人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题：专项强化训练(二)三角函数与平面向量的综合应用.pdf

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1、=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=源-于-网-络-收-集 专项强化训练(二)三角函数与平面向量的综合应用 一、选择题 1.(2015江淮模拟)在ABC 中,已知 a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,S 为 p=(S,a+b+c),q=(a+b-c,1),满足 pq,则 tan=()A.B.【解析】pq 得 S=(a+b)2-c2=2ab+a2+b2-c2,即 absinC=2ab+2abcosC,亦即 sinC=1+cosC,tan=4.a=(1,),b=(cos,sin),若 ab,则 tan=()A.B.【解析】ab,所以 sin-cos=0,即 sin=cos.故

2、 tan=.ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,m=(bcosC,-1),n=(c-3a)cosB,1),且mn,则 cosB 的值为()A.C.【解题提示】利用已知转化为边角关系后利用余弦定理角化边后可解.【解析】mn,得 bcosC+(c-3a)cosB=0.所以=.则 c(a2+b2-c2)=3a(a2+c2-b2)-c(a2+c2-b2).所以 2a2c=3a(a2+c2-b2),则=.于是 cosB=.=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=源-于-网-络-收-集 4.(2015临沂模拟)若向量 a=(cos,sin),b=(cos,sin),则 a 与 b

3、一定满足()A.a 与 b 的夹角等于-B.ab C.ab D.(a+b)(a-b)【解题提示】欲求 a 与 b 满足的关系,先利用平面向量数量积公式,判断 a 与 b是否有垂直或者平行的关系,再结合选项判断.【解析】ab=(cos,sin)(cos,sin)=cos(-),这表明这两个向量的夹角的余弦值为 cos(-).同时,也不能得出 a 与 b 的平行和垂直关系.因为计算得到(a+b)(a-b)=0,所以(a+b)(a-b).故选 D.5.(2015鹰潭模拟)已知 P,M,N 是单位圆上互不相同的三个点,且满足|=|,则的最小值是()【解析】选 B.根据题意,不妨设点 P 的坐标为(1,

4、0),点 M 的坐标为(cos,sin),点 N 的坐标为(cos,-sin),其中 0,则=(cos-1,sin),=(cos-1,-sin),所以=(cos-1,sin)(cos-1,-sin)=(cos-1)2-sin2=cos2-2cos+1-sin2=2cos2-2cos=2-,=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=源-于-网-络-收-集 所以当 cos=时,有最小值-.二、填空题 ABC 中,内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,已知 m=(1,2),n=(ccosA,b),p=(c,-bcosA),若 mn,mp,则ABC 的形状是 .【解题提示】利用向量关系转化

5、为边角关系后,再边化角可解.【解析】由 mn 可得,b=2ccosA.由正弦定理可得 sinB=2sinCcosA,即 sin(A+C)=2sinCcosA.从而 sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA,故 sinAcosC-cosAsinC=0.即 sin(A-C)=0,又-A-C,所以 A-C=0,即 A=C.由 mp 可得 c-2bcosA=0,从而 sinC-2sinBcosA=0,故 sin(A+B)-2sinBcosA=0.即 sinAcosB-cosAsinB=0,即 sin(A-B)=0,故 A-B=0,A=B.所以 A=B=C.故三角形为等边三角形.答案:等边

6、三角形 7.(2015银川模拟)已知正三角形 OAB 中,点 O 为原点,点 B 的坐标是(-3,4),点A在第一象限,向量m=(-1,0),记向量m与向量的夹角为,则sin的值=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=源-于-网-络-收-集 为 .【解析】设向量与 x 轴正向的夹角为,则+=+=,且有 sin=,cos=-,sin=sin(-)=sin=sin-cos=-=.答案:ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-,若 a=4,b=5,则在方向上的射影为 .【解题提示】利用已知条件先转化求得 co

7、sA,再利用正余弦定理可解.【解析】由 2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-,得cos(A-B)+1cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-,即 cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-.则 cos(A-B+B)=-,即 cosA=-.由 0Ab,则 AB,故 B=,根据余弦定理,有(4)2=52+c2-25c,解得 c=1 或 c=-7(舍去).故向量在方向上的射影为|cosB=.答案:三、解答题=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=源-于-网-络-收-集 9.(2015九江模拟)在ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的

8、对边,m=(2a+c,b),n=(cosB,cosC),且 mn=0.(1)求角 B 的大小.(2)设函数 f(x)=sin2xcos(A+C)-cos2x,求函数 f(x)的最小正周期,最大值及当 f(x)取得最大值时 x 的值.【解析】(1)由已知得,(2a+c)cosB+bcosC=0,即(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0,即 2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0.所以 2sinAcosB+sin(B+C)=0,即 2sinAcosB+sinA=0.因为 0A,所以 sinA0.所以 2cosB+1=0,所以 cosB=-.又 0B,所以 B=.

9、(2)因为 f(x)=sin2xcos(A+C)-cos2x=-sin2xcosB-cos2x=sin2x-cos2x=sin.故 f(x)的最小正周期 T=.当 2x-=2k+,kZ 即当 x=k+,kZ 时,f(x)max=1.10.已知平面向量 a=(cos,sin),b=(cosx,sinx),c=(sin,-cos),其中0,且函数 f(x)=(ab)cosx+(bc)sinx 的图像过点.=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=源-于-网-络-收-集(1)求的值及函数 f(x)的单调增区间.(2)先将函数 y=f(x)的图像向左平移 个单位,然后将得到函数图像上各点的横坐标

10、变为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图像,求函数 y=g(x)在上的最大值和最小值.【解题提示】(1)由平面向量数量积的运算及三角函数的相关公式化简函数解析式,由函数 f(x)的图像过定点确定的值,并由此求函数 f(x)的单调增区间.(2)先根据图像变换的法则确定函数 g(x)的表达式,并由此根据给定的范围求函数 g(x)的最值.【解析】(1)因为 ab=coscosx+sinsinx=cos(-x),bc=cosxsin-sinxcos=sin(-x).所以 f(x)=(ab)cosx+(bc)sinx=cos(-x)cosx+sin(-x)sinx=cos(-x-x)=

11、cos(2x-),即 f(x)=cos(2x-),所以 f=cos=1,而 0,所以=.所以 f(x)=cos,由 2k-2x-2k.得 k-xk+,即 f(x)的单调增区间为(kZ).(2)由(1)得,f(x)=cos,平移后的函数为=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=源-于-网-络-收-集 y=cos=cos,于是 g(x)=cos.当 x时,-x-.所以 cos1,即当 x=时,g(x)取得最小值,当 x=时,g(x)取得最大值 1.11.ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m=(-1,1),n=（cosBcosC,sinBsinC-）,且 mn

12、.(1)求 A 的大小.(2)现给出下列四个条件:a=1;b=2sinB;2c-(+1)b=0;B=45.试从中再选择两个条件以确定ABC,求出你所确定的ABC 的面积.【解析】(1)因为 mn,所以-cosBcosC+sinBsinC-=0,即 cosBcosC-sinBsinC=-,cos(B+C)=-,因为 A+B+C=180,所以 cos(B+C)=-cosA,所以 cosA=,又 0A180,所以 A=30.(2)选择可确定ABC.因为 A=30,a=1,2c-(+1)b=0,由余弦定理 12=b2+-2bbcos30,整理得 b2=2,b=,c=.=Word 行业资料分享-可编辑版

13、本-双击可删=源-于-网-络-收-集 所以 SABC=bcsinA=.【一题多解】(2)选择可确定ABC.因为 A=30,a=1,B=45,所以 C=105.因为 sin105=sin(60+45)=sin60cos45+cos60sin45=,由正弦定理=,得 b=,所以 SABC=absinC=1=.【加 固 训 练】(2015 上 饶 模 拟)已 知 a=(sinx,1),b=(cosx,-),若f(x)=a(a-b),求:(1)f(x)的最小正周期及对称轴方程.(2)f(x)的单调递增区间.(3)当 x时,函数 f(x)的值域.【解析】因为 a=(sinx,1),b=,所以 a-b=,

14、所以 f(x)=a(a-b)=sinx(sinx-cosx)+=sin2x-sinxcosx+=-sin2x+=2-(sin2x+cos2x)=2-sin,所以函数 f(x)的最小正周期为 T=,令 2x+=+k(kZ),解得 x=+(kZ),=Word 行业资料分享-可编辑版本-双击可删=源-于-网-络-收-集 所以函数 f(x)对称轴方程为 x=+(kZ).(2)因为 f(x)=2-sin,所以函数 f(x)的单调增区间为函数 y=sin 2x+的单调减区间,令+2k2x+2k(kZ),即得+kx+k(kZ),所以函数 f(x)的单调增区间为(kZ).(3)令 2x+=t,所以原式化为 f(t)=2-sint,因为 t,所以-sint1,即得 2-f(t),所以函数 f(x)在区间上的值域为.