0fx，所以 f x在,0和2,上为增函数，在0,2上为减函数，又 0f x，且极小值为 224ef，f x的图象如图所示：因此ya与 f x的图象有三个不同的交点时，24ea.故选：B.【点睛】方法点睛：对于导数背景下的函数零点问题，我们可以针对不同的题型采取不同的策略：（1）填空题或选择题类：可以采用参变分离的方法把参数的范围问题归结为动直线与不含参数的函数的图象的交点问题，后者可以利用导数来刻画图象；（2）解题类：一般不可以利用参变分

11、离的方法来处理，因为函数的图象可能有渐近线，一般地利用导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理来判断.2已知函数 3sinf xxxax，则下列结论错误的是（）A fx是奇函数 B若0a，则 fx是增函数 C当3a 时，函数 fx恰有三个零点 D当3a 时，函数 fx恰有两个极值点【答案】C【分析】对 A,根据奇函数的定义判定即可.由条件可得 2cos3fxxxa，则 sin6fxxx，cos60fxx,所以 sin6fxxx 在R上单调递增,且 00f,所以当0 x 时，0fx，当0 x 时，0fx，则 2cos3fxxx在0，上单调递减，在0，上单调递增.则 01fxfa,将a的值代入分别

12、计算分析，可判断选项 B，C，D【详解】对 A,3sinf xxxax的定义域为R,且 3sinfxxxax 3sin()xxaxf x .故 A 正确.由条件可得 2cos3fxxxa，则 sin6fxxx，cos60fxx 所以 sin6fxxx 在R上单调递增,且 00f 所以当0 x 时，0fx，当0 x 时，0fx，则 2cos3fxxx在0，上单调递减，在0，上单调递增.则 01fxfa 对 B,当0a 时，2cos30fxxx，所以 f x是增函数，故 B 正确.对 C,当3a 时，由上可知,014fxfa，所以 f x是增函数,故不可能有 3 个零点.故 C 错误.对 D,当3

13、a 时，2cos33fxxx，由上可知在0，上单调递减，在0，上单调递增.则 min01 32fxf ，1cos10f ，1cos10f 所以存在121,0,0,1xx，使得 10fx，20fx成立 则在1,x上，0fx，在12,x x上，0fx，在2,x 上，0fx.所以函数 3sin3f xxxx在1,x单调递增，在12,x x的单调递减，在2,x 单调递增.所以函数 f x恰有两个极值点，故 D正确.故选：C【点睛】关键点睛：本题主要考查利用导数分析函数的单调性从而得出函数的零点和极值情况，解答本题的关键是对原函数的单调性分析，由条件可得 2cos3fxxxa，则 sin6fxxx，co

14、s60fxx 所以 sin6fxxx 在R上单调递增,且 00f，所以当0 x 时，0fx，当0 x 时，0fx，则 2cos3fxxx在0，上单调递减，在0，上单调递增.则 01fxfa，经过多次求导分析出单调性，属于中档题.3 已知函数xya（1a）与logayx（1a）的图象有且仅有两个公共点，则实数a的取值范围是（）A1e1ea B1ea C1eeea Dea 【答案】A【分析】将问题转化为1xyaa的图象与yx有两个公共点，即lnlnxax有两解，再构造新函数 ln xfxx，根据 f x的单调性和取值分析lna的取值即可得到结果.【详解】因为函数1,log1xayaayx a的图象

15、关于直线yx对称，所以两个图象的公共点在yx上，所以1xyaa的图象与yx有两个公共点，即xxa有两解，即lnlnxxa有两解，即lnlnxax有两解，令 ln xfxx，所以 21ln xfxx，当0,xe时，0fx，f x单调递增，当,xe时，0fx，f x单调递减，f x大致图象如下图所示：所以 10lnaf ee，所以11eae，故选：A.【点睛】结论点睛：函数图象的交点个数、方程根的数目、函数的零点个数之间的关系：已知 h xf xg x，则有 h x的零点个数方程 f xg x根的数目函数 f x与函数 g x的图象的交点个数.4已知函数 lnxf xexaxb，则下列说法正确的是

16、（）A存在a、bR，函数 f x没有零点 B任意bR，存在0a，函数 f x恰有1个零点 C任意0a，存在bR，函数 f x恰有2个零点 D任意bR，存在0a，函数 f x恰有3个零点【答案】B【分析】利用零点存在定理可判断 A选项的正误；分析出 0minfxfx，讨论当 00fx时，利用函数 f x的单调性与零点存在定理可判断 B 选项的正误；由 B选项可判断 C 选项的正误；令 lnxg xexax，可知当函数 f x恰有3个零点，函数 g x必有两个极值点，利用导数求得 g x的极大值为负数，进而可判断 D选项的正误.【详解】对于 A选项，当0 x 时，f x，当x 时，f x 时，所以

17、，对任意的a、bR，函数 f x必有零点，A选项错误；对于 B选项，1xfxeax，则 21xfxex，函数 fx在0,上单调递增，2329034fe，110fe，所以，存在02,13x使得 00fx.当00 xx时，0fx，此时函数 fx单调递减；当0 xx时，0fx，此时函数 fx单调递增.所以，00min01xfxfxeax.当0010 xaex时，对任意的0 x，0fx，此时函数 f x单调递增，由 A 选项可知，函数 f x有唯一的零点，B选项正确；对于 C选项，任意0a，由 B选项可知，当0010 xaex时，对任意的0 x，0fx，此时函数 f x单调递增，函数 f x至多有1个

18、零点，C选项错误；对于 D选项，令 lnxg xexax，则函数 f x的零点个数等价于直线yb与函数 g x的图象的交点个数，若函数 f x有三个零点，则函数 g x必有两个极值点1x、2x，且满足102xxx，1xgxeax，由题意可得 1211221010 xxgxeaxgxeax，且 gxfx，由于函数 g x在区间00,x上单调递减，在区间0,x 上单调递增，所以，当10 xx或2xx时，0gx，当12xxx时，0g x.所以，1111111111111lnln1ln1xxxxg xg xexaxexxex exx极大值，22221ln1xg xg xxex极小值，令 1ln1xh

19、xx ex，则 211xxh xxexexfxxx，由 B 选项可知，令 0h x，可得02,13xx使得 00h x，则0201xex，可得002lnxx.当00 xx时，0h x，此时函数 h x单调递增；当0 xx时，0h x，此时函数 h x单调递减.所以，000000022max0001111ln11122xxxxh xh xxexxxx 32000202222xxxx，函数 32222p xxxx在2,13上单调递减，27620327p，当213x时，203p xp，所以，0max0h xh x.所以，10g xg x极大值，因此，当0b 时，不存在0a 使得函数 f x有3个零点

20、，D选项错误.故选：B.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由 0f x 分离变量得出 ag x，将问题等价转化为直线ya与函数 yg x的图象的交点问题.5函数 22ln3xf xxexxk有且只有一个零点，则k的值为（）Aln5 B52ln 2 C2 Dln3【答案】B【分析】分离参数22

21、ln3xkxexx有一个交点，设 22ln3xg xxexx，利用导数求出 g x的单调区间，若 g x有且只有 1 个零点，所以 00g x，代入函数 g x求解即可.【详解】函数 22ln3xf xxexxk有且只有一个零点，22ln3xkxexx有一个交点，设 22ln3xg xxexx，则 2ee2xxgxxx，则 22e20 xgxxx，所以 fx单调递增.而102f，20f，所以存在01,22x使得 000002ee20 xxgxxx，即00021e0 xxx，且当00,xx时，0g x；当0,xx时，0gx.所以 g x在00,x单调递减，在0,x 单调递增.又因为0 x 且0

22、x 时，g x，x 时，g x，且 g x有且只有 1个零点，所以 00g x.由00021e0 xxx（02x）可得002e0 xx，即002exx，两边同时取自然对数得00ln2lnxx，整理得00lnln2xx；又00e2xx，所以 00000e2ln322ln 230 xf xxxxkk，所以52ln2k，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的零点，解题的关键是转化为求 22ln3xg xxexx的单调区间，考查了转化为与划归的思想.6已知函数 lnf xx，若函数 12g xkx与函数 yfx的图象有且仅有三个交点，则k的取值范围是（）A120,e）B1122,e

23、e C1122,00,ee D1122,00,ee【答案】C【分析】()g x的图象是直线，()f x的图象是()lnf xx的图象及关于y轴对称的图象，直线与()f x的图象要有三个交点，可求出直线与()yf x的图象相切时的斜率k，然后结合图象利用分类讨论思想可得结论【详解】易知函数 12g xkx的图象是过定点10,2P，斜率为k的直线，设为l；利用偶函数 fx的图象关于y轴对称的性质，作出 fx的图象如图所示（左右两支），其中1,0A，结合图形易知函数 g x与函数 fx的图象有且仅有三个交点时，直线l与左支有两个交点0k 或与右支有两个交点0k.当0k 时，直线l与 fx图象的右支相

24、切于点B为临界状态，且0PBkk.设000,1B x yx，1()fxx，则有00011ln2PBPBkxxkx，解得12012PBxeke，所以120ke；当0k 时，由于函数 fx的图象关于y轴对称，所以120ek.故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查直线与函数图象交点个数问题，解题方法是数形结合思想，即作出函数图象与直线，观察它们交点个数，求出临界点的直线斜率，然后得出结论 7已知函数 1,13ln,393xxf xxx，若函数 g xf xax有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A2 1,32 Bln3 11,932e C1ln312,3923e Dln312 10,9332e【

25、答案】D【分析】函数 g xf xax有两个不同的零点等价于方程()f xax有两个不同的根，即可得答案；【详解】函数 g xf xax有两个不同的零点等价于方程()f xax有两个不同的根，1,13,()ln3,39,xxxf xxxxx，令1()xu xx，212()()21xxu xxxx，()012,()023,u xxu xx ()u x在(1,2)递增，在(2,3)递减，12(1)0,(2),(3)23uuu 2()(0,3u x，且 令lnln33()33xxv xxx，39x，令3xt，则1 ln()3tyv xt，13t，21 1ln3tyt，当0yte，01yte ，03y

26、et，y在(1,)e递增，在(,3)e递减，且1ln3(1)0,(),(3)39yy eye 1()(0,3v xe，所以直线ya与1,13,()ln3,39,xxxf xxxxx有两个交点，可得a的取值范围为：ln312 10,9332e.故选：D.【点睛】利用参变全分离，再结合导数研究函数的图象特征，从而得到参数的取值范围，是常用的方法；本题若是采用半分离，图象不好作出，容易犯错.8已知函数()lnf xxax有两个零点，则实数a的取值范围为（）A1ae B0a C0a D10ae【答案】D【分析】求出 f x的导数，可得0a 时函数单调递增，不满足题意，0a 时，利用 max0f x可得

27、.【详解】可知 f x的定义域为0,，11axfxaxx，当0a 时，0fx恒成立，f x单调递增，则 f x不可能有两个零点；当0a 时，10,xa时，0fx，f x单调递增；1,xa时，0fx，f x单调递减，则 f x在1xa处取得极大值即最大值11ln1faa，要满足()lnf xxax有两个零点，则1ln10a，解得10ae，综上，10ae.故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的零点，根据零点个数求参数，一般如下步骤：（1）求出函数的定义域，求出函数的导数；（2）先讨论参数范围（以明显使得导数为正或负为参数界点讨论）；（3）利用导数正负讨论函数单调性，得出极值或最值；

28、（4）以极值或最值列出满足条件的等式或不等式，即可求出.9已知函数 22,02ln,0 xxfxaxxx x，若恰有 3 个互不相同的实数1x，2x，3x，使得 1232221232f xf xf xxxx，则实数a的取值范围为（）A1ae B10ae C0a D0a 或1ae 【答案】D【分析】根据题意，令 221,02ln2,0 xxf xxg xxxaxx，得到函数 2f xg xx与直线2y 共有三个不同的交点；根据导数的方法，分别判断0 x 和0 x 时，函数的单调性，以及最值，结合题中条件，即可得出结果.【详解】因为 22,02ln,0 xxfxaxxx x，令 221,02ln2

29、,0 xxf xxg xxxaxx，由题意，函数 2f xg xx与直线2y 共有三个不同的交点；当0 x 时，212xg xx，则 222232222 ln222ln22222xxxxxxxxxxgxxxx ，由 3ln2202xxgxx 解得222logln2xe ；所以2,2logxe 时，0g x，即函数 212xg xx单调递减；22log,0 xe 时，0gx，即函数 212xg xx单调递增；所以 222222min2log2212log2422log4 logeeeg xgeee，又212114 222122g，271128724927g，所以 212xg xx与直线2y 有且

30、仅有两个不同的交点；当0 x 时，ln2xg xax，则 21 ln xgxx，由 21ln0 xgxx得xe，所以当0,xe时，0gx，则函数 ln2xg xax单调递增；当,xe时，0g x，则函数 ln2xg xax单调递减；所以 max12g xg eae，又当1x时，ln22xg xaax；当01x时，2g xa；当xe时，ln22xg xaax，所以为使 ln2xg xax与直线2y 只有一个交点，只需122ae或22a，即1ae 或0a.故选：D.【点睛】本题主要考查由方程根的个数求参数，转化为函数交点个数问题求解即可，属于常考题型.10已知函数2()ln(2)(0)f xxax

31、ba xab x恰有三个零点，则（）A0a B0b C0ab D0ab【答案】A【分析】由函数式确定函数有一个零点 1，然后变形为：两个零点是方程ln(1)1xa xbx的两根确定ln()1xg xx 的单调性，同时求出1x 时，()g x的极限为1，从而作出函数()g x的图象，作直线(1)ya xb，由图象可得0a 时直线与()g x的图象才可能有两交点【详解】222()ln(2)ln(21)(1)ln(1)(1)f xxaxba xabxa xxb xxa xb x，显然1x 是函数的一个零点，因此另两个零点是方程ln(1)1xa xbx的两根 即函数ln()(01xg xxx 且1)x

32、 的图象与直线(1)ya xb有两个交点，直线(1)ya xb过点(1,)b，2211lnln1()(1)(1)xxxxxg xxx ，设1()ln1h xxx，则22111()xh xxxx，01x时，()0h x，()h x递减，1x 时，()0h x，()h x递增，；()(1)0h xh；0 x 且1x 时，()0g x，；()g x在(0,1)和(1,)上都是增函数，又1111lnlim()limlim111xxxxxg xx，因此定义(1)1g，这样新函数()g x在(0,)上是增函数，作出函数ln,01()11,1xxxg xxx且的图象，作直线(1)ya xb，显然只有0a，它

33、们才可能有两个交点 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是把零点转化为方程的解，再转化为函数图象与直线的交点，通过导数研究出新函数的性质，作出大致图象，可得直线与函数图象交点个数情况，从而得解 11已知函数 lnf xaxxa aR 有两个零点，则a的取值范围（）A,e B2,e C,e D2,e【答案】D【分析】求导，分类讨论a，当0a 时，函数()f x在(0,)上为增函数，()f x最多只有一个零点，不符合题意；当0a 时，()f x在(0,)a上递增，在(,)a 上递减，()f x取得最大值()ln2f aaaa，由()ln20f aaaa解得结果即可得解.【详解】()f x的定

34、义域为(0,)，()1aaxfxxx，当0a 时，()0fx，函数()f x在(0,)上为增函数，()f x最多只有一个零点，不符合题意；当0a 时，由()0fx得xa，由()0fx得0 xa，所以()f x在(0,)a上递增，在(,)a 上递减，所以当xa时，()f x取得最大值()ln2f aaaa，因为x趋近于0时，()f x趋近于负无穷大，x趋近于正无穷大时，()f x趋近于负无穷大，所以要使()f x有两个零点，只需()ln20f aaaa，因为0a，所以ln2a，所以2ae.故选：D【点睛】方法点睛：已知函数零点的个数求参数值(取值范围)常用的方法：利用导数判断函数的单调性，研究函

35、数的极值与最值，根据函数变化趋势作出大致图象，通过图象直观分析解决问题.12若函数2()xf xmxe 恰有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A1,1e B1,e C(1,)e D(,)e 【答案】B【分析】根据题意，得到方程有两不等实根，构造函数2()xeg xx，0 x，对其求导，判定函数单调性，求出极值，画出函数大致图像，结合图像，即可得出结果.【详解】显然，0 x 不是函数()f x的零点，令2()0 xf xmxe，得2xemx，构造函数2()xeg xx，0 x，则22(1)()xexg xx，令()0g x得到1x，令()0g x得到1x 且0 x，即函数2()xeg xx

36、在,0上单调递减，在0,1上单调递减，在1,上单调递增；所以函数2()xeg xx有极小值1(1)ge；画出函数()g x的图象，如图所示，由图像可知，当0m 时，直线ym与()g x的图象不可能有两个交点，当0m，只需1me，()g x的图象与直线ym即有两个不同的交点，即函数2()xf xmxe 恰有两个不同的零点，；m的取值范围为1,e.故选：B.【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的零点，利用数形结合的方法即可求解，属于常考题型.二、多选题 13函数 ln1xxkfxex在0,上有唯一零点0 x，则（）A001xx e B0112x C1k D1k 【答案】ABC【分析】由 0f x

37、，可得出lnxxkxexe，令 xu xxe，0 x，利用导数得出函数 u x在0,上为增函数，再令 lng ttt，其中0t，利用导数分析函数 g t在0,上的单调性，可求得1k，可判断 ACD选项的正误，再结合函数 u x的单调性可判断 B 选项的正误.【详解】由 0f x，可得ln0 xxexxk，即lnxxkxexe，令 xu xxe，其中0 x，则 10 xuxxe，所以，函数 xu xxe在区间0,上单调递增，则 00u xu，令 lng ttt，其中0t，111tg ttt.当01t 时，0g t，此时函数 g t单调递减；当1t 时，0g t，此时函数 g t单调递增.所以，m

38、in11g tg.若函数 f x在0,上有唯一零点0 x，则1k.所以，0001xu xx e，由于函数 u x在0,上单调递增，1122eu，11ue，即 0112uu xu，0112x，所以，ABC选项正确，D选项错误.故选：ABC.【点睛】利用导数求解函数的零点个数问题，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程（或不等式）组求解，实现形与数的和谐统一.14已知函数 1lnf xxxx，给出下列四个结论，其中正确的是（）A曲线 yf x在1x 处的切线方程为10 xy B f x恰有 2 个零点 C f x既有最大值，又有最小值

39、D若120 x x 且 120f xf x，则121x x【答案】BD【分析】本题首先可根据 10f 以及13f判断出 A 错误，然后根据当0 x 时的函数单调性、当0 x 时的函数单调性、10f 以及 10f判断出 B 正确和 C错误，最后根据 120f xf x得出 121f xfx，根据函数单调性即可证得121x x，D正确.【详解】函数 1lnf xxxx的定义域为,00,，当0 x 时，1lnf xxxx，2221111xxfxxxx；当0 x 时，1lnfxxxx，2221111xxfxxxx，A 项：1ln 11 10f，2211 1131f，则曲线 yf x在1x 处的切线方程

40、为031yx，即33yx，A 错误；B项：当0 x 时，2222151240 xxxfxxx，函数 f x是减函数，当0 x 时，2222151240 xxxfxxx，函数 f x是减函数，因为 10f，10f，所以函数 f x恰有 2个零点，B正确；C项：由函数 f x的单调性易知，C错误；D 项：当1 0 x、20 x 时，因为 120f xf x，所以1222222221111lnlnfxfxxxxfxxxx，因为 f x在0,上为减函数，所以121xx，120 x x，同理可证得当10 x、20 x 时命题也成立，D正确，故选：BD.【点睛】本题考查函数在某点处的切线求法以及函数单调性

41、的应用，考查根据导函数求函数在某点处的切线以及函数单调性，导函数值即切线斜率，若导函数值大于0，则函数是增函数，若导函数值小于0，则函数是减函数，考查函数方程思想，考查运算能力，是难题.15已知函数 2+cos4xf xxxR，则下列说法正确的有（）A直线 y=0 为曲线 y=f(x)的一条切线 Bf(x)的极值点个数为 3 Cf(x)的零点个数为 4 D若 f(1x)=f(2x)(1 x2x)，则1x+2x=0【答案】ABD【分析】求导 2sinxfxx xR，令0fx，即2sinxx，令1sinyx，22xy，在同一坐标系中作出两函数的图像，得出导函数取得正负的区间，从而可得出原函数的单调

42、性，再求出 0f，2f，2f，可作出函数 f x的图象，从而可得出选项.【详解】因为 2+cos4xf xxxR，所以 2sinxfxx xR，令0fx，即2sinxx，令1sinyx，22xy，在同一坐标系中作出两函数的图像，由图像得：当,2x和,02x 时，2sinxx，所以此时 0fx，所以 f x在,02和,2 上单调递增；当,2x 和02x，时，2sin xx，所以此时 0fx，所以 f x在2，和0,2上单调递减；且 014f，22+cos0224f，22+cos0224f，作出函数 f x的图象如下图所示：对于 A选项：根据函数的图象，知 A选项正确；对于 B：由图象得0fx有

43、3 个不同的解，有 3 个极值点，故 B正确；对于 C：当2x或2x 时，0f x，所以函数 f x有 2个零点，故 C 不正确；对于 D：因为 22+cos+cos44xxfxxxf x，所以函数 f x是偶函数，所以函数 f x关于 y轴对称，若 12f xf x，则 122f xf xfx，所以12xx，即12+0 xx，故 D 正确.故选：ABD.【点睛】本题考查运用导函数求函数的切线方程，运用导函数研究函数的单调性，极值，零点，关键在于由导函数的正负，得出原函数所对应的单调性，从而得出原函数的图象趋势，运用数形结合的思想解决问题，属于中档题.16已知函数 lnf xxmx有两个零点1

44、x、2x，且12xx，则下列结论不正确的是（）A10me B21xx的值随m的增大而减小 C101x D2xe【答案】ABD【分析】由 0f x 得出lnxmx，构造函数 ln xg xx，利用导数分析函数 g x的单调性与极值，数形结合可判断 ACD 选项的正误；任取1m、210,me，且12mm，设 121ggm，其中121e；设 122ggm，其中121e，利用函数 g x的单调性结合不等式的基本性质得出2121，可判断 B选项的正误.【详解】令 0f x，可得lnxmx，构造函数 ln xg xx，定义域为0,，1ln xgxx.当0 xe时，0gx，此时函数 g x单调递增；当xe时

45、，0g x，此时函数 g x单调递减.所以，max1g xg ee，如下图所示：由图象可知，当10me时，直线ym与函数 ln xg xx的图象有两个交点，A 选项正确；当1x 时，0g x，由图象可得11xe，2xe，C选项错误，D 选项正确；任取1m、210,me，且12mm，设 121ggm，其中121e；设 122ggm，其中121e.由于函数 g x在区间1,e上单调递增，且 11gg，11；函数 g x在区间,e 上单调递减，且 22gg，22.由不等式的基本性质可得1212，则2121.所以，21xx的值随m的增大而减小，B选项正确.故选：ABD.【点睛】在利用导数研究函数的零点

46、问题个数中，可转化为判定 mg x有两个实根时实数m应满足的条件，并注 意 g x的单调性、奇偶性、最值的灵活应用另外还可作出函数 yg x的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证 三、解答题 17已知函数 sinf xx，cosxg xex（1）讨论函数 g xh xf x在0,上的单调性；（2）求函数 H xg xxf x在,4 2上的零点个数【答案】（1）函数在0,上的单调递减；（2）有且只有一个零点【分析】（1）由题设得 e cossinxxh xx，求导 21esin212sinxxhxx，可判断 0h x，故函数 g xh xf x在0,上的单调递减（2）由

47、题设 e cossinxH xxxx，求 ecossincossinxHxxxxxx，可判断 0Hx，故函数 H x在,4 2上单调递减，又04H，02H，可知函数 H xg xxf x在,4 2上有且只有一个零点【详解】（1）e cossinxxh xx，则 221esin21esincos12sinsinxxxxxhxxx 当0,x时，0 xe，2sin0 x，11 1sin2,222x，即1sin 2102x，0h x，故函数 g xh xf x在0,上的单调递减（2）e cossinxH xg xxfxxxx，则 e cose sincossinxxHxxxxxxecossincoss

48、inxxxxxx，,4 2x时，cos0 xx，sin0 x，又cossin2cos4xxx，且3,424x，cossin0 xx 0Hx，故函数 H x在,4 2上单调递减，又42e0424H，022H，因此，函数 H xg xxf x在,4 2上有且只有一个零点【点睛】方法点睛：本题考查判断函数单调性，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：（1）方程法：令 0f x，如果能求出解，有几个解就有几个零点（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间,a b上是连续不断的曲线，且 0f af b，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或

49、零点值所具有的性质（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 18已知函数 lnxxxf xaxaeR（1）当1ae时，求函数 f x的单调区间；（2）若函数 f x只有 1 个零点，求实数a的取值范围【答案】（1）f x的单调递减区间是0,1，单调递增区间1,；（2）1,0e .【分析】（1）由1ae得到 f x，求得 fx，然后由 0,0fxfx求解.（2）由 0f x 得到lnxxxaxe，令 ln0 xxxG xxe，将问题转化为yax与函数 G x的图象有且只有一个交点，利用导数法画出

50、G x的大致图象，利用数形结合法求解.【详解】（1）f x的定义域是0,，当1ae时，lnxxxxf xee，1111ln1ln1xxxxxexxxxfxeee，易知111lnxyexxx 单调递增，且当1x 时，0y，所以当1x 时，0fx，当01x时，0fx，因此 f x的单调递减区间是0,1，单调递增区间1,（2）由 0f x，得lnxxxaxe，令 ln0 xxxG xxe，若函数 f x只有一个零点，则直线yax与函数 G x的图象有且只有一个交点 2111ln1lnxxxxexx exxxxGxee，令 11ln0H xxx xx，则 21110Hxxx ，所以 H x在0,上单调