2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题(理科)word解析版.pdf

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1、10、已知a为常数，函数()lnf xxxax有两个极值点1212,()x xxx，则（）A.121()0,()2f xf x B.121()0,()2f xf x C.121()0,()2f xf x D.121()0,()2f xf x 【解析与答案】令()12ln0fxaxx 得021a，ln21(1,2)iixaxi。又102fa，121012xxa 。222111111111()ln210f xxxaxxaxaxaxx，222222211()11122f xaxxxaxaxaa 。故选 D。【相关知识点】函数导数与极值，函数的性质 二、填空题（一）必考题 11、从某小区抽取 100

2、户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 到 350 度之间，频率分布直方图所示。（I）直方图中x的值为 ；（II）在这些用户中，用电量落在区间100,250内的户数为 。【解析与答案】0.0060.00360.0024 20.0012501x，0.0044x 0.00360.0060.004450 10070 【相关知识点】频率分布直方图 12、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i 。【解析与答案】5 程序框图运行过程如表所示：i 1 2 3 4 5 a 10 5 16 8 4 【相关知识点】程序框图 13、设,x y zR，且满足：2221xyz，2314xyz，则x

3、yz 。【解析与答案】由柯西不等式知222222212323xyzxyz，结合已知条件得123xyz，从而解得1412314xyz，3 147xyz。【相关知识点】柯西不等式及其等号成立的条件）否 1ii?4a 10,1ai 开始 是 结束 a是奇数?31aa 2aa 是 否 输出i （）（综合法）如图 1，连接BD，由（）可知交线l即为直线BD，且lAC.因为AB是O的直径，所以ACBC，于是lBC.已知PC 平面ABC，而l 平面ABC，所以PCl.而PCBCC，所以l 平面PBC.连接BE，BF，因为BF 平面PBC，所以lBF.故CBF就是二面角ElC 的平面角，即CBF.由12DQC

4、P，作DQCP，且12DQCP.连接PQ，DF，因为F是CP的中点，2CPPF，所以DQPF，从而四边形DQPF是平行四边形，PQFD.连接CD，因为PC 平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，故CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即CDF.又BD 平面PBC，有BDBF，知BDF为锐角，故BDF为异面直线PQ与EF所成的角，即BDF，于是在RtDCF，RtFBD，RtBCF中，分别可得 sinCFDF，sinBFDF，sinCFBF，从而sinsinsinCFBFCFBFDFDF，即sinsinsin.（）（向量法）如图 2，由12DQCP，作DQCP，且12DQCP.连接PQ

5、，EF，BE，BF，BD，由（）可知交线l即为直线BD.以点C为原点，向量,CA CB CP所在直线分别为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,2CAa CBb CPc，则有(0,0,0),(,0,0),(0,0),(0,0,2),(,)CA aBbPcQ a b c,1(,0,),(0,0,)2EacFc.于是1(,0,0)2FEa，(,)QPab c，(0,)BFb c，所以222|cos|FEQPaFEQPabc，从而222222sin1cosbcabc.又取平面ABC的一个法向量为(0,0,1)m，可得222|sin|QPcQPabcmm，设平面BEF的一个法向量为(,)x

6、 y zn，所以由0,0,FEBFnn 可得10,20.axbycz 取(0,)c bn.于是22|cos|bbcm nmn，从而222sin1coscbc.故2222222222sinsinsinbcccabcbcabc，即sinsinsin.第 19 题解答图 1 第 19 题解答图 2 20、假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布2800,50N的随机变量。记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为0p。（I）求0p的值；（参考数据：若2,XN，有0.6826PX，220.9544PX，330.9974PX。）（II）某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的

7、长途客运业务，每车每天往返一次，A、B两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的运营成本分别为 1600元/辆和 2400 元/辆。公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车 7 辆。若每天要以不小于0p的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？20（）由于随机变量X服从正态分布2(800,50)N，故有800，50(700900)0.9544PX.由正态分布的对称性，可得 0(900)(800)(800900)pP XP XPX 11(700900)0.977222PX.（）设A型、B型车辆

8、的数量分别为,x y辆，则相应的营运成本为16002400 xy.依题意,x y还需满足:021,7,(3660)xyyxP Xxyp.由（）知，0(900)pP X，故0(3660)P Xxyp等价于3660900 xy.于是问题等价于求满足约束条件21,7,3660900,0,xyyxxyx yx yN，且使目标函数16002400zxy达到最小的,x y.作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为(5,12),(7,14),(15,6)PQR.由图可知，当直线16002400zxy经过可行域的点 P 时，直线16002400zxy在 y 轴上截距2400z最小，即 z 取得最小值.故应

9、配备A型车 5 辆、B型车 12 辆.21、如图，已知椭圆1C与2C的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2nmn，过原点且不与x轴重合的直线l与1C，2C的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D。记mn，BDM和ABN的面积分别为1S和2S。（I）当直线l与y轴重合时，若12SS，求的值；（II）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得12SS？并说明理由。O x y B A 第 21 题图 C D M N 第 20 题解 21 依题意可设椭圆1C和2C的方程分别为 1C：22221xyam，2C：22221xyan.其中0amn，1.mn（）解法 1：如

10、图 1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为0 x，则 111|22SBDOMa BD，211|22SABONa AB，所以12|SBDSAB.在 C1和 C2的方程中分别令0 x，可得Aym，Byn，Dym，于是|1|1BDAByyBDmnAByymn.若12SS，则11，化简得2210.由1，可解得21.故当直线l与y轴重合时，若12SS，则21.解法 2：如图 1，若直线l与y轴重合，则|BDOBODmn，|ABOAOBmn；111|22SBDOMa BD，211|22SABONa AB.所以12|1|1SBDmnSABmn.若12SS，则11，化简得2210.由1，可解得21.故当直线

11、l与y轴重合时，若12SS，则21.（）解法 1：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l，使得12SS.根据对称性，不妨设直线l：(0)ykx k，点(,0)Ma，(,0)N a到直线l的距离分别为1d，2d，则 因为122|0|11akakdkk，222|0|11akakdkk，所以12dd.又111|2SBD d，221|2SAB d，所以12|SBDSAB，即|BDAB.由对称性可知|ABCD，所以|(1)|BCBDABAB，|(1)|ADBDABAB，于是|1|1ADBC.将l的方程分别与 C1，C2的方程联立，可求得 O x y B A 第 21题解答图1 C D M N O x

12、y B A 第 21 题解答图 2 C D M N 222Aamxa km，222Banxa kn.根据对称性可知CBxx，DAxx，于是 222222221|2|21|ADABBCkxxxADma knBCxna kmkxx.从而由和式可得 2222221(1)a kna km.令1(1)t，则由mn，可得1t，于是由可解得22 2222(1)(1)ntkat.因为0k，所以20k.于是式关于k有解，当且仅当22 222(1)0(1)ntat，等价于2221(1)()0tt.由1，可解得11t，即111(1)，由1，解得12，所以 当112 时，不存在与坐标轴不重合的直线 l，使得12SS；

13、当12 时，存在与坐标轴不重合的直线 l 使得12SS.解法 2：如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l，使得12SS.根据对称性，不妨设直线l：(0)ykx k，点(,0)Ma，(,0)N a到直线l的距离分别为1d，2d，则 因为122|0|11akakdkk，222|0|11akakdkk，所以12dd.又111|2SBD d，221|2SAB d，所以12|SBDSAB.因为221|1|BDABABABkxxxxBDABxxkxx，所以11ABxx.由点(,)AAA xkx，(,)BBB xkx分别在 C1，C2上，可得 222221AAxk xam，222221BBxk xan，两

14、式相减可得22222222()0ABABxxkxxam，依题意0ABxx，所以22ABxx.所以由上式解得22222222()()ABBAmxxkaxx.因为20k，所以由2222222()0()ABBAmxxaxx，可解得1ABxx.从而111，解得12，所以 当112 时，不存在与坐标轴不重合的直线 l，使得12SS；当12 时，存在与坐标轴不重合的直线 l 使得12SS.22、设n是正整数，r为正有理数。（I）求函数1()111(1)rf xxrxx 的最小值；（II）证明：11111111rrrrrnnnnnrr；（III）设xR，记x 为不小于x的最小整数，例如22 ，4 ，312。

15、令3333818283125S，求S 的值。（参考数据：4380344.7，4381350.5，43124618.3，43126631.7）22（）因为()(1)(1)(1)(1)(1)1rrfxrxrrx，令()0fx，解得0 x.当10 x 时，()0fx，所以()f x在(1,0)内是减函数；当0 x 时，()0fx，所以()f x在(0,)内是增函数.故函数()f x在0 x 处取得最小值(0)0f.（）由（），当(1,)x 时，有()(0)0f xf，即 1(1)1(1)rxrx，且等号当且仅当0 x 时成立，故当1x 且0 x 时，有1(1)1(1)rxrx.在中，令1xn（这时1

16、x 且0 x），得111(1)1rrnn.上式两边同乘1rn，得11(1)(1)rrrnnn r，即 11(1).1rrrnnnr 当1n 时，在中令1xn（这时1x 且0 x），类似可得 11(1).1rrrnnnr 且当1n 时，也成立.综合，得 1111(1)(1).11rrrrrnnnnnrr （）在中，令13r，n分别取值 81，82，83，125，得 44443333333818081(8281)44（），44443333333828182(8382)44（），44443333333838283(8483)44（），44443333333125124125(126125)44（）.将以上各式相加，并整理得444433333312580(12681)44S（）.代入数据计算，可得4433312580210.24（），4433312681210.94（）.由S 的定义，得211S .