极坐标和参数方程基础知识及重点题型_1.pdf

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1、.1/4 高中数学回归课本校本教材 24 一基础知识 参数极坐标 1.极坐标定义：M 是平面上一点,表示 OM 的长度,是MOx,则有序实数实数对(,),叫极径,叫极角；一般地,0,2),0.2.常见的曲线的极坐标方程 1直线过点 M00(,),倾斜角为常见的等量关系：正弦定理sinsinOPOMOMPOPM,0OMPOPM；2圆心 P00(,)半径为 R 的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理；3 圆锥曲线极坐标：1cosepe,当1e 时,方程表示双曲线；当1e 时,方程表示抛物线；当01e时,方程表示椭圆.提醒：极点是焦点,一般不是直角坐标下的坐标原点.极坐标方程324cos表示的曲

2、线是双曲线 3.参数方程：1圆222()()xaxbr的参数方程：cos,sinxarxbr 2椭圆22221xyab的参数方程：cos,sinxaxb 3直线过点 M00(,)xy,倾斜角为的参数方程：00tanyyxx即00cossinxxyyt,即00cossinxxtyyt注：0cosxxt,0sinyyt据 锐 角 三 角 函 数 定 义,T 几 何 意 义 是 有 向 线 段MP的 数 量00000()00.tlMM xyM MM MMMtMMt其中 表示直线 上以定点为起点，任意一点，为终点的有向线段的数量，当点在的上方时，；当点在的下方时，；如：将参数方程222sin(sinx

3、y 为参数)化为普通方程为2(23)yxx将2siny代入22sinx即可,但是20sin1；4.极坐标和直角坐标互化公式：cossinxy 或222tan(0)xyyxx,的象限由点所在象限确定.1它们互化的条件则是：极点与原点重合,极轴与 x 轴正半轴重合.2将点(,)变成直角坐标(cos,sin),也可以根据几何意义和三角函数的定义获得.5.极坐标的几个注意点：1 极坐标和直角坐标转化的必要条件是具有共同的坐标原点如：已知圆C的参数方程为32cos2sinxy 为参数,若P是圆C与y轴正半轴的交点,以圆心C为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求过点P的圆C的切线的极坐标方程.5cos

4、()26 如：已知抛物线24yx,以焦点 F 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求抛物线的极坐标方程.即21cos.2对极坐标中的极径和参数方程中的参数的几何意义认识不足 如：已知椭圆的长轴长为 6,焦距124 2FF,过椭圆左焦点 F1作一直线,交椭圆于两点 M、N,设21(0)F FM,当为何值时,MN 与椭圆短轴长相等？566或 3直角坐标和极坐标一般不要混合使用：如：已知某曲线的极坐标方程为22 2 sin()204.1将上述曲线方程化为普通方程；2若点(,)P x y是该曲线上任意点,求xy的取值 X 围.22 2,22 2 二基本计算.2/4 1.求点的极坐标：有序实数实数对

5、(,),叫极径,叫极角；如：点M的直角坐标是(1,3),则点M的极坐标为2(2,)3提示：2(2,2),3kkZ都是点M的极坐标.2.求曲线轨迹的方程步骤：1 建立坐标系；2 在曲线上取一点 P(,)；3 写出等式；4 根据,几何意义用,表示上述等式,并化简注意：,xy；5验证.如：长为2a的线段,其端点在Ox轴和Oy轴正方向上滑动,从原点作这条线段的垂线,垂足为M,求点M的轨迹的极坐标方程Ox轴为极轴,再化为直角坐标方程.解：设点M的极坐标为(,),则OBMAOM,且|2 sinOAa,|cos2 sincossin2OAaa,点M 的轨迹的极坐标方程为sin2(0)2a.由sin2a可得3

6、22sincosa,3222()2xyaxy其直角坐标方程为3222()2(0,0)xyaxy xy.3.求轨迹方程的常用方法：直接法：直接通过建立x、y之间的关系,构成(,)0F x y,是求轨迹最基本的方法.待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回方程 代入法.如：从极点作圆2 cosa的弦,求各弦中点的轨迹方程.解:设所求曲线上的动点M的极坐标为(,),圆2 cosa上的动点的极坐标为11(,)由题设可知,112,将其代入圆的方程得:cos()22a.定义法：如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义,则可由曲线定义直接写出方程.交轨法：当动点(,)P x y坐

7、标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x、y均用一中间变量表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.4.参数和极径的几何意义的运用：表示 OM 的长度；T 几何意义是有向线段MP的数量；如：已知过点(9,3)P的直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于 A B 两点,则 AB 最小值为8 3提示：设9cos3sinxtyt倾斜角为,则12ABtt或AB=12|tt,1293,cossintt ,则93()cossinl,229sin3cos()cossinl33229sin3coscossin令()0l,3331tan9(3)所以,1tan,1503,min93()(150)8

8、3cos150sin150ll注意：本题可以取倾斜角的补角为如过抛物线28yx的焦点F作倾斜角为4的直线,交抛物线于,A B两点,求线段AB的长度.解：对此抛物线有1,4ep,所 以 抛 物 线 的 极 坐 标 方 程 为41cos,A B两 点 的 极 坐 标 分 别 为4和54,|4(1 cos 4)4(22)FA,|4(1 cos5 4)4(22)FB,|16ABFAFB.线段AB的长度为16.5.参数方程的应用-求最值：如：已知点(,)P x y是圆222xyy上的动点,1求2xy的取值 X 围；2若0 xya恒成立,#数a的取值 X 围.51,51.2cossin10 xyaa 21

9、,).如：在 椭 圆2211612xy上 找 一 点,使 这 一 点 到 直 线2120 xy的 距 离 的 最 小 值.解：设 椭 圆 的 参 数 方 程 为4cos2 3sinxy,4cos4 3sin125d4 54 5cos3sin32cos()3553 当cos()13,即53时,min4 55d,此时所求点为(2,3).C.选修 4 4 参数方程与极坐标 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合.若曲线 C1的方程为28 sin15,.3/4 曲线 C2的方程为2 2cos,(2sinxy为参数）.1将 C1的方程化为直角坐标方程；2若 C2上的点 Q 对应

10、的参数为3=4,P 为 C1上的动点,求 PQ 的最小值.提示：1228150 xyy 2当34时,得(2,1)Q,点Q到1C的圆心的距离为13,所以PQ的最小值为131 在极坐标系中,求经过三点 O,A,B的圆的极坐标方程 解：设(,)P 是所求圆上的任意一点,则cos()4OPOB,故所求的圆的极坐标方程为2 2cos()4 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合.若直线l的极坐标方程为23)4sin(.1把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程；2已知P为椭圆1916:22yxC上一点已知曲线 C 的参数方程为4cos3sinxy，为参数,求P到直线l的距离的最大

11、值.解：1直线 l 的极坐标方程sin3 24,则22sincos3 222,即sincos6,所以直线 l 的直角坐标方程为60 xy；2P 为椭圆221169xyC:上一点,设(4cos3sin)P,其中0 2),则 P 到直线 l 的距离|4cos3sin6|5cos()6|22d,其中4cos5 所以当cos()1时,d的最大值为1122 在极坐标系中,圆C的方程为2 2sin()4,以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为,12xtyt t为参数,判断直线l和圆C的位置关系 解：消去参数t,得直线l的直角坐标方程为21yx；2 2(sin)4即2(s

12、incos),两边同乘以得22(sincos),得C的直角坐标方程为：22(1)(1)2xx,圆心C到直线l的距离22|21 1|2 52521d,所以直线l和C相交 x B A O P.4/4 已知曲线C的极坐标方程是2sin,直线l的参数方程是32,545xtyt t为参数 1将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；2设直线l与x轴的交点是M,N是曲线C上一动点,求MN的最大值.解：1曲线C的极坐标方程可化为22 sin 又222,cos,sinxyxy,所以曲线C的直角坐标方程为2220 xyy 2将直线 l 的参数方程化为直角坐标方程,得4(2)3yx 令0y,得2x,即M点的坐标为.又曲线C为圆,圆C的圆心坐标为,半径1r,则5MC 所以51MNMCr