精算师考试金融数学课本知识精粹.pdf

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1、 第一篇：利息理论 第一章：利息的基本概念 tt0nt0()=()()()(0)1)(dra ta ta teA ndtA nA、有关利息力:()()11(1)1(1)(1)2mpmpidivdemp 、=131 ttiitdid、但贴单利率下的利息力：现下的利息力 4严格单利法（英国法）投资期的确定 常规单利法（欧洲大陆法）银行家规则（欧洲货币法）、11nk kknkks tts5、等时间法：第二章 年金.1.1+i11+i1nnnnnnnnaaaassss（1）、（1）.2mnm nmmnm nmv aaav aaa、3、零头付款问题：（1）上浮式（2）常规（3）扣减式 4：变利率年金（1

2、）各付款期间段的利率不同 （2）各付款所依据的利率不同 5、付款频率与计息频率不同的年金（1）付款频率低于计息频率的年金:1.1.nknkknknkkassissaasiaa现值期末付年金：永续年金现值：终值：现值：期初付年金：永续年金现值：终值:（2）付款频率高于计息频率的年金()()()()()().()()().()1:1.(1)111.(1)1nmmnmnmmnmnnmmmnnmvaiiiivaddisi现值期末付年金：永续年金现值：终值：s现值：期初付年金：永续年金现值：终值:（3）连续年金（注意：与永续年金的区别）001(1)1(1)nntnnnntnvav dtisidt 6、基

3、本年金变化（1）各年付款额为等差数列 0.0-101()()()=()+()=()+()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnanvVpaQiananvIaaiianvnaDanaiiVIavDaaaVIavDaaa现值期末付虹式年金：期末付平顶虹式年金:（2）各年付款额为等比数列 0000:11()1:1:nik VkniVik Vikiik V 不存在不存在存在 7、更一般变化的年金：（1）在()nIa的基础上，付款频率小于计息频率的形式 0=nnkkanvakVis（2）在()nIa的基础上，付款频率大于计息频率的形式 ()().()()()()nmnmnnnmmnanvIaia

4、nvIai（m）每个计息期内的 m 次付款额保持不变每个计息期内的 m 次付款额保持不变（3）连续变化年金：1：有 n 个计息期，利率为 i，在 t 时刻付款率为 t,其现值为()nnnanvI a 2：有 n 个计息期，利率为 i，在 t 时刻付款率为()f t,其现值为 0(0)()ntVf t vdt 第三章 收益率 1、收益率（内部收益率）由0(0)0ntttVv R可求出 2、收益率的唯一性：（1）若在 0n 期间内存在一时刻 t，t 之后的期间里现金流向是一致的，t 之前的期内的现金流向也一致，并且这两个流向方向相反，则收益率唯一。（2）若在 0n-1 内各发生现金流的时刻，投资（

5、包括支出及回收，总称投资）的积累额大于 0，则该现金流唯一。3、再投资收益率：（1）情形一：在时刻 0 投资 1 单位，t 时刻的积累值:1nis（2）情 形 二：在 标 准 金 中,t时 刻 的 积 累 值：1()nnsnni Isnij 4、基金收益率：A：期初基金的资本量 B：期末基金的本息和 I：投资期内基金所得收入 tC：t 时刻的现金流（01t）C：在此期间的现金流之和ttCC，（1）(1)ttIiACt（2）2IiABI（现金流在 0-1 期间内均匀分布）（3）(1)(1)IikAk Bk I（其中(/)ttktCC）注意：上述求收益率的方法也叫投资额加权收益率 5、时间加权收益

6、率 12(1)(1)()1miiiii 6、投资组合法：计算出一个基于整个基金所得的平均收益率，然后根据每个资金账户所占比列与投资时间长度分配基金收益 投资年法：按最初投资时间和投资所持续的时间，以及与各时间相联系的利率，积累值为：12112(1+)(1)(1).(1+)(1)(1)(1).(1+).yyykyyyy my kmCiiikmCiiiiikm（m 为投资年法的年数，即若投资时间未满 m 年，利用投资年法计算收益；若超过部分按投资组合法计算收益率。在 y 年投资第 t 年收益率记为yti）7、股息贴现模型（1）每期末支付股息tD，假定该股票的收益率为 r,则它的理论价格为：1(1)

7、nnnDpr（2）每期末支付股息以公比（1+g）呈等比增长，假定该股票的收益率为 r,-1g1，d1。与此相对，股票看涨期权的初始价值为 c，在下一期（欧式期权的到期日）伴随着股票价格的上涨或下跌，该期权合约的价格也有两种可能，即要么上升至 cu，要么下降至 cd，作图。二叉树、节点、路径 例 8-1 设股票的现价(S)为$100,3 月看涨期权的执行价格(K)为$110。在 U=1.3 和 d=0.9 情况下，期权价值？解：资产目前成本与未来价值$130-$20=$90 (风险中性假定）=0.5 股票上涨：VT=$130 0.5-$20=$45 股票下跌：VT=$90 x0.5=$45 根据

8、有效市场的假设，在不冒风险的情况下，人们在金融市场上只能赚得无风险利率。换言之，资产组合在当前的价值，是其在到期日的价值($45)按无风险利率进行贴现后的现值。假定无风险利率为 10%，而且按连续复利进行贴现，那么：V0=$45xe-10%x0.25=$43.89 43.89=100 x0.5-c C=50-43.89=$6.11 2、N 期模型的通用公式 !(1)max(,0)!()!(1)max(,0)!()!nrTjn jjn jj onrTjn jjn jj onc eqqsu dkj njnp eqqk su dj nj redqud 3、Black-Scholes 模型()1221

9、21(,)S()()1log()()2r Tttttf t SdKedSrTtKdTtddTt其中：4、希腊字母及其意义：（1）、tffS 为衍生品德价格 意义：度量了基础资产价格波动对衍生品价格的影响，因此是对基础资产价格敏感性的度量。（基础资产本身的=1）可以通过资产组合达到中立状态，即=0.（2）22=ttfSS 意义：度量了基础资产价格的变化对影响，即度量了衍生品 价格与基础资产价格之间的凹凸性。若某个时刻基础资产处于=0，当基础资产价格发生变化时资产组合新的加权可能不为 0.如果0，则资产价格的上升将使得资产组合的0：风险厌恶系数 6、风险厌恶的度量：()()()()()()E U

10、wU wE U wU wE U wU w 绝对风险厌恶系数：()A()wUwU w 相对风险厌恶系数：()()wwUwRU w 7、两风险资产组合()()(1)()PABE RwE Rw E R 222()(1)2(1)RABABABwwww 8、一个风险资产 A 无风险资产 投资组合收益率(1)PfARw rwR 投资组合期望收益率：()(1)()pfAE Rw rwE R 投资组合标准差：PAw 9、风险报酬率（Sharpe 比率）()AfAE Rr 10、最优资产组合的求解 投资在市场组合 M 上的比列：2M()pMfME RrwA 考虑两个风险资产 A、B 则该风险组合的预期收益和方差

11、分别为：22222B()()(1)()(1)2(1)covpAABPAABABAE Rw E Rw E Rwwww 此时风险报酬率：max()maxApfwpE Rr 而2B22()()cov()()()E()covAfBBfAAAfBBfAAfBfABE RrE RrwE RrE RrE RrRr 第十一章 CAPM 和、风险市场价格：2()MfME Rr、期望贝塔关系：2()()cov(,)ifipfiMiME RrE RrR R其中、对任意风险资产组合 pN11221()()wfppfpNNiiiE RrE Rrwww其中、其斜率为市场组合的风险溢价()pfE Rr、的另一种常用形式：2

12、222()()()iifiMfiiiMRrRr 可忽略可忽略、资产估值：1010()E(R)=1()1()iiE pDPE pDpE R、在业绩评估中的应用（）：指数：()ppfpAfJrrE Rr（越大越好）（）指数：pfpprrT（越大越好）（）指数：pfpprrS（越高越好）、套利定价模型（）（）单因素模型：iiiiRF 资产组合收益率：111nnnpiiiiMiiiiiRwwRw 222212221()()()PpMpnpiiinpiiiww （）双因素模型：1122iiiiiRFF 111222222221F2F22212()()()+2cov(,)()iiiiiiiiiiE RE

13、FE FF F 、套利组合：1211110.0.()()0.njnnjnnwwwwww E Rw E R套利合是零成本的套利合有系套利合具有正的收益率组组没统风险组 习题部分 资产组合理论：1、假如有 A 和 B 两种股票，它们的收益是相互独立的。股票 A 的收益为 15%的概率是 40%，而收益为 10%的概率是 60%，股票 B 的收益为 35%的概率是 50%，而收益为-5%的概率也是 50%。（1）这两种股票的期望收益和标准差分别是多少？它们的收益之间的协方差是多少？（2）如果 50%的资金投资于股票 A，而 50%的资金投资于股票 B，问该投资组合的期望收益和标准差分别是多少？答案：

14、（1）股票 A 的期望收益E(R)0.4 15%0.6 10%12%;A股票 A的标准差 22A0.415%12%0.6(10%12%)0.0245（）。股票 B 的期望收益E(R)0.5 35%0.5(5%)15%;B 股票 B 的标准差 220.55%15%0.5(5%15%)0.2B（3）因为股票 A 和股票 B 的收益是相互独立的，所以它们收益之间的协方差为 0。（2）该投资组合的期望收益 PER0.5E(R)0.5E(R)0.5 12%0.5 15%13.5%,AB（）标准差22222222PAB0.50.50.50.02450.50.20.1007（）（）（）（）2、假设有两种基金

15、：股票基金 A，债券基金 B，基金收益率之间相关系数为 0.05，概率分布如下：A：期望收益 10%标准差 20%B：期望收益 5%标准差 10%计算：（1）基金的最小方差组合中每种基金的投资比例各是多少？（2）最小方差组合的期望收益和标准差是多少？答案：（1）设组合中 A 基金投资比例为 X，那么 B 基金投资比例为1-X。组合的方差222222222Px(1x)2x(1x)0.2 x0.1(1x)0.1 0.2 0.1x(1x)ABAB 是关于 X 的一元二次方程，其最小的条件是关于 X 的导数为 0。对 X 求导，并使其等于 0，得：0.096x0.018，解得：X=0.1875,1-X

16、=0.8125 所以最小方差组合中 A 基金的投资比例为 0.1875，B 基金的投资比例为 0.8125。（2）最新方差组合的期望收益()=xE()(1x)E()0.1875 10%0.81255%5.9375%PABE RRR 标准差 2222P2222x(1x)2x(1x)0.20.18750.1(1 0.1875)0.1 0.2 0.1875(1 0.1875)0.10.0912ABAB CAPM：3、假设国库券利率是 4%，市场组合的期望收益率是 12%，根据CAPM：（1）画图说明期望收益和之间的关系（2）市场的风险溢价是多少？（3）如果一个投资项目的为 1.5，那么该投资的必要回

17、报率是多少？（4）如果一个为 0.8 的投资项目可以获得 9.8%的期望收益率，那么是否应该投资该项目？（5）如果市场预期一只股票的期望收益率为 11.2%，那么该股票的是多少？答案：（1）（2）市场的风险溢价是：12%-4%=8%（3）E（R）=4%+（12%-4%）*1.5=16%（4）该项目必要回报率 E（R）=4%+（12%-4%）*0.8=10.4%，而只能获得 9.8%的期望收益率，小于 10.4%，所以不应该投资该项目。（5）11.2%=4%+（12%-4%）*，解得：=0.9。Beta 4%E(R)=4%+（12%-4%）*Beta 0 E(R)4、假设无风险收益率为 6%，市

18、场组合的预期收益率为 10%，某资产组合的系数等于 1.2。根据 CAPM 计算：(1)该资产组合的预期收益率等于多少？(2)假设某股票现价为 20 元，其=0.8，预期该股票1 年后股价为 23 元，期间未分配任何现金股利。请问投资者应该看多还是应该看空该股票？答案：（1）该资产组合的预期收益率 E（R）=6%+（10%-6%）*1.2=10.8%(2)该股票的期望收益率为 E(R)=6%+（10%-6%）*0.8=9.2%，按照期望 收 益 率 将 一 年 后 股 价 贴 现 到 现 在 得 到 现 在 股 票 的 价值:23/(1+9.2%)=21.06。而该股票的现价 2021.06，

19、说明该股票被低估了，所以投资者应该看多该股票。APT：5、考虑一个单因素 APT 模型，股票 A 和股票 B 的期望收益率分别为 15%和 18%，无风险利率是 6%，股票 B 的为 1.0。如果不存在套利机会，股票 A 的应该是多少？答案：根据 APT，对于股票 B：18%=6%+1.0F，解得：F=12%对于股票 A：15%=6%+F=6%+12%，解得：=0.75。6、考虑一个多因素 APT 模型，股票 A 的期望收益率是 17.6%，关于因素 1的是1.45，关于因素2的是0.86。因素1的风险溢价是3.2%，无风险利率是 5%，如果不存在套利机会，那么因素 2 的风险溢价是多少？答案

20、：根据 APT，有：17.6%=5%+1.45*3.2%+0.86*F2，解得：F2=9.26%因此，因素 2 的风险溢价是 9.26%。7、考虑一个多因素 APT 模型，假设有两个独立的经济因素 F1 和 F2，无风险利率是 6%，两个充分分散化了的组合的信息如下：组合 对应因素 1的 对应因素 2的 期望收益 A 1.0 2.0 19%B 2.0 0.0 12%如果不存在套利机会，那么因素 1 和因素 2 的的风险溢价分别是多少？答案：设因素 1 和因素 2 的风险溢价分别为 R1 和 R2，根据 APT，有：对于组合 A：19%=6%+1.0R1+2.0R2 对于组合 B：12%=6%+

21、2.0R1 联立以上两个等式，解得：R1=3%，R2=5%因此，因素 1 和因素 2 的风险溢价分别为 3%和 5%。8、已知股票 A 和股票 B 分别满足下列单因素模型：0.10.90.05 1.10.2()0.3()0.1AMABMBMABRRRR （1）分别求出两个股票的标准差及他们之间的协方差。（2）用股票 A 和 B 组成一个资产组合，两者所占比重分别为 0.4 和0.6，求该组合的非系统性标准差。答案：（1）股票A的标准差2222220.9()0.90.20.30.3499AMA 股票 A 的标准差2222221.1()1.10.20.10.2417BMB 股票 A 和股票 B 的

22、协方差 22(,)(0.1 0.9,0.05 1.1)(0.9,1.1)0.990.99 0.20.0396ABABMAMBMMMCOV RRCOVRRCOVRR（2）组合的收益率 0.40.60.4(0.10.9)0.6(0.051.1)PABMAMBRRRRR 组合的非系统性标准差 222222220.4()0.6()0.40.30.60.10.1342AB 9、假 设 每 种 证 券 的 收 益 可 以 写 成 如 下 两 因 素 模 型：1122()ititititRE RFF，其中：itR表示第 i 种证券在时间 t 的收益，1tF和2tF表示市场因素，其数学期望等于 0，协方差等于

23、 0。此外，资本市场上有 2 种证券，每种证券的特征如下：证券 E（Rit)i1 i2 1 10%1 0.5 2 10%1.5 0.75（1）建立一个包括证券 1 和证券 2 的投资组合，但是其收益与市场因素1tF无关。计算该投资组合的期望收益和贝塔系数2。（2）设有一个无风险资产的期望收益等于 5%，1=0，2=0，是否存在套利机会？答案：(1)设组合中证券 1 的投资比例为 X，那么证券 2 的投资比例为 1-X。1211111222211222(1)()(1)()ptttttttttRXRX RX E RFFXE RFF 因为其收益与市场因素1tF无关，所以组合关于1tF的贝塔应该为 0，即：1121(1)0(1)1.50XXXX 解得：X=3，1-X=-2，所以()3(10%)2(10%)10%ptE R 21222(1)3(0.5)2(0.75)0pXX 所以其收益与市场因素1tF和2tF都无关。（2）因为（1）中投资组合收益与市场因素1tF和2tF都无关，所以是无风险的投资组合，其收益为 10%，高于无风险资产 5%的期望收益，所以应该借入期望收益为 5%的无风险资产，然后投资于（1）中10%的投资组合。