00高中数学第章平面向量..向量数量积的坐标运算与度量公式教案(含解析).pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-2.3。3 向量数量积的坐标运算与度量公式 学 习 目 标 核 心 素 养 1掌握向量数量积的坐标表达式，能进行平面向量数量积的坐标运算(重点）2 能运用数量积表示两个向量的夹角计算向量的长度，会判断两个平面向量的垂直关系(重点、难点)通过向量数量积的坐标运算与度量公式的学习及应用，提升学生的数学运算核心素养 1两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示（1）向量内积的坐标运算：已知a（a1，a2)，b(b1，b2),则aba1b1a2b2。（2）用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：设a(a1，a2),b（b1，b2），则aba1b1a2b20。2向量的长度、距离和

2、夹角公式（1)向量的长度：已知a(a1，a2），则|a错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -2-（2）两点间的距离：如果A（x1，y1),B(x2，y2），则 错误!|错误!.(3）两向量的夹角:设a(a1，a2）,b（b1，b2),则 cos错误!.思考：与向量a（a1，a2)同向的单位向量的坐标如何表示?提示 由于单位向量a0错误!，且a错误!，所以a0错误!错误!（a1，a2）错误!,此为与向量a（a1，a2)同向的单位向量的坐标 1已知a(1，1)，b（2，3），则ab（）A5 B4 C2 D1 D ab(1,1)(2，3)12(1)31。2（2019全国卷)已知向量a(2，2)，b(

3、8,6）,则 cosa，b_。错误!a(2，2），b(8，6),ab2（8)264，a错误!2错误!，b|错误!10.学必求其心得，业必贵于专精 -3-cosa,bab|a|b|错误!错误!。3已知a(3,x)，|a|5，则x_.4|a|错误!5,x216.即x4.平面向量数量积的坐标运算【例 1】（1)已知向量a（1,2），b（2,x）,且ab1，则x的值等于（)A错误!B错误!C32 D错误!(2)已知向量a(1,2),b（3，2），则ab_，a(ab)_.(3)已知a(2，1），b（3，2)，若存在向量c，满足ac2,bc5，则向量c_.思路探究 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等

4、量关系,利用数量积的坐标运算列出方程（组)来进行求解（1)D(2)1 4（3）错误!（1)因为a(1,2)，b（2,x），所以ab(1，2）（2，x)122x1，解得x错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -4-（2）ab（1，2)（3,2）(1）3221，a(ab)（1，2）(1，2)（3,2）（1，2)（4,0）4。(3)设c（x，y）,因为ac2,bc5，所以错误!解得错误!所以c错误!.1进行数量积运算时，要正确使用公式abx1x2y1y2，并能灵活运用以下几个关系:a|2aa；(ab）(ab)a2|b2；（ab）2a22ab|b2。2通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化,应注意与函

5、数、方程等知识的联系 3向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式,另一种是坐标式，两者相互补充 1设向量a（1，2)，向量b（3,4），向量c（3，2)，则（a2b）c（）A(15，12)B0 学必求其心得，业必贵于专精 -5-C3 D11 C 依题意可知，a2b（1，2)2（3，4)(5，6），（a2b)c(5,6)（3，2）53623.向量的模的问题【例 2】（1）设平面向量a(1，2)，b（2，y),若ab，则|2ab等于(）A4 B5 C3错误!D4错误!（2)已知向量a（1,2），b(3,2)，则|ab|_,|ab|_.思路探究（1）两向量a(x1，y1)，b(x2，y2）共线的坐标

6、表示：x1y2x2y10。（2）已知a（x，y)，则a|错误!.(1)D(2)2错误!4(1)由ab,得y40，y4，b(2，4）,2ab(4，8)，|2ab|45.故选 D.(2）由题意知，ab（2，4)，ab(4，0)，因此|ab2错误!，|ab4.学必求其心得，业必贵于专精 -6-向量模的问题的解题策略:（1)字母表示下的运算，利用|a|2a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算（2）坐标表示下的运算,若a（x，y)，则a错误!。2已知向量a（2x3，2x），b（3x，2x）(xR）,则|ab的取值范围为_ 错误!，)ab(x，x2)，|ab|错误!错误!2x122错误!，|ab|错误

7、!,)向量的夹角与垂直问题 探究问题 1设a，b都是非零向量，a（x1,y1），b（x2,y2），是a与b的夹角，那么 cos 如何用坐标表示?提示 cos 错误!错误!。2已知a(1，1）,b(,1)，当a与b的夹角为钝角时，学必求其心得，业必贵于专精 -7-的取值范围是什么？提示 a(1，1）,b（,1），|a|错误!，b错误!，ab1.a，b的夹角为钝角，错误!即错误!1 且1。的取值范围是(，1)（1,1)【例 3】（1)已知向量a（2，1），b(1，k），且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是()A(2，)B.错误!错误!C(，2）D（2，2)(2)已知a(3，4),b（2，1）

8、，且（amb)（ab），则实数m为何值？思路探究（1）可利用a，b夹角为锐角错误!求解（2）可利用两非零向量abab0来求m。(1)B 当a与b共线时，2k10,k错误!，此时a，b方向相同，夹角为 0，所以要使a与b的夹角为锐角，则有ab 0且a，b不同向由ab2k0 得k2，且k错误!,即实数k的取值学必求其心得，业必贵于专精 -8-范围是错误!错误!，选 B。（2）解：amb(32m,4m）,ab(1，5），因为(amb)(ab）,所以(amb)（ab)0，即(32m)1(4m)50，所以m错误!。1利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：(1)求向量的数量积利用向量数量积的坐标表示求出

9、这两个向量的数量积(2)求模利用|a|错误!计算两向量的模(3）求夹角余弦值由公式 cos 错误!求夹角余弦值（4)求角由向量夹角的范围及 cos 求的值 2涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助ababx1x2y1y20 来解决 3若向量a(k,3),b(1，4），c（2，1）,已知 2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_ 错误!错误!2a3b2(k，3）3(1，4）（2k3，6）因为 2a3b与c的夹角为钝角，学必求其心得，业必贵于专精 -9-则（2k3，6)（2,1)0 且不反向，即 4k660，解得k3.当 2a3b与c反向时，k错误!，所以k的范围是k错误!,则x等于（）A1

10、B1 C4 D4 A aba|bcos 错误!,3x2错误!错误!错误!,解得x1 或x4.又3x20，x错误!,故x1。3设a(x,x1)，b(1,2）且ab，则x_。错误!ab，ab0.学必求其心得，业必贵于专精 -11-即x2(x1）0。解得x错误!.4已知向量a（3，1），b(1，2）,求:（1）ab;（2)(ab)2;(3）(ab)(ab）解（1）因为a（3，1)，b(1,2)，所以ab31(1）（2)325.(2）ab（3，1）(1，2)(4，3），所以（ab）2|ab242（3)225。（3）ab（3，1)（1,2）（4，3），ab（3，1)(1，2）（2,1)，（ab)（ab）（4,3）(2，1）835。