高等数学公式、定理.pdf

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1、*高等数学公式 导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos12sinududxxtguuuxuux，axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222Caxxadx

2、CxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020*一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式：诱导公式：函数 角 A sin cos tg ctg-sin cos-tg-ctg 90-cos sin ctg tg 90+cos

3、-sin-ctg-tg 180-sin-cos-tg-ctg 180+-sin-cos tg ctg 270-cos-sin ctg tg 270+-cos sin-ctg-tg 360-sin cos-tg-ctg 360+sin cos tg ctg 和差角公式：和差化积公式：2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsinctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg1)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(xxarthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthx

4、eechxeeshxxxxxxxxx11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦.590457182818284.2)11(lim1sinlim0exxxxxx*倍角公式：半角公式：cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos122cos12cos2cos12sinctgtg 正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin 余弦定理：Cabbaccos2222 反三角函数性质：arcctgxarctgxxx2arccos2arcsin 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1

5、()1(!2)1()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv 中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf)(F)()()()()()()()()(曲率：.1;0.)1(limMsMM:.,13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss 的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg222222122212sincossin211co

6、s22coscossin22sintgtgtgctgctgctg*定积分的近似计算：bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf)(4)(2)(3)()(21)()()(1312420110110抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式：babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离：空间,cos)(.sin,cos,c

7、osPrPr)(Pr,cosPr)()()(2222222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbbaaababababababababaa ja jaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuu*（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,22211;,1302),(,0)()()(122222222222

8、2222222220000002220000000000czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA 多元函数微分法及应用 zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz，隐函数，隐函数隐函数的求导公式：时，当：多

9、元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22*),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(0000000000000000000000000000000000000000000000000

10、00zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线方向导数与梯度：上的投影。在是单位向量。方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxflfljieeyxflfjyfi

11、xfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(多元函数的极值及其求法：*不确定时值时，无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx 重积分及其应用：DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxM

12、MxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf23222232222322222D22)(),()(),()(),(,)0(),0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲面 柱面坐标和球面坐标：dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfzzryrxzyxr)()()(1,1,1sin

13、),(sin),(),(sinsincossinsincossin),sin,cos(),(,),(),(,sincos222222200),(0222，转动惯量：，其中重心：，球面坐标：其中：柱面坐标：曲线积分：*)()()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路

14、径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),()0,0(),(),(21212,)()()coscos()()(),()()(),(),(),()()(00),(),(00yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdyADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLL 曲

15、面积分：*dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydzzyzyxPdydzzyxPdxdyyxzyxRdxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdxdyyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxyxyDDDDyx)coscoscos(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高斯公式：*dsAdvAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQ

16、PRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxPnndiv)coscoscos(.,0div,div)coscoscos()(成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：通量与散度：高斯公式的物理意义斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：dstARdzQdyPdxARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQPzyxRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：kjirotcoscoscos)()()(常数项级数：是发散的

17、调和级数：等差数列：等比数列：nnnnqqqqqnn1312112)1(32111112 级数审敛法：*散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUulim;3111lim2111lim1211。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,(nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu 绝对收敛与条件收敛：时收敛时发散级数：收敛；级数：收敛；发散，而调和

18、级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn 幂级数：*0010)3(lim)3(1111111221032RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时，时，时，的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点对于级数时，发散时，收敛于 函数展开成幂级数：nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfR

19、xxnxfxxxfxxxfxf!)0(!2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(!2)()()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：一些函数展开成幂级数：)()!12()1(!5!3sin)11(!)1()1(!2)1(1)1(121532xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm 欧拉公式：2sin2cossincosixixixixixeexeexxixe或 三角级数：。上的积分在任意两个不同项的乘积正交性：。，其中，0,cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1co

20、ssin)sincos(2)sin()(001010nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn 傅立叶级数：*是偶函数，余弦级数：是奇函数，正弦级数：（相减）（相加）其中，周期nxaaxfnnxdxxfabnxbxfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnnncos2)(2,1,0cos)(20sin)(3,2,1nsin)(201241312116413121124614121851311)3,2,1(sin)(1)2,1,0(cos)(12)sincos(2)(00022222222222222210 周

21、期为l 2的周期函数的傅立叶级数：*llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflallxnblxnaaxf)3,2,1(sin)(1)2,1,0(cos)(12)sincos(2)(10其中，周期 微分方程的相关概念：即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程或一阶微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy)()(),(),()()()

22、()()()(0),(),(),(一阶线性微分方程：)1,0()()(2)(0)(,0)()()(1)()()(nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：全微分方程：通解。应该是该全微分方程的，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP),(),(),(0),(),(),(0),(),(二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd 二阶常系

23、数齐次线性微分方程及其解法：2122,)(2,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中 *式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321rr 的形式，21rr(*)式的通解 两个不相等实根)04(2 qp xrxrececy2121 两个相等实根)04(2 qp xrexccy1)(21 一对共轭复根)04(2 qp 242221pqpirir，)sincos(21xcxceyx 二阶常系数非齐次线性微分方程 型为常数；型，为常数，sin)(cos)()()()(,)(xxP

24、xxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx *高等数学定理大全 第一章 函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有 f(x)K1 则函数 f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有 f(x)K2，则有上界，K2 称为上界。函数 f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。2、数列的极限定理(极限的唯一*)数列xn不能同时收敛于两个不同的极限。定理(收敛数列的有界*)如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界。如果数列xn无界，那么数列xn一定发散；但如果数列xn有界，却不能断定数列xn一定收敛，例如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1该数列有界但是发散，所以数列

25、有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列xn收敛于 a，那么它的任一子数列也收敛于 a.如果数列xn有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列xn是发散的，如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1中子数列x2k-1收敛于 1，xnk收敛于-1，xn却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。3、函数的极限函数极限的定义中 00(或 A0(或 f(x)0)，反之也成立。函数 f(x)当 xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即 f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则 limf(x)不存在。*一般的说，如果 lim(x

26、)f(x)=c，则直线 y=c 是函数 y=f(x)的图形水平渐近线。如果 lim(xx0)f(x)=，则直线 x=x0 是函数 y=f(x)图形的铅直渐近线。4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果 F1(x)F2(x)，而 limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么 ab.5、极限存在准则两个重要极限 lim(x0)(sinx/x)=1；lim(x)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列xn、yn、zn满足下列条件：ynxnzn 且 limyn=a，limzn=a，那么 limx

27、n=a，对于函数该准则也成立。单调有界数列必有极限。6、函数的连续性设函数 y=f(x)在点 x0 的某一邻域内有定义，如果函数 f(x)当 xx0 时的极限存在，且等于它在点 x0 处的函数值 f(x0)，即 lim(xx0)f(x)=f(x0)，那么就称函数 f(x)在点 x0 处连续。不连续情形：1、在点 x=x0 没有定义；2、虽在 x=x0 有定义但 lim(xx0)f(x)不存在；3、虽在 x=x0 有定义且 lim(xx0)f(x)存在，但 lim(xx0)f(x)f(x0)时则称函数在 x0 处不连续或间断。如果 x0 是函数 f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称 x

28、0 为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为 0)是个在该点连续的函数。*定理如果函数 f(x)在区间 Ix 上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间 Iy=y|y=f(x)，xIx上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。定

29、理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即 mf(x)M.定理(零点定理)设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(a)与 f(b)异号(即f(a)f(b)0)，那么在开区间(a，b)内至少有函数 f(x)的一个零点，即至少有一点(a函数在该点处连续；函数 f(x)在点 x0 处连续在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。4、函数 f(x)在点 x0 处可微=函数在该点处可导；函数 f(x)在点 x0 处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。*第三章 中值定理与导数的应用 1、定理

30、(罗尔定理)：如果函数 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即 f(a)=f(b)，那么在开区间(a，b)内至少有一点(ab），使的函数 f（x）在该点的导数等于零：f（）=0.2、定理(拉格朗日中值定理)：如果函数 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在开区间(a，b)内至少有一点(a0，那么函数 f(x)在a，b上单调增加；(2)如果在(a，b)内 f(x)0，那么函数 f(x)在a，b上单调减少。如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程 f(x)=0 的根及 f(x)不存在的点

31、来划分函数 f(x)的定义区间，就能保证 f(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数 f(x)在每个部分区间上单调。6、函数的极值：如果函数 f(x)在区间(a，b)内有定义，x0 是(a，b)内的一个点，如果存在着点 x0 的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点 x，*f(x)f(x0)均成立，就称 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值。在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点(导数为 0 的点)，但函数的驻点却不一定是极值点。定理(函数取得极值的必要条件)：设函数 f(x)在 x0 处可导，且在 x0 处

32、取得极值，那么函数在 x0 的导数为零，即 f(x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数 f(x)在 x0 一个邻域内可导，且 f(x0)=0，那么：(1)如果当 x 取 x0 左侧临近的值时，f(x)恒为正；当 x 去 x0 右侧临近的值时，f(x)恒为负，那么函数 f(x)在 x0 处取得极大值；(2)如果当 x 取 x0 左侧临近的值时，f(x)恒为负；当 x 去 x0 右侧临近的值时，f(x)恒为正，那么函数 f(x)在x0 处取得极小值；(3)如果当 x 取 x0 左右两侧临近的值时，f(x)恒为正或恒为负，那么函数 f(x)在 x0 处没有极值。定理(函数取得极值的第

33、二种充分条件)：设函数 f(x)在 x0 处具有二阶导数且 f(x0)=0，f(x0)0 那么：(1)当 f(x0)0 时，函数 f(x)在 x0 处取得极小值；驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。7、函数的凹凸性及其判定：设 f(x)在区间 Ix 上连续，如果对任意两点 x1，x2 恒有 f(x1+x2)/2f(x1)+f(x1)/2，那么称 f(x)在区间 Ix 上图形是凸的。定理：设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a，b)内 f(x)0，则 f(x)在闭区间a，b上的图*形是凹的；(2)若在(a，b)内 f(x)可积。

34、定理：设 f(x)在区间a，b上有界，且只有有限个间断点，则 f(x)在区间a，b上可积。3、定积分的若干重要性质性质：如果在区间a，b上 f(x)0 则abf(x)dx0.推论：如果在区间a，b上 f(x)g(x)则abf(x)dxabg(x)dx.推论：|abf(x)dx|ab|f(x)|dx.性质设 M 及 m 分别是函数 f(x)在区间a，b上的最大值和最小值，则 m(b-a)abf(x)dxM(b-a)，该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。性质(定积分中值定理)如果函数 f(x)在区间a，b上连续，则在积分区间a，b上至少存在一个点，使下式成立：

35、abf(x)dx=f()(b-a)。4、关于广义积分设函数 f(x)在区间a，b上除点 c(ac可偏导。5、多元函数可微的充分条件定理(充分条件):如果函数 z=f(x，y)的偏导数存在且在点(x，y)连续，则函数在该点可微分。6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理(必要条件):设函数 z=f(x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零。定理(充分条件):设函数 z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令 fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=

36、B，fyy(x0，y0)=C，则 f(x，y)在点(x0，y0)处是否取得极值的条件如下：(1)AC-B20 时具有极值，且当 A0 时有极小值；(2)AC-B20 时没有极值；(3)AC-B2=0 时可能有也可能没有。7、多元函数极值存在的解法:(1)解方程组 fx(x，y)=0，fy(x，y)=0 求的一切实数解，即可求得一切驻点。(2)对于每一个驻点(x0，y0)，求出二阶偏导数的值 A、B、C.(3)定出 AC-B2的符号，按充分条件进行判定 f(x0，y0)是否是极大值、极小值。注意：在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑在内。第

37、八章 二重积分 1、二重积分的一些应用曲顶柱体的体积曲面的面积(A=1+f2x(x，y)+f2y(x，y)d)平面薄片的质量平面薄片的重心坐标(x=1/Axd，y=1/Ayd；其*中 A=d为闭区域 D 的面积。平面薄片的转动惯量(Ix=y2(x，y)d，Iy=x2(x，y)d；其中(x，y)为在点(x，y)处的密度。平面薄片对质点的引力(FxFyFz)2、二重积分存在的条件:当 f(x，y)在闭区域 D 上连续时，极限存在，故函数 f(x，y)在 D 上的二重积分必定存在。3、二重积分的一些重要性质性质如果在 D 上，f(x，y)(x，y)，则有不等式f(x，y)dxdy(x，y)dxdy，特殊地由于-|f(x，y)|f(x，y)|f(x，y)|又有不等式|f(x，y)dxdy|f(x，y)|dxdy.性质设 M，m 分别是 f(x，y)在闭区域 D 上的最大值和最小值，是 D 的面积，则有 mf(x，y)dM。性质(二重积分的中值定理):设函数 f(x，y)在闭区域 D 上连续，是 D 的面积，则在 D 上至少存在一点(，)使得下式成立：f(x，y)d=f(，)*4、二重积分中标量在直角与极坐标系中的转换把二重积分从直角坐标系换为极坐标系，只要把被积函数中的 x，y 分别换成 ycos、rsin，并把直角坐标系中的面积元素 dxd