中考数学几何压轴题(辅助线专题复习).pdf

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1、中考压轴题专题几何（辅助线）精选 1.如图，RtABC中，ABC=90，DE垂直平分AC，垂足为O，ADBC，且AB=3，BC=4，则AD的长为 精选 2如图，ABC中，C60，CAB与CBA的平分线AE，BF相交于点D，求证：DEDF 精选 3.已知：如图，O 的直径 AB=8cm，P 是 AB 延长线上的一点，过点 P 作O 的切线，切点为 C，连接 AC(1)若ACP=120，求阴影部分的面积；(2)若点 P 在 AB 的延长线上运动，CPA 的平分线交 AC 于点 M，CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出CMP 的度数。DABCEF精选 4、如图 1，RtABC

2、 中，ACB=90，AC=3，BC=4，点 O 是斜边 AB 上一动点，以OA 为半径作O 与 AC 边交于点 P，（1）当 OA=时，求点 O 到 BC 的距离；（2）如图 1，当 OA=时，求证：直线 BC 与O 相切；此时线段 AP 的长是多少？（3）若 BC 边与O 有公共点，直接写出 OA 的取值范围；（4）若 CO 平分ACB，则线段 AP 的长是多少？精选 5如图，已知ABC为等边三角形，BDC120，AD平分BDC，求证：BD+DCAD ECADB精选 6、已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处（第 6 题图）（1）如图 1，已知折

3、痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA 求证：OCPPDA；若OCP与PDA的面积比为 1：4，求边AB的长；（2）若图 1 中的点P恰好是CD边的中点，求OAB的度数；（3）如图 2，擦去折痕AO、线段OP，连结BP动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作MEBP于点E试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度 精选 7、如图，四边形 ABCD 是边长为 2，一个锐角等于 60的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点 D 重合，按顺时针方向旋转三

4、角形纸片，使它的两边分别交 CB、BA（或它们的延长线）于点 E、F，EDF=60，当 CE=AF 时，如图 1 小芳同学得出的结论是 DE=DF（1）继续旋转三角形纸片，当 CEAF 时，如图 2 小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（2）再次旋转三角形纸片，当点 E、F 分别在 CB、BA 的延长线上时，如图 3 请直接写出DE 与 DF 的数量关系；（3）连 EF，若DEF 的面积为 y，CE=x，求 y 与 x 的关系式，并指出当 x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？精选 8、等腰 RtABC 中，BAC=90，点 A、点 B 分别是 x 轴、y 轴两个动

5、点，直角边AC 交 x 轴于点 D，斜边 BC 交 y 轴于点 E；（1）如图（1），若 A（0，1），B（2，0），求 C 点的坐标；（2）如图（2），当等腰 RtABC 运动到使点 D 恰为 AC 中点时，连接 DE，求证：ADB=CDE（3）如图（3），在等腰 RtABC 不断运动的过程中，若满足 BD 始终是ABC 的平分线，试探究：线段 OA、OD、BD 三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由 精选 9如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线1l、2l、3l、4l上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为1h、2h、3h123(000)hhh，（1）求证：31hh；（2）

6、设正方形ABCD的面积为S，求证：22121()Shhh；（3）若12312hh，当1h变化时，说明正方形ABCD的面积 S随1h的变化情况 l1 l2 l3 l4 h3 h2 h1 A C D B 第题图 参考答案 精选 1 解：RtABC中，ABC=90，AB=3，BC=4，AC=5，DE垂直平分AC，垂足为O，OA=AC=，AOD=B=90，ADBC，A=C，AODCBA，=，即=，解得AD=故答案为：精选 2 证明：在AB上截取AG，使AG=AF，易证ADFADG（SAS）DFDGC60，AD，BD是角平分线，易证ADB=120 ADFADGBDGBDE60 易证BDEBDG（ASA）

7、DEDGDF 精选 3、解：（1）连接 OC PC 为O 的切线，DABCEFG PCOC PCO=90 度 ACP=120 ACO=30 OC=OA，A=ACO=30 度 BOC=60 OC=4 S阴影=SOPCS扇形 BOC=；（2）CMP 的大小不变，CMP=45 由（1）知BOC+OPC=90 PM 平分APC APM=APC A=BOC PMC=A+APM=（BOC+OPC）=45 精选 4、解：（1）在 RtABE 中，（1 分）过点 O 作 ODBC 于点 D，则 ODAC，ODBACB，点 O 到 BC 的距离为（3 分）（2）证明：过点 O 作 OEBC 于点 E，OFAC

8、于点 F，OEBACB，直线 BC 与O 相切（5 分）此时，四边形 OECF 为矩形，AF=ACFC=3=，OFAC，AP=2AF=（7 分）（3）；（9 分）（4）过点 O 作 OGAC 于点 G，OHBC 于点 H，则四边形 OGCH 是矩形，且 AP=2AG，又CO 平分ACB，OG=OH，矩形 OGCH 是正方形（10 分）设正方形 OGCH 的边长为 x，则 AG=3x，OGBC，AOGABC，AP=2AG=（12 分）精选 5、证法 1：（截长）如图，截DF=DB，易证DBF为等边三角，然后证BDCBFA即可；证法 2：（截长）如图，截DF=DC，易证DCF为等边三角，然后证BD

9、CAFC即可；证法 3：（补短）如图，延长BD至F，使DF=DC，此时BD+DC=BD+DF=BF，易证DCF为等边，再证BCFACD即可 证法 4：（四点共圆）两组对角分别互补的四边形四个顶点共圆 设ABACBCa，根据（圆内接四边形）托勒密定理：CDaBDaADa，得证 FFF 精选 6、解：（1）如图 1，四边形ABCD是矩形，AD=BC，DC=AB，DAB=B=C=D=90 由折叠可得：AP=AB，PO=BO，PAO=BAOAPO=B APO=90 APD=90CPO=POC D=C，APD=POC OCPPDA OCP与PDA的面积比为 1：4，=PD=2OC，PA=2OP，DA=2

10、CP AD=8，CP=4，BC=8 设OP=x，则OB=x，CO=8x 在RtPCO中，C=90，CP=4，OP=x，CO=8x，x2=（8x）2+42 解得：x=5 AB=AP=2OP=10 边AB的长为 10（2）如图 1，P是CD边的中点，DP=DC DC=AB，AB=AP，DP=AP D=90，sinDAP=DAP=30 DAB=90，PAO=BAO，DAP=30，OAB=30 OAB的度数为 30（3）作MQAN，交PB于点Q，如图 2 AP=AB，MQAN，APB=ABP，ABP=MQP APB=MQP MP=MQ MP=MQ，MEPQ，PE=EQ=PQ BN=PM，MP=MQ，B

11、N=QM MQAN，QMF=BNF 在MFQ和NFB中，MFQNFB QF=BF QF=QB EF=EQ+QF=PQ+QB=PB 由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，C=90 PB=4 EF=PB=2 在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为 2 精选 7、解：（1）DF=DE理由如下：如答图 1，连接 BD 四边形 ABCD 是菱形，AD=AB 又A=60，ABD 是等边三角形，AD=BD，ADB=60，DBE=A=60 EDF=60，ADF=BDE在ADF 与BDE 中，ADFBDE（ASA），DF=DE；（2）DF=DE理由如下：如答图 2，连接 BD四

12、边形 ABCD 是菱形，AD=AB 又A=60，ABD 是等边三角形，AD=BD，ADB=60，DBE=A=60 EDF=60，ADF=BDE 在ADF 与BDE 中，ADFBDE（ASA），DF=DE；（3）由（2）知，ADFBDE则 SADF=SBDE，AF=BE=x 依题意得：y=SBEF+SABD=（2+x）xsin60+22sin60=（x+1）2+即 y=（x+1）2+0，该抛物线的开口方向向上，当 x=0 即点 E、B 重合时，y最小值=精选 8、（1）解：过点 C 作 CFy 轴于点 F，AFC=90，CAF+ACF=90 ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，AC=AB，C

13、AF+BAO=90，AFC=BAC，ACF=BAO 在ACF 和ABO 中，ACFABO（AAS）CF=OA=1，AF=OB=2 OF=1 C（1，1）；（2）证明：过点 C 作 CGAC 交 y 轴于点 G，ACG=BAC=90，AGC+GAC=90 CAG+BAO=90，AGC=BAO ADO+DAO=90，DAO+BAO=90，ADO=BAO，AGC=ADO 在ACG 和ABD 中 ACGABD（AAS），CG=AD=CD ACB=ABC=45，DCE=GCE=45，在DCE 和GCE 中，DCEGCE（SAS），CDE=G，ADB=CDE；（3）解：在 OB 上截取 OH=OD，连接

14、AH 由对称性得 AD=AH，ADH=AHD ADH=BAO BAO=AHD BD 是ABC 的平分线，ABO=EBO，AOB=EOB=90 在AOB 和EOB 中，AOBEOB（ASA），AB=EB，AO=EO，BAO=BEO，AHD=ADH=BAO=BEO AEC=BHA 在AEC 和BHA 中，ACEBAH（AAS）AE=BH=2OA DH=2OD BD=2（OA+OD）精选 9、（1）证：设2ADl与交于点E，BC与3l交于点F，由已知BFEDBEFD，四边形BEDF是平行四边形，BEDF 又CDFRtABERtCDAB，31hh （2）证：作44BGlDHl，垂足分别为GH、，在Rt

15、RtBGCCHD和中，1809090BCGDCHBCDCDHDCH，BCGCDH 又90BGCCHDBCCD，2RtRtBGCCHDCGDHh，又22222223232121()()BGhhBCBGCGhhhhh h，222121()SBChhh（3）解：1221331122hhhh，2222121111355241124455Shhhhhh ，1211320010023hhhh ，当1205h时，S随1h的增大而减小；当12253h时，S随1h的增大而增大 l1 l2 l3 l4 h3 h2 h1 A C D B G E H l1 l2 l3 l4 h3 h2 h1 A C D B F E