2021届广东省深圳市宝安区高三上学期期末调研(9月开学考试)数学试题(解析版).pdf

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1、 第 1 页 共 6 页 2021 届广东省深圳市宝安区高三上学期期末调研（9 月开学考试）数学试题 一、单选题 1已知集合=1Ax yx，12Bxx ，则AB（）A1,1 B1,1 C1,2 D1,2【答案】C【解析】求出集合 A 的范围，直接进行交集运算即可得解.【详解】=1=1Ax yxx，故|12ABxx，故选：C.【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了求函数定义域，在求集合时，注意描述对象的确定，属于简单题.2设函数,f xx则 011limxfxfx（）A0 B1 C2 D1【答案】B【解析】根据极限的运算法则，直接计算得出结果.【详解】解：00011111limlimlimxx

2、xfxfxxxxx .故选：B.【点睛】本题主要考查极限的运算，属于基础题.3 在ABC中，60BAC，3AB，4AC，点M满足2BMMC，则AB AM等于（）A10 B9 C8 D7【答案】D 第 1 页 共 6 页【解析】利用已知条件，表示出向量AM,然后求解向量的数量积【详解】在ABC中，60BAC，3AB，4AC，点M满足2BMMC，可得12.33AMABAC 则AB AM=12()33ABABAC=2122133 47.3332ABAB AC 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量 4 已知函数 fx与fx的图象如图所示，则不等式组()()03f xfxx解

3、集为（）A0,1 B1,3 C1,2 D1,4【答案】B【解析】根据导函数与原函数单调性关系确定 f x与 fx的图象，然后可得结论 【详解】由导函数与原函数单调性关系知图中实线是()fx的图象，虚线是()f x的图象，不等式组()()03f xfxx解集是|13xx 故选：B【点睛】本题考查导函数与函数单调性的关系，属于基础题 5设01a，离散型随机变量X的分布列是如下，则当a在20,3内增大时（）X 0 1 2 P 12a 12 2a 第 1 页 共 6 页 A D X增大 B D X减小 C D X先减小后增大 D D X先增大后减小【答案】D【解析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差

4、函数确定单调性.【详解】解：由题意：111()0122222aaE Xa ，所以2222111111()(0)(1)(2)2222224aD Xaaaaaa，因为12(0,)23，所以()D先增后减，故选：D.【点睛】本题考查确定函数的单调性，根据分布列求()E X、()D X，是基础题.6如果函数 f x对任意的实数x，都有1()fxfx，且当12x 时，2log31f xx，那么函数 f x在2,0上的最大值与最小值之和为（）A2 B3 C4 D1【答案】C【解析】根据1()fxfx，可知：()f x关于12x 对称，根据对称性，要求函数 f x在2,0上的最大值与最小值之和，即求函数 f

5、 x在 1,3上的最大值与最小值之和，代入即可得解.【详解】根据1()fxfx，可知：()f x关于12x 对称，那么要求函数 f x在2,0上的最大值与最小值之和，即求函数 f x在 1,3上的最大值与最小值之和，第 1 页 共 6 页 因为 2log31f xx递增，所以最小值与最大值分别为：(1)1f，(3)3f，(1)(3)4ff，故答案为：C.【点睛】本题考查了函数的对称性，考查了转化思想，计算量较小，思路要求较高，属于中档题.7函数 f（x）xg（x）的图象在点 x2 处的切线方程是 yx1，则 g（2）+g（2）（）A7 B4 C0 D4【答案】A【解析】,1f xxg xfxg

6、x，因为函数 f xxg x的图像在点2x 处的切线方程是1yx ，所以 23,21ff ，2 2221 27ggff，故选 A 8如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，则以下结论：BD平面 CB1D1；AC1BD；AC1平面 CB1D1其中正确结论的个数是（）A0 B1 C2 D3【答案】D【解析】由正方体的性质得 BD11B D，所以结合线面平行的判定定理可得答案；由正方体的性质得 ACBD，1C CBD，再利用线面垂直可得答案.由正方体的性质得 BD11B D，并且结合可得1AC11B D，同理可得11ACCB，进而结合线面垂直的判定定理得到答案.【详解】第 1 页 共 6 页 解：由

7、正方体的性质得 BD11B D，所以结合线面平行的判定定理可得：BD平面11CB D；所以正确.由正方体的性质得 ACBD，1C CBD，可得BD平面1CC A，所以1ACBD，所以正确.由正方体的性质得 BD11B D，由可得1ACBD，所以1AC11B D，同理可得11ACCB，进而结合线面垂直的判定定理得到：1AC平面11CB D，所以正确.故选：D.【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征与有关的判定定理，本题考查学生的空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题.二、多选题 9 已知点P在双曲线22:1169xyC上，1F、2F是双曲线C的左、右焦点，若12PFF的面积为20，

8、则下列说法正确的有（）A点P到x轴的距离为203 B12503PFPF C12PFF为钝角三角形 D123FPF【答案】BC【解析】利用12PFF的面积可求出点P的纵坐标，可判断 A选项的正误；将点P的纵坐标代入双曲线方程求得点P的横坐标，即可求得12PFPF的值，可判断 B选项的正误；计算21cosPF F的值，可判断 C选项的正误；计算出12cosFPF，可判断 D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】第 1 页 共 6 页 因为双曲线22:1169xyC，所以1695c.又因为1 2112102022PF FPPSc yy，所以4Py，所以选项 A错误；将4Py代入22:1169xyC得

9、2241169x，即203Px.由对称性，不妨取P的坐标为20,43，可知22220135433PF.由双曲线定义可知1213372833PFPFa，所以12133750333PFPF，所以选项 B 正确；由对称性，对于上面点P，在12PFF中，12371321033PFcPF.且2222121212125cos0213PFFFPFPF FPFFF，则21PF F为钝角，所以12PFF为钝角三角形，选项 C 正确；由余弦定理得222121212123191cos22481PFPFFFFPFPFPF，123FPF，所以选项 D错误.故选：BC.【点睛】本题考查焦点三角形有关命题的判断，涉及双曲线

10、的定义、余弦定理的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.10已知正项等比数列 na满足12a，4232aaa，若设其公比为 q，前 n项和为nS，则（）A2q B2nna C102047S D12nnnaaa【答案】ABD【解析】由条件可得32242qqq，解出q，然后依次计算验证每个选项即可.【详解】第 1 页 共 6 页 由题意32242qqq，得220qq，解得2q（负值舍去），选项 A正确；1222nnna，选项 B 正确；1221222 1nnnS，所以102046S，选项 C错误；13nnnaaa，而243nnnaaa，选项 D 正确 故选：ABD【点睛】本题考查等比数列的有关

11、计算，考查的是学生对基础知识的掌握情况，属于基础题.11 已知函数 sin 322f xx的图象关于直线4x对称，则（）A函数12fx为奇函数 B函数 f x在,12 3上单调递增 C若 122f xf x，则12xx的最小值为3 D函数 f x的图象向右平移4个单位长度得到函数cos3yx 的图象【答案】AC【解析】先根据对称轴可得4,即 sin 34fxx,将12x代入判断函数奇偶性进而判断选项 A；先求出 f x的单调增区间,再判断,12 3是否为其子集来判断B；将问题转化为符合条件的区间至少包含一个最大值,一个最小值,即需包含半个周期,即可判断 C；根据图像变换规则判断 D 即可【详解

12、】因为直线4x是 sin 322f xx的对称轴,所以342kkZ,则4kkZ,当0k 时,4,则 sin 34fxx,第 1 页 共 6 页 对于选项 A,sin 3sin312124fxxx,因为sin3sin3xx,所以12fx为奇函数,故 A正确；对于选项 B,232242kxkkZ,即21212343kkxkZ,当0k 时,f x在,12 4当单调递增,故B错误；对于选项 C,若 122f xf x,则12xx最小为半个周期,即21323,故 C 正确；对于选项 D,函数 f x的图象向右平移4个单位长度,即sin 3sin 3sin344xxx,故 D 错误 故选：AC【点睛】本题

13、考查正弦型函数的对称性,周期性,单调性的应用,考查转化思想,熟练掌握正弦型函数的图象与性质是解题关键 12如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，线段11B D上有两个动点E、F，且12EF，则下列结论中正确的是（）AACBE B/EF平面ABCD CAEF的面积与BEF的面积相等 D三棱锥ABEF的体积为定值 【答案】ABD 第 1 页 共 6 页【解析】对各选项逐一作出正确的判断即可.【详解】可证AC 平面11D DBB，从而ACBE，故 A 正确；由11/B D平面ABCD，可知/EF平面ABCD，B 也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥ABEF的高，1111224BE

14、FS，三棱锥ABEF的体积为112234224为定值，D 正确；很显然，点A和点B到的EF距离是不相等的，C错误.故选：ABD【点睛】本题主要考查空间线、面的位置关系及空间几何体的体积与面积，属于中档题.三、填空题 13如果复数2,2,aibi a bR成等差数列，则ab_.【答案】4【解析】由等差数列列出等式后，根据复数相等即可求解.【详解】解:2222aibi，2,42aabb，故答案为：4.【点睛】考查等差数列的定义和复数相等的定义，基础题.14某车队有 6 辆车，现要调出 4 辆按一定的顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，则共有_种不同的调度方法.（用数字填

15、写答案）【答案】72 第 1 页 共 6 页【解析】分 3种情况讨论，甲车排第 1 号，乙车可排 2、3、4 号；当甲车排第 2 号，乙车可排 3、4号；当甲车排第 3 号，乙车只可排 4号；根据分类计数加法和分步计数乘法原理得到结果【详解】当甲车排第 1 号，乙车可排 2、3、4 号，有 3种选择；当甲车排第 2号，乙车可排 3、4号，有 2种选择；当甲车排第 3号，乙车只可排 4 号，只有 1 种选择；除甲、乙两车外，在其余 4 辆车中任意选取 2 辆按顺序排列，有24A种选法；因此共有：（3+2+1）24A72种不同的调度方案 故答案为：72【点睛】本题考查分类计数和分步计数，是一个计数

16、原理的综合应用，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步 15 设函数 f(x)1,00,01,0 xxx，g(x)x2f(x1)，则函数 g(x)的单调递减区间是 _.【答案】0，1)【解析】由题意知 g(x)22,10,1,1xxxxx，画出分段函数的图像，根据图像即可求解.【详解】由题意知 g(x)22,10,1,1xxxxx，函数图象如图所示：其递减区间是0，1).故答案为：0，1)【点睛】本题考查了求分段函数的单调区间，解题的关键是作出函数图像，属于基础题.16已知定义在R上的奇函数 f x，设其导函数为()fx，当(,0)x 时，恒有 第

17、 1 页 共 6 页()()xfxfx，令 fxF xx，则满足 21F xFx的实数x的取值范围为_.【答案】1 11,13 22【解析】根据 f x定义在R上的奇函数，将()()xfxfx，转化为()()0 xfxf x，构造 fxF xx，利用导数得到当(,0)x 时，F x递减，再由 f x是减函数，得到 fxF xx为偶函数，然后将不等式 21F xFx转化为 21FxFx，利用单调性定义求解.【详解】因为 f x定义在R上的奇函数，所以()()xfxfx，等价于()()xfxf x，()()0 xfxf x，令 fxF xx，2xfxfxFxx，当(,0)x 时，0Fx，F x递减

18、，因为 f x定义在R上的奇函数，所以 fxF xx为偶函数，所以不等式 21F xFx等价于 21FxFx，所以21xx，且0,210 xx，即23410 xx，且10,2xx，解得113x且12x，所以实数x的取值范围为1 11,13 22，故答案为：1 11,13 22【点睛】第 1 页 共 6 页 本题主要考查函数单调性与导数，函数奇偶性与单调性综合应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.四、解答题 17已知函数2()2 sin()cos()23f xaxx，且()13f.（1）求a的值及()f x的最小正周期；（2）若1()3f，(0,)2，求 sin2【答案】（1）2a，；（

19、2）32 26【解析】（1）由()13f得到a的值，再对 fx进行整理化简，得到 2sin(2)16f xx，从而得到 fx的最小正周期；（2）由1()3f 得到1sin(2)63，判断出26的范围，得到2 2cos(2)63，再将sin2转化为sin266，利用公式展开，从而得到答案.【详解】（1）由已知()13f，得112122a，解得2a.所以31()4cos(sincos)22f xxxx22 3sincos2cosxxx 3sin 2cos21xx2sin(2)16x.所以()2sin(2)16f xx的最小正周期为.（2）1()3f，12sin(2)163 ，1sin(2)63，因

20、为(0,)2，所以52(,)666，又11sin(2)632，所以2(0,)66.所以22 2cos(2)1sin(2)663，则sin2=sin(2)66 sin(2)coscos(2)sin6666 132 2132 232326.第 1 页 共 6 页【点睛】本题考查利用三角函数公式进行化简求正弦型函数解析式，求正弦型函数的周期性，三角函数给值求值题型，利用两角和的正弦公式求值，属于简单题.18已知数列 na的前n项和为nS，且2,nSnn数列 nb满足122212121nnnbbba 1求数列 na，nb的通项公式；2若,4nnna bcn求数列 nc的前n项和nT.【答案】12nan

21、 nN；122nnbnN；211 22nnTn.【解析】1由数列的递推式及相应求数列通项的方法即可得出结果；2根据题干求出nc，利用错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算得出结果.【详解】解：1因为2nSnn，所以当1n 时，112aS，当2n 时221,112nnnaSSnnnnn，又12a 也满足上式，所以2nan nN.又1222212121nnnbbban，所以11221222,212121nnbbbnnnN，两式作差得，221nnb，所以1222,nnbnnN，当1n 时，123b，16b，又16b 满足上式，所以122nnbnN.2因为12222,44nnnnnna bcnn

22、n 所以231 2223 22nnTn ，23121 222122nnnTnn，两式相减，得23122222nnnTn，即1111122222221212nnnnnnTnnn，所以11 22nnTn.【点睛】第 1 页 共 6 页 本题考查数列的递推式的应用，考查数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，考查化简运算能力，属于中档题.19如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，/ABEF，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直，已知2AB，1EF （）求证：平面DAF 平面CBF；（）当AD的长为何值时，二面角DFEB的大小为60 【答案】(1)见解析(2)64【解析】【详解】试题分析：（

23、1）先根据面面垂直性质定理得CB 平面ABEF，即得AFCB，再根据圆性质得AFBF，根据线面垂直判定定理得AF 平面CBF，最后根据面面垂直判定定理得结论（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组求各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据向量夹角与二面角关系建立方程，求出AD的长 试题解析：（）平面ABCD 平面,ABEF CBAB，平面ABCD平面ABEFAB，CB 平面ABEF，AF 平面ABEF，AFCB，又AB为圆O的直径，AFBF，AF 平面CBF，AF 平面ADF，平面DAF 平面CBF（）设EF中点为G，以O为坐标原点，OAOGAD、方向分别为x轴、y轴

24、、z轴方向建立空间直角坐标系（如图）设(0)ADt t，则点D的坐标为1,0,t，则 第 1 页 共 6 页 1,0,Ct，又131,0,0,1,0,0,022ABF，设平面DCF的法向量为1,nx y z，则11CD0,FD0nn，即20302xytz，令3z，解得0,2xyt 10,2,3nt 由（1）可知AF 平面CFB，取平面CBF的一个法向量为213,022nAF，12012cos60n nn n，即231243tt，解得64t，因此，当AD的长为64时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为 60 20已知抛物线24xy，过点4,2P作斜率为k的直线l与抛物线交于不同的两点M

25、，N（1）求k的取值范围；（2）若OMN为直角三角形，且OMON，求k的值【答案】（1）22k 或22k （2）12k 【解析】（1）设直线的方程，联立直线和抛物线的方程得241680 xkxk，解2420kk即可；（2）结合韦达定理，计算0OM ON的坐标表示即可.【详解】解：（1）由题意，设直线l方程为24yk x，联立方程组2424xyyk x，消去x得241680 xkxk，要使直线l与抛物线交于不同的两点M，N，则2164 1680kk，第 1 页 共 6 页 即2420kk，解得22k 或22k，综上，k的取值范围为22k 或22k.（2）设11,M x y，22,N xy，由（1

26、）可知1x，2x是241680 xkxk的两个根，则124xxk，12168x xk，法一：因为OMN为直角三角形，且OMON，所以0OM ON，即12120 x xy y，因为 12124242y ykxkkxk 2212124242k x xkkxxk 22221684424242kkkkkk，所以有2168420kk，解得12k 或12k ，当12k 时，直线过原点，O，M，N不能够构成三角形，所以12k .法二：因为OMN为直角三角形，且OMON，所以0OM ON，即12120 x xy y，因为2221212124416x xxxy y，所以21212016x xx x，因为120

27、x x，所以1216x x ，即16816k ，解得12k ，此时满足（1）中k的取值范围，所以12k .【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，根据位置关系求解参数的范围，根据其中的几何关系结合韦达定理求解参数.212020 年寒假是特殊的寒假，因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取 120 名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为 11：13，其中男生 30 人对于线上教育满意，女生中 第 1 页 共 6 页 有 15 名表示对线上教育不满意.（1）完成22列联表，并回答能否有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别

28、有关”；满意 不满意 总计 男生 20 女生 15 合计 120 （2）从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取 8 名学生，再在 8 名学生中抽取 3 名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为，求出的分布列及期望值.参考公式：附：22()()()()()n adbcKab ac bd cd 2P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 0.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10828 【答案】（1）填表见解析；有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”（2）分布列见解析，期望为98

29、【解析】（1）根据所给数据可得列联表，然后计算2K可得；（2）由分层抽样可知男生抽 3人，女生抽 5 人，的可能取值为 0，1，2，3，并且服从超几何分布，计算出概率得分布列，再由期望公式计算出期望【详解】解：（1）因为男生人数为：111205511 13，所以女生人数为1205565，于是可完成 22列联表，如下：第 1 页 共 6 页 满意 不满意 总计 男生 30 25 55 女生 50 15 65 合计 80 40 120 根据列联表中的数据，得到2K的观测值 22120(30152550)9606.7136.63555658040143K，所以有 99%的把握认为对“线上教育是否满意

30、与性别有关”.（2）由（1）可知男生抽 3 人，女生抽 5 人，依题可知的可能取值为 0，1，2，3，并且服从超几何分布，33538()(0,1,2,3)kkC CPkkC，即 35385(0)28CPC，21533815(1)28C CPC 12533815(2)56C CPC，33381(3)56CPC.可得分布列为 0 1 2 3 P 528 1528 1556 156 可得5151519()0123282856568E .【点睛】本题考查独立性检验，考查分层抽样，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题难点是确定随机变量服从超几何分布，从而易计算概率 22已知函数 32,lnf xxx

31、b g xax.第 1 页 共 6 页（1）若函数 f x在区间1,12上的最大值为38，求实数b的值；（2）对任意的 1,xe，都有 22g xxax 恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）0；（2）,1.【解析】（1）利用导数研究 f x在区间1,12上的单调性，根据 f x在区间1,12上的最大值，求得b的值.（2）将不等式 22g xxax 分离常数a，利用构造函数法，结合导数求得a的取值范围.【详解】（1）23232fxxxxx ，令 0fx，得0 x 或23x.当1,02x 时，函数 f x为减函数，当20,3x时，函数 f x为增函数，当2,13x时，函数 f x为减函数.1

32、324,28327fbfb，1223ff，133288fb，0b.(2)由 22,g xxax得22lnxx axx.1,ln1,xexx 由于不能同时取等号，ln,xx即ln0 xx，22lnxxaxx在 1,xe上恒成立 令 22lnxxh xxx，1,xe，则 2122ln,lnxxxhxxx 当 1,xe时，10,x 22ln2 1 ln0,xxxx 从而 0h x，第 1 页 共 6 页 函数 22lnxxh xxx在 1,e上为增函数.函数 min11h xh，1a.故实数a的取值范围为,1.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.