2020高中数学第章导数及其应用.微积分基本定理学案2-.pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-1.6 微积分基本定理 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义（重点、易混点）2.掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分（重点、难点)1。通过微积分基本定理的学习,体现了数学抽象的核心素养.2.借助于利用定积分求曲边梯形的面积,培养学生的数学运算及直观想象的核心素养.1微积分基本定理 内容 如果f（x)是区间a，b上的连续函数,并且F（x）f（x)，那么错误!f(x)dxF(b）F(a）。符号 错误!f(x)dxF（x）错误!F(b）F(a）.思考:满足F（x)f（x)的函数F（x)唯一吗？提示 不唯一,如F

2、1(x）x1,F2（x)x5,等其导数为 1,故F（x）不唯一 2定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下则 学必求其心得，业必贵于专精 -2-(1）当曲边梯形在x轴上方时,如图，则错误!f（x)dxS上（2)当曲边梯形在x轴下方时，如图，则abf（x）dxS下(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图,则错误!f（x)dxS上S下，若S上S下,则错误!f(x)dx0。图 图 图 1若a错误!（x2)dx，则被积函数的原函数为(）Af(x）x2 Bf(x)x2C Cf（x)错误!x22xC Df(x)x22x 答案 C 2错误!cos xdx_

3、.1 错误!cos xdxsin x错误!sin 错误!sin 01.3如图所示，定积分错误!f(x）dx的值用阴影面积S1，S2，S3表示为错误!f（x)dx_。学必求其心得，业必贵于专精 -3-S1S2S3 根据定积分的几何意义知错误!f(x）dxS1S2S3。求简单函数的定积分【例 1】求下列定积分（1）错误!(2xex)dx;(2)错误!错误!dx；(3)错误!错误!2dx；(4）错误!(x3）(x4）dx.解(1）错误!（2xex)dx(x2ex）错误!(1e1）（0e0）e。(2)错误!错误!dx(ln x3sin x）错误!（ln 23sin 2)(ln 13sin 1）ln 2

4、3sin 23sin 1。（3)错误!错误!12sin 错误!cos 错误!1sin x,错误!错误!错误!dx错误!(1sin x）dx（xcos x)错误!错误!（0cos 0)错误!1.学必求其心得，业必贵于专精 -4-(4）（x3)(x4）x27x12,错误!(x3）(x4)dx 错误!（x27x12)dx 错误!错误!9错误!36错误!.1当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式,便于求得函数Fx.2由微积分基本定理求定积分的步骤,第一步：求被积函数fx的一个原函数Fx;第二步：计算函数的增量FbFa.1计算下列定积分(1)错误!错误!dx;(2）错误!0错误!dx

5、；(3)错误!错误!（1错误!)dx。解（1）错误!错误!dx错误!错误!错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 -5-ln 2错误!.（2）错误!错误!dx错误!cos xdxsin x错误!1.（3)错误!错误!（1错误!）dx错误!（错误!x）dx错误!错误!错误!错误!错误!错误!8 错误!。求分段函数的定积分【例 2】计算下列定积分（1）f（x）错误!求错误!f（x)dx；（2)错误!|x21|dx。思路探究:（1)按f（x）的分段标准，分成错误!,错误!，(2,4三段求定积分，再求和(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分 解(1）错误!f（x)dx错误!sin xdx错

6、误!1dx错误!未定义书签。错误!(x1)dx(cos x）错误!x错误!错误!错误!1错误!（40)7错误!。（2)错误!x21dx错误!(1x2)dx错误!(x21)dx 错误!错误!错误!错误!2。学必求其心得，业必贵于专精 -6-1本例（2）中被积函数f(x）含有绝对值号，可先求函数f（x）的零点,结合积分区间，分段求解 2分段函数在区间a,b上的定积分可分成n段定积分和的形式,分段的标准可按照函数的分段标准进行 3带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解 2(1）f(x)错误!求错误!f（x)dx。（2）求错误!x2xdx的值 解(1)错误!f(x）dx错误!(12x）dx错误

7、!x2dx(xx2）错误!错误!x3错误!2错误!错误!。（2)|x2x错误!错误!x2x|dx 错误!（x2x)dx错误!(xx2）dx错误!(x2x）dx 错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!。利用定积分求参数 探究问题 1求f（a)错误!(2ax2a2x)dx的表达式 学必求其心得，业必贵于专精 -7-提示 f（a)错误!(2ax2a2x）dx错误!错误!错误!a错误!a2。2试求f(a)取得最大时a的值 提示 f（a）错误!a错误!a2错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!，当a错误!时，f(a）的最大值为错误!.【例 3】（1）已知t0，f(x)2x1，若

8、错误!f（x）dx6,则t_.（2)已知 2错误!(kx1）dx4,则实数k的取值范围为 _。解（1）错误!f（x）dx错误!(2x1)dxt2t6，解得t3 或2，t0,t3.(2)错误!（kx1）dx错误!错误!错误!k1。由 2错误!k14，得错误!k2。1（变条件)若将例 3(1)中的条件改为错误!f(x)dxf错误!，求t。解 由错误!f（x）dx错误!(2x1)dxt2t，又f错误!t1，t2tt1，得t1.2（变条件）若将例 3（1)中的条件改为错误!f（x）dxF(t），求F(t）的最小值 学必求其心得，业必贵于专精 -8-解 F(t)错误!f(x)dxt2t错误!错误!错误!

9、(t0），当t错误!时，F(t)min错误!.利用定积分求参数应注意的问题 利用定积分求参数时，注意方程思想的应用一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限 1求定积分的一些常用技巧（1）对被积函数,要先化简，再求积分(2）若被积函数是分段函数,依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和（3）对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分 2 由于定积分的值可取正值,也可取负值,还可以取 0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分

10、的相反数 学必求其心得，业必贵于专精 -9-1下列值等于 1 的是(）A。错误!xdx B。错误!（x1)dx C。错误!1dx D.错误!错误!dx C 选项 A,因为错误!错误!x，所以错误!xdx错误!错误!错误!错误!；选项B,因为错误!错误!x1，所以错误!(x1）dx错误!错误!错误!错误!；选项C，因为x1，所以错误!1dxx错误!错误!1；选项D,因为错误!错误!错误!，所以错误!错误!dx错误!x错误!错误!错误!.2若错误!错误!dx3ln 2,则a的值是(）A5 B4 C3 D2 D 错误!错误!dx错误!错误!错误!a2ln a1，a213，且 ln aln 2，故a2

11、。3.错误!错误!dx_.43 错误!错误!dx错误!x2dx错误!错误!xdx x33错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!。4设函数f（x)错误!则错误!f（x)dx_.错误!错误!f(x）dx错误!(x21）dx错误!(3x)dx错误!错误!错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 -10-错误!错误!错误!.5已知f（x）是二次函数，其图象过点(1,0),且f(0)2，错误!f（x)dx0，求f(x）的解析式 解 设f(x）ax2bxc（a0），abc0.f（x)2axb，f（0）b2。错误!f(x）dx错误!(ax2bxc）dx错误!错误!错误!错误!a错误!bc0.由得错误!f（x)错误!x22x错误!。