2013高考数学复习专题-直线与圆锥曲线问题的处理方法(2).pdf

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1、 第1页 教师备课、备考伴侣 专注中国基础教育资源建设 恒谦教育教学资源库 适用于新课程各种版本教材的教学 全国统一客服电话：400-715-6688 2012 高考数学复习专题直线与圆锥曲线问题的处理方法（2)（基础知识)高考要求 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次，有利于选拔的功能 重难点归纳 1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方

2、程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法 2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式);涉及弦长的中点问题，常用“点差法设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍 典型题例示范讲解 例 1 如图，已知某椭圆的焦点是 F1(4,0)、F2（4，0）,过点 F2并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为 B，且F1B+|F2B|=10，椭圆上不同的两点 A（x1，y1），C（x2，y2)满足条件 F2A|、F2

3、B|、F2C|成等差数列 (1）求该弦椭圆的方程；(2）求弦 AC 中点的横坐标；(3）设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m，求m 的取值范围 命题意图 本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强 知识依托 椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法 错解分析 第三问在表达出“k=3625y0”时,忽略了“k=0时的情况，理不清题目中变量间的关系 技巧与方法 第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式）求解，第三问利用 m 表示出弦 AC 的中点 P 的纵坐标 y0，利

4、用 y0的范围求 m 的范围 解 (1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+F2B=10,得 a=5,又 c=4,所以 b=22ca=3 故椭圆方程为92522yx=1 （2）由点 B（4,yB)在椭圆上,得F2B=|yB=59 因为椭圆右准线方程为 x=425,离心率为54，根据椭圆定义，有F2A=54（425x1）,|F2C=54(425x2），由|F2A|、|F2B|、F2C成等差数列，得 54（425x1）+54（425x2）=259，由此得出 x1+x2=8 设弦 AC 的中点为 P(x0,y0）,则 x0=221xx=4 （3）解法一 由 A(x1，y1)，C（x2,y2)在椭圆

5、上 得221122229259 25 9259 25 xyxy 得 9（x12x22)+25(y12y22）=0,F1F2BCBAoyx 第2页 教师备课、备考伴侣 专注中国基础教育资源建设 恒谦教育教学资源库 适用于新课程各种版本教材的教学 全国统一客服电话：400-715-6688 即 9)()2(25)2(21212121xxyyyyxx=0(x1x2)将kxxyyyyyxxx1,2,422121021021(k0）代入上式，得 94+25y0(k1)=0 (k0）即 k=3625y0（当 k=0 时也成立)由点 P（4，y0）在弦 AC 的垂直平分线上，得 y0=4k+m,所以 m=y

6、04k=y0925y0=916y0 由点 P（4,y0)在线段 BB(B与 B 关于 x 轴对称）的内部，得59y059,所以516m516 解法二 因为弦 AC 的中点为 P(4，y0）,所以直线 AC 的方程为 yy0=k1(x4）(k0）将代入椭圆方程92522yx=1,得(9k2+25）x250(ky0+4)x+25(ky0+4)2259k2=0 所以 x1+x2=259)4(5020kk=8，解得 k=3625y0 （当 k=0 时也成立）（以下同解法一)例 2 若抛物线21yax上总存在关于直线0 xy对称的两点，求a的范围 解法一 （对称曲线相交法）曲线21yax关于直线0 xy

7、对称的曲线方程为21xay 如果抛物线21yax上总存在关于直线0 xy对称的两点，则两曲线 21yax与21xay 必有不在直线0 xy上的两个不同的交点(如图所示），从而可由 2211yaxxay 22()yxa xy 0,xy 1yxa 代入21yax得 2110axxa 有两个不同的解，-x=ay2-1y=ax2-1x+y=0-1AAoyx 第3页 教师备课、备考伴侣 专注中国基础教育资源建设 恒谦教育教学资源库 适用于新课程各种版本教材的教学 全国统一客服电话：400-715-6688 213(1)4(1)04aaa 解法二 （对称点法）设抛物线21yax上存在异于于直线0 xy的交

8、点 的 点00(,)A xy,且在抛物线21yax上 00(,)A xy关于直线0 xy的对称点00(,)Ayx 也则 200200(1)1(2)()1yaxxay 必有两组解(1)-（2）得 220000()yxa xy 必有两个不同解 000yx，00()1a xy有解 从而有 200(1)1a xax有两个不等的实数解 即 220010a xaxa 有两个不等的实数解 22()4(1)0aaa 0a，34a 解法二 (点差法）设抛物线21yax上以1122(,),(,)A x yA x y为端点的弦关于直线0 xy对称，且以00(,)M xy为中点是抛物线21yax（即21(1)xya）

9、内的点 从而有 1201202,2xxxyyy 由211222(1)1(2)1yaxyax （1）-（2)得 221212()yya xx 1212012()2AAyyka xxaxxx 由0001111121,(,)2222AAkaxxyMaaaa y=ax2-1x+y=0-1AAoyxMy=ax2-1x+y=0-1AAoyx 第4页 教师备课、备考伴侣 专注中国基础教育资源建设 恒谦教育教学资源库 适用于新课程各种版本教材的教学 全国统一客服电话：400-715-6688 从而有 21113()(1)224aaaa 例 3 试确定m的取值范围，使得椭圆22143xy上有不同两点关于直线4y

10、xm对称 解 设椭圆22143xy上以1122(,),(,)A x yA x y为端点的弦关于直线4yxm对称，且以00(,)M xy为中点是椭圆22143xy内的点 从而有 1201202,2xxxyyy 由22112222(1)3412(2)3412xyxy (1)-（2)得 222212124()3()yyxx 012121212033()4()4AAxyyxxkxxyyy 由00003113444AAxkyxy 由00(,)M xy在直线4yxm上00,3(,3)xm ymMmm 从而有 222()(3)42 13 2 131(,)43131313mmmm 例 4 已知直线l过定点 A（4，0)且与抛物线2:2(0)C ypx p 交于 P、Q 两点，若以 PQ 为直径的圆恒过原点 O，求p的值 解 可设直线l的方程为4xmy代入22ypx 得 2280ypmyp 设1122(,),(,)P x y Q x y，则222121212122()8,16224yyy yy yp x xppp 由题意知,OPOQ，则0OP OQ 即 12121680 x xy yp 2p 此时，抛物线的方程为24yx My=4x+mAAoyxPQA(4,0)oyx