线性代数复习重点.pdf

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1、线性代数复习重点 第一章 矩阵 第一节 矩阵的概念 1.矩阵的概念 2.几种特殊的矩阵 第二节 矩阵的运算 1.矩阵的相等；2.矩阵的相加,数乘；3.矩阵的乘法；4.矩阵的幂,矩阵多项式；5.矩阵的转置；6.方阵的行列式 第三节 逆矩阵 1.逆矩阵的定义；2.逆矩阵的性质；3.逆矩阵的求法；i.待定系数法不常用 ii.伴随矩阵法记住相关性质 对于n阶矩阵A：*AAA AA E 无条件恒成立；1*111*()()()()()()TTTTAAAAAA*111()()()TTTABB AABB AABB A iii.利用初等变换求逆矩阵常用 第四节 分块矩阵 1.分块矩阵的定义 2.分块矩阵的运算与

2、一般矩阵运算类似 关于分块矩阵的重要结论,其中均A、B可逆：若12sAAAA,则：、12sAAAA；、111121sAAAA；、111AOAOOBOB；主对角分块、111OAOBBOAO；副对角分块、11111ACAA CBOBOB；拉普拉斯、11111AOAOCBB CAB；拉普拉斯 第五节 矩阵的初等变换与初等矩阵 1.掌握矩阵的初等变化类型；2.记住矩阵等价的定义；3.掌握几种特殊矩阵：阶梯型矩阵、行最简型矩阵、标准型矩阵 4.记住一般矩阵如何通过初等变换化为阶梯型、行最简型甚至标准型矩阵；5.矩阵的初等变换与初等矩阵之间的联系；6.利用初等变换求逆矩阵,解矩阵方程；7.记住如果AE则进

3、行行初等变换；如果AE则进行列初等变换；8.如果矩阵方程1XA B,则进行1ABEA B行初等变换；如果矩阵方程1XBA,则进行1AEBBA列初等变换 第六节 矩阵的秩 1.掌握矩阵秩的具体定义；多出现在填空题、选择题 2.利用初等变换求矩阵的秩,通过初等行变换化为行阶梯型矩阵,非零行个数为矩阵的秩;第七节 方阵行列式 行列式定义 1.二阶、三阶行列式的对角线法则计算多出现在填空题、选择题；2.行列式的正式定义的理解多出现在填空题、选择题;行列式的性质 1.TDD 2.互换行列式两行或两列,行列式变号；3.如果行列式有两行列对应元素完全相同,则此行列式的值为零；4.行列式中,如果某一行列的所有

4、元素都有公因子 k,则 k 可提到行列式符号之外.5.行列式中,如果有一行或列的元素全为零,则行列式的值为零;6.行列式中,如果两行或两列对应元素成比例,则行列式的值为零 7.在行列式中,如果所有元素都有公因子 k,则可以将 k 提到行列式外表示成 kD 8.行列式中,如果某一行或列的所有元素都是两个数的和,则此行列式等于两个行列式的和.9.把行列式的某一列行元素的 k 倍加到另一列行对应的元素上去,行列式的值不变 行列式的计算计算题有两类题 1.数字行列式的计算;2.字母行列式的计算 行列式按一行展开 1.余子式与代数余子式的关系；2.代数余子式的性质：、ijA和ija的大小无关；、某行列的

5、元素乘以其它行列元素的代数余子式为 0；、某行列的元素乘以该行列元素的代数余子式为A；克莱姆法则 1.使用克莱姆法则的条件：线性方程组的方程个数=变量个数；2.将克莱姆法则与第三章第一节线性方程组计算联系起来；3.非齐次线性方程组系数矩阵行列式不等于 0,有唯一解；4.齐次线性方程组系数矩阵行列式等于 0,有非零解；不等于 0,仅有零解;将克莱姆法则与第三章线性方程组的消去法联系起来学习 第二章 线性方程组与 n 维向量 第一节 消元法 1.熟悉非齐次、齐次线性方程组；2.熟悉线性方程组的矩阵表达形式,系数矩阵、增广矩阵的定义；3.掌握线性方程组有解、无解的充分必要条件；特别非齐次线性方程组无

6、解、有解条件；有唯一解和无穷多解的条件；齐次线性方程组有唯一零解,非零解的条件；4.求解线性方程组的解的方法 i.写出增广矩阵；ii.通过行初等变换将增广矩阵化为阶梯型矩阵；iii.判断增广矩阵与系数矩阵的秩的关系,判断线性方程组是否有解；iv.如果有解继续通过行初等变换化为行最简型矩阵,求解;第二节 n 维向量 1.掌握 n 维向量的定义；2.掌握向量运算 第三节 向量组的线性关系 1.理解并熟练应用线性组合的定义,理解判断线性组合与非齐次线性方程组是否有解的关系；熟记线性组合的相关结论 P62 2.线性相关与线性无关的定义；n 个 n 维向量线性相关或无关,可通过判断由它们构成的分块矩阵的

7、行列式是否等于 0 来进行 3.理解线性相关、无关与齐次线性方程组是否有唯一零解或有非零解之间的关系;证明题 4.熟记线性相关、无关的相关结论 P62-67 第四节 向量组的秩 1.熟练理解向量组等价的概念,定理 相关推论；2.熟练理解极大线性无关组的定义,掌握极大线性无关组的相关命题 P 68；3.熟记向量组的秩的定义,向量组秩的相关推论命题；4.理解向量组的秩与矩阵秩的关系；5.学会利用定理,求解极大线性无关组重要,计算题 p101 例题 12 第五节 线性方程组解的结构 1.主要考察齐/非次线性方程组解的结构 2.齐/非次线性方程组解的性质；3.理解基础解系的定义,命题 P93；4.理解

8、定理,掌握求解基础解系方法重要计算题 p95 例题 6 5.理解定理,掌握求解非齐次方程组的解方法重要计算题 p97 例题 9,11 第六节 向量的内积与正交向量组 1.向量内积的定义与性质；2.向量正交的定义,内积等于 0；3.正交向量组定义,两两正交；4.向量组的正交化与单位化重要计算题 p77 5.正交矩阵的定义 第七节 向量空间 1.向量空间概念 2.向量空间的基与维数 3.基变换和坐标变换 掌握过的矩阵的解法以及不同基下的坐标 定理 习题 83 页 22-24 第四章 矩阵的特征向量与特征值 1.特征值与特征向量求法 上页下页铃结束返回首页方程|IA|0 的每个根都是矩阵 A的特征值

9、。方程(IA)xo的每个非零解都是对应的特征向量。则求特征值、特征向量的一般步骤：1、求特征多项式IA2、求所有特征值，即求的全部解3、对于每个特征值，求相应的特征向量。0IA即先求出的一个基础解系则属于特征值的所有全部特征向量为,rIArnr则基础解系的个数为0IAx12,nr 112212,nrnrnrcccccc不全为零 2.特征多项式、特征值与特征向量的性质 P113 例 2-3,5 矩阵的迹 3.相似矩阵与矩阵对角化 三、矩阵对角化的实施步骤(i)求出 A的全部特征值12,;s(ii)对每个,求方程组的基础解系,即为 A的属于特征值的线性无关特征向量;i()iEA XOi(iii)若

10、A有n个线性无关特征向量则A与对角矩阵相似.令则12,n12(,),nP121A.nPAP 为与相似的对角矩阵 掌握定理及推论 例题 P120 例 6-7 4.实对称矩阵的对角化 实对称矩阵的性质 求正交矩阵的方法 上页下页铃结束返回首页6二、实对称矩阵的对角化定理5.9 若A为n阶实对称矩阵,则存在正交矩阵Q，使Q1AQ=QTAQ=为对角阵,的对角线上的元素为A的n个特征值.用正交矩阵化A为对角阵的步骤：(i)由|I A|=0求出A的全部特征值1,2,n;(ii)对每个i,求方程组(iE A)x=0 的基础解系即为A的属于特征值i的线性无关特征向量;(iii)将线性无关特征向量正交化、单位化，令Q=(q1,q2,qn)则Q为正交矩阵,且使Q1AQ=QTAQ=为对角阵.P124 例 8,10 掌握施密特正交化方法 P77 例题 25