2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标II卷)数学试题(理科)解析版.pdf

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1、 注意事项：1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5 页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第卷 一.选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)izmm在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）（A）(31)，（B）(13)，（C）(1,)+（D）(3)-，【答案】A 考点：复数的几何意义.【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化

2、为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可 复数 zabi复平面内的点 Z(a，b)(a，bR)复数 zabi(a，bR)平面向量OZ.（2）已知集合1,A 2,3，|(1)(2)0,BxxxxZ，则AB（）（A）1 （B）12，（C）012 3，（D）101 2 3，【答案】C【解析】试题分析：集合Bx|1x2,xZ0,1，而A1,2,3，所以AB0,1,2,3，故选 C.考点：集合的运算.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理.（3）已知向量(1,)(3,2)am a，=，且()abb

3、+，则m（）（A）8 （B）6 （C）6 （D）8【答案】D【解析】试题分析：向量ab(4,m2)，由(ab)b得4 3(m2)(2)0 ，解得m8，故选 D.考点：平面向量的坐标运算、数量积.【名师点睛】已知非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)：结论 几何表示 坐标表示 模|a|aa|a|x21y21 夹角 cos ab|a|b|cos x1x2y1y2x21y21x22y22 ab 的充要条件 ab0 x1x2y1y20 （4）圆2228130 xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，则a=（）（A）43 （B）34 （C）3 （D）2【答案】A 考点：圆的方程、点到直线的距

4、离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离 d 与半径长 r 的大小关系来判断 若 dr，则直线与圆相离；若 dr，则直线与圆相切；若 dr，则直线与圆相交(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于 x(或 y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断 如果 0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交 提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法 （5）如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条

5、数为（）（A）24 （B）18 （C）12 （D）9【答案】B 考点：计数原理、组合.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的 分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的 （6）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A）20 （B）24 （C）28 （D）32【答案】C【解析】试题分析：由题意可知，圆柱的侧面积为122 416S，圆锥的侧面积为2122 482S，圆柱的底面面积为2324S，故该几何体的表面积为12328SSSS，故选 C.考点

6、：三视图，空间几何体的体积.【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:（7）若将函数2sin 2yx的图像向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）（A）()26kxkZ （B）()26kxkZ （C）()212kxkZ （D）()212kxkZ【答案】B 考点：三角函数的图象变换与对称性.【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对 x 而言，即 x 本身加减多少值，而不是依赖于 x 加减多少值（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2,2xn，依次输入的a为 2，2，5，则输出的s（）（A）7 （B）12 （C）17 （D）34【答案】C

7、 考点：程序框图，直到型循环结构.【名师点睛】直到型循环结构：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环当型循环结构：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环 （9）若3cos()45，则sin2（）（A）725 （B）15 （C）15 （D）725【答案】D【解析】试题分析：2237cos 22cos12144525 ，且cos 2cos2sin242，故选 D.考点：三角恒等变换.【名师点睛】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差(2)已知角为

8、一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系 （10）从区间 0,1随机抽取2n个数1x,2x，nx，1y，2y，ny，构成n个数对11,x y，22,x y，,nnx y，其中两数的平方和小于 1 的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（）（A）4nm （B）2nm （C）4mn （D）2mn【答案】C【解析】试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为224SRmSRn圆正方形，所以4mn.选 C.考点：几何概型.【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成

9、的平面图形，以便求解 （11）已知12,F F是双曲线2222:1xyEab的左，右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，211sin3MF F,则E的离心率为（）（A）2 （B）32 （C）3 （D）2【答案】A 考点：双曲线的性质.离心率.【名师点睛】区分双曲线中 a，b，c 的关系与椭圆中 a，b，c 的关系，在椭圆中 a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.双曲线的离心率 e(1，)，而椭圆的离心率 e(0，1)（12）已知函数()()f x xR满足()2()fxf x，若函数1xyx与()yf x图像的交点为1122(,),(,),(,),mmx yxyxy则1()miiixy（）（

10、A）0 （B）m （C）2m （D）4m【答案】B 考点：函数图象的性质【名师点睛】如果函数()f x，xD，满足xD，恒有()()f axf bx，那么函数的图象有对称轴2abx；如果函数()f x，xD，满足xD，恒有()()f axf bx，那么函数的图象有对称中心.第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13 21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2224题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分(13)ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，若4cos5A，5cos13C，1a，则b 【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos,co

11、s513AC，且,A C为三角形内角，所以312sin,sin513AC，13sinsin()sin()sincoscossin65BACABACAC，又因为sinsinabAB，所以sin21sin13aBbA.考点：三角函数和差公式，正弦定理.【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到 (14),是两个平面，,m n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果,

12、/mn mn，那么.（2）如果,/mn，那么mn.（3）如果/,m，那么/m.（4）如果/,/mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号）【答案】考点：空间中的线面关系.【名师点睛】求解本题应注意在空间中考虑线、面关系.（15）有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 【答案】1 和 3【解析】试题分析：由题意分析可知甲的卡片上数字为

13、 1 和 3，乙的卡片上数字为 2 和 3，丙卡片上数字为 1 和 2.考点：逻辑推理.【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.（16）若直线ykxb是曲线ln2yx的切线，也是曲线ln(1)yx的切线，则b 【答案】1ln 2 考点：导数的几何意义.【名师点睛】函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点 P(x0，y0)处的切线的斜率相应地，切线方程为 yy0

14、f(x0)(xx0)注意：求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的不同 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分 12 分）nS为等差数列 na的前n项和，且17=128.aS，记=lgnnba，其中 x表示不超过x的最大整数，如 0.9=0 lg99=1，（）求111101bbb，；（）求数列 nb的前 1 000 项和【答案】（）10b，111b，1012b；（）1893.【解析】试题分析：（）先用等差数列的求和公式求公差d，从而求得通项na，再根据已知条件 x表示不超过x的最大整数，求111101bbb，；（）对n分类讨论，再用分段函数表示n

15、b，再求数列 nb的前 1 000 项和 试题解析：（）设na的公差为d，据已知有72128d，解得1.d 所以na的通项公式为.nan 111101lg10,lg111,lg1012.bbb 考点：等差数列的的性质，前n项和公式，对数的运算.【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.18.（本题满分 12 分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数

16、 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率；（）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值【答案】（）0.55；（）；（）1.23.【解析】试题分析：（）根据互斥事件的概率公式求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）一续保人本年度的保费高于基本保费，当且仅当一年内出险次数大于

17、3，由条件概率公式求解；（）记续保人本年度的保费为X，求X的分布列，再根据期望公式求解.试题解析：（）设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于 1，故()0.20.20.10.050.55.P A （）设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于 3，故()0.10.050.15.P B 又()()P ABP B，故()()0.153(|).()()0.5511P ABP BP B AP AP A 因此所求概率为3.11 考点：条件概率，随机变量的分布列、期望.【名师点睛】条件概率的求法：(

18、1)定义法：先求 P(A)和 P(AB)，再由 P(B|A)PABPA，求 P(B|A)；(2)基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)nABnA.求离散型随机变量均值的步骤：(1)理解随机变量 X 的意义，写出 X 可能取得的全部值；(2)求 X 的每个值的概率；(3)写出 X 的分布列；(4)由均值定义求出 E(X)19.（本小题满分 12 分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，5,6ABAC，点,E F分别在,AD CD上

19、，54AECF，EF交BD于点H将DEF沿EF折到D EF位置，10OD （）证明：D H平面ABCD；（）求二面角BD AC的正弦值 【答案】（）详见解析；（）2 9525.又D HEF，而OHEFH，所以D HABCD 平面.ABCDDEHOzxyF（II）如图，以H为坐标原点，HF的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系Hxyz，则0,0,0H，3,2,0A ，0,5,0B，3,1,0C，0,0,3D，(3,4,0)AB，6,0,0AC，3,1,3AD.设111,mx y z是平面ABD的法向量，则00m ABm AD，即11111340330 xyxyz，所以可以取4,3,5m.设22

20、2,nxyz是平面ACD的法向量，则00n ACn AD，即222260330 xxyz，所以可以取0,3,1n.于是147 5cos,25|5010m nm nmn，2 95sin,25m n.因此二面角BD AC的正弦值是2 9525.考点：线面垂直的判定、二面角.【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；ab，ab；，aa；面面垂直的性质线面垂直的性质，常用来证明线线垂直 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 20.（本小题满分 12 分）已知椭圆:E221

21、3xyt的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为(0)k k 的直线交E于,A M两点，点N在E上，MANA（）当4,|tAMAN时，求AMN的面积；（）当2 AMAN时，求k的取值范围【答案】（）14449；（）32,2.试题解析：（I）设11,M x y，则由题意知10y，当4t 时，E的方程为22143xy，2,0A.由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为4.因此直线AM的方程为2yx.将2xy代入22143xy得27120yy.解得0y 或127y，所以1127y.因此AMN的面积11212144227749.因此33212kktk.3t 等价于232332132022kkkkkkk

22、，即3202kk.由此得32020kk，或32020kk，解得322k.因此k的取值范围是32,2.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解 （21）（本小题满分 12 分）()讨论函数xx2f(x)x2e的单调性，并证明当0 x 时，(2)20 xxex；()证明：当0,1)a时，函数2x=(0)xeaxagxx（）有最小值.设()g x的最小值为()h a，求函数()h a的值域【答案】（）详见解析；（）21(,.2 4e.（II）22(2)(2)2

23、()(),xxea xxg xf xaxx 由（I）知，()f xa单调递增，对任意0,1),(0)10,(2)0,afaafaa 因此，存在唯一0(0,2,x 使得0()0,f xa即0()0g x，当00 xx时，()0,()0,()f xag xg x单调递减；当0 xx时，()0,()0,()f xag xg x单调递增.因此()g x在0 xx处取得最小值，最小值为 000000022000(1)+()(1)().2xxxea xef xxeg xxxx 考点：函数的单调性、极值与最值.【名师点睛】求函数单调区间的步骤：(1)确定函数 f(x)的定义域；(2)求导数 f(x)；(3)

24、由 f(x)0(f(x)0)解出相应的 x 的范围 当 f(x)0 时，f(x)在相应的区间上是增函数；当 f(x)0 时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间 注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，在正方形ABCD中，,E G分别在边,DA DC上（不与端点重合），且DEDG，过D点作 DFCE，垂足为F()证

25、明：,B C G F四点共圆；()若1AB，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积 【答案】（）详见解析；（）12.（II）由,B C G F四点共圆，CGCB知FGFB，连结GB，由G为Rt DFC斜边CD的中点，知GFGC,故,Rt BCGRt BFG 因此四边形BCGF的面积S是GCB面积GCBS的 2 倍，即 111221.222GCBSS 考点：三角形相似、全等，四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边 证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等 （23）

26、（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为22(6)25xy（）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（）直线l的参数方程是cossinxtyt（t为参数）,l与C交于,A B两点，|10AB，求l的斜率【答案】（）212cos110；（）153.试题解析：（I）由cos,sinxy可得C的极坐标方程212cos110.（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为()R 由,A B所对应的极径分别为12,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得 212cos110.于是121212cos,11,22121212|

27、()4144cos44,AB 由|10AB 得2315cos,tan83，所以l的斜率为153或153.考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式.【名师点睛】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围要注意转化的等价性.（24）（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数11()|22f xxx，M为不等式()2f x 的解集（）求M；（）证明：当,a bM时，|1|abab【答案】（）|11Mxx；（）详见解析.试题解析：（I）12

28、,211()1,2212,.2x xf xxx x 当12x 时，由()2f x 得22,x解得1x ；当1122x时，()2f x；当12x 时，由()2f x 得22,x 解得1x.所以()2f x 的解集|11Mxx.（II）由（I）知，当,a bM时，11,11ab ，从而22222222()(1)1(1)(1)0abababa bab，因此|1|.abab 考点：绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如|xaxbc(或c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,a，(,a b，(,)b (此处设ab)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集(2)几何法：利用|(0)xaxbc c的几何意义：数轴上到点1xa和2xb的距离之和大于c的全体，|()|xaxbxaxbab.(3)图象法：作出函数1|yxaxb和2yc的图象，结合图象求解