挑战中学考试数学压轴题——平行四边形存在性问题.pdf

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1、.教师：学生：时间：2017 年月日 课题内容 平行四边形存在性问题 专题攻略 一、解平行四边形的存在性问题一般分三个步骤 第一步寻找分类标准,第二步画图,第三步计算.二、难点在于寻找分类标准,寻找恰当的分类标准,可以使得解的个数不重复不遗漏,也可以使 计算又准又快.三、如果三个定点,探寻平行四边形的第四个顶点,符合条件的有 3 个点以三个定点为 三角形的顶点,过每个点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生 3 个交点.四、如果两个定点,一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况.灵活运用向量和中心对称的性质,可以使得解题简便.典型例题.例 1如图,抛物线：y=x2x 与 x 轴交于 A

2、、BA 在 B 左侧,A1,0、B3,0,顶点为 C1,2 1求过 A、B、C 三点的圆的半径 2在抛物线上找点 P,在 y 轴上找点 E,使以 A、B、P、E 为顶点的四边形是平行四边形,求点 P、E 的坐标 1A1,0、B3,0、C1,2,AB=31=4,AC=2,BC=2,AB2=16,AC2+BC2=8+8=16,.AB2=AC2+BC2,ABC 是直角三角形,AB 是直径,故半径为 2；2当 AB 是平行四边形的边时,PE=AB=4,且点 P、E 的纵坐标相等,点 P 的横坐标为 4 或4,y=424=,或 y=42+4=,点 P、E 的坐标为 P14,、E10,或 P24,、E20

3、,如图,当 AB 是平行四边形的对角线时,PE 平分 AB,PE 与 x 轴的交点坐标 D1,0,过点 P 作 PFAB,如此 OD=FD,点 F 的坐标为2,0,点 P 的横坐标为 2,y=222=,点 P 的纵坐标为,点 P、E 的坐标为 P32,、E30,综上所述,点 P、E 的坐标为：P14,、E10,或 P24,、E20,或 P32,、E30,例 2将抛物线沿 c1：y=x2+沿 x 轴翻折,得拋物线 c2,如以下图 1请直接写出拋物线 c2的表达式.2现将拋物线 C1向左平移 m 个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为 M,与 x 轴的交点从左到右依次为 A,B；将抛物线 C2向

4、右也平移 m 个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为 N,与x 轴交点从左到右依次为 D,E 当 B,D 是线段 AE 的三等分点时,求 m 的值；在平移过程中,是否存在以点 A,N,E,M 为顶点的四边形是矩形的情形？假如存在,请求出此时 m的值；假如不存在,请说明理由 方法一：1根据翻折的性质可求拋物线c2的表达式；.2 求出拋物线c1与x轴的两个交点坐标,分当AD=AE时,当BD=AE时两种情况讨论求解；存在理由：连接 AN,NE,EM,MA根据矩形的判定即可得出 方法二：1求出翻折后抛物线顶点坐标,并求出抛物线表达式 2抛物线 c1 平移 m 个单位长度后,求出点 A,B,D,E 的

5、坐标,并分类讨论点 B 在点 D 左侧和右侧的两种情况,进而求出 m 的值 以点 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形,如此 ANEN,利用黄金法如此二,可求出 m 的值 解答方法一：解：1y=x2 2令x2+=0,得 x1=1,x2=1 如此拋物线 c1与 x 轴的两个交点坐标为1,0,1,0 A1m,0,B1m,0 同理可得：D1+m,0,E1+m,0 当 AD=AE 时,1+m1m=1+m1m,m=当 BD=AE 时,1m1+m=1+m1m,m=2 故当 B,D 是线段 AE 的三等分点时,m=或 2 存在 理由：连接 AN,NE,EM,MA依题意可得：Mm,Nm,即 M,N 关于原点

6、O 对称,OM=ON A1m,0,E1+m,0,A,E 关于原点 O 对称,OA=OE 四边形 ANEM 为平行四边形 AM2=m1+m2+2=4,ME2=1+m+m2+2=4m2+4m+4,AE2=1+m+1+m2=4m2+8m+4,假如 AM2+ME2=AE2,如此 4+4m2+4m+4=4m2+8m+4,m=1,此时 AME 是直角三角形,且AME=90 当 m=1 时,以点 A,N,E,M 为顶点的四边形是矩形 方法二：1略,2抛物线 C1：y=x2+,.与 x 轴的两个交点为1,0,1,0,顶点为0,抛物线 C2：y=x2,与 x 轴的两个交点也为1,0,1,0,顶点为0,抛物线 C

7、1向左平移 m 个单位长度后,顶点 M 的坐标为m,与 x 轴的两个交点为 A1m,0、B1m,0,AB=2,抛物线C2向右平移m个单位长度后,顶点N的坐标为 m,与x轴的两个交点为D 1+m,0、E1+m,0,AE=1+m1m=21+m,B、D 是线段 AE 的三等分点,有两种情况 1、B 在 D 的左侧,AB=AE=2,AE=6,21+m=6,m=2,2、B 在 D 的右侧,AB=AE=2,AE=3,21+m=3,m=3假如 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形,A1m,0,E1+m,0,Nm,、Mm,点 A,E 关于原点对称,点 N,M 关于原点对称,A、N、E、M 为顶点的四边形是平行

8、四边形,如此 ANEN,KANKEN=1,A1m,0,E1+m,0,Nm,=1,m=1 .强化训练 1 如图,抛物线 y=x2+bx+c 与 y 轴交于点 A 0,1,过点 A 的直线与抛物线交于另一点 B 3,过点 B 作 BCx 轴,垂足为 C 点 P 是 x 轴正半轴上的一动点,过点 P 作 PNx 轴,交直线 AB 于点M,交抛物线于点 N,设 OP 的长度为 m 1求抛物线的解析式；2当点 P 在线段 OC 上不与点 O、C 重合时,试用含 m 的代数式表示线段 PM 的长度；.3连结 CM,BN,当 m 为何值时,以 B、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形？解：1抛物线 y=x

9、2+bx+c 经过 A0,1和点 B3,抛物线的解析式为 y=x2+x+1；2设直线 AB 的解析式为 y=kx+bk0,A0,1,B3,.,直线 AB 的解析式为 y=x+1,PNx 轴,交直线 AB 于点 M,交抛物线于点 N,OP=m,Pm,0,Mm,m+1,PM=m+1；3由题意可得：Nm,m2+m+1,MNBC,当 MN=BC 时,四边形 BCMN 为平行四边形,当点 P 在线段 OC 上时,MN=m2+m,又BC=,m2+m=,解得 m1=1,m2=2；当点 P 在线段 OC 的延长线上时,MN=m2m,m2m=,解得 m1=不合题意,舍去,m2=,综上所述,当 m 的值为 1 或

10、 2 或时,以 B、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形 2如图,二次函数的图象 M 经过 A1,0,B4,0,C2,6三点 1求该二次函数的解析式；2点 G 是线段 AC 上的动点点 G 与线段 AC 的端点不重合,假如 ABG 与 ABC 相似,求点 G 的坐标；3 设图象 M 的对称轴为 l,点 D m,n 1m2是图象 M 上一动点,当 ACD 的面积为时,点 D 关于 l 的对称点为 E,能否在图象 M 和 l 上分别找到点 P、Q,使得以点 D、E、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形？假如能,求出点 P 的坐标；假如不能,请说明理由.解答解：1二次函数的图象M 经过 A1,0,B

11、4,0两点,可设二次函数的解析式为y=ax+1 x4 二次函数的图象 M 经过 C2,6点,6=a2+1 24,解得 a=1 二次函数的解析式为 y=x+1 x4,即 y=x23x4 .2设直线 AC 的解析式为 y=sx+t,把 A、C 坐标代入可得,解得,线段 AC 的解析式为 y=2x2,设点 G 的坐标为k,2k2 G 与 C 点不重合,ABG 与 ABC 相似只有 AGBABC 一种情况=AB=5,AC=3,AG=|k+1|,=,|k+1|=k=或 k=舍去,点 G 的坐标为,3能理由如下：如图,过 D 点作 x 轴的垂线交 AC 于点 H,Dm,n 1m2,Hm,2m2 点 Dm,

12、n在图象 M 上,Dm,m23m4 ACD 的面积为,2m2m23m4m+1+2m=,即 4m24m+1=0,解得 m=D,y=x23x4=x 2,图象 M 的对称轴 l 为 x=点 D 关于 l 的对称点为 E,E,DE=2,假如以点 D、E、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形,有两种情况：当 DE 为边时,如此有 PQDE 且 PQ=DE=2.点 P 的横坐标为+2=或2=,点 P 的纵坐标为 2=,点 P 的坐标为,或,；当 DE 为对角线时,如此可知 P 点为抛物线的顶点,即 P,；综上可知存在满足条件的 P 点,其坐标为,或,或,3直线 y=kx+bk0过点 F0,1,与抛物线 y=

13、x2相交于 B、C 两点 .1如图 1,当点 C 的横坐标为 1 时,求直线 BC 的解析式；2在1的条件下,点 M 是直线 BC 上一动点,过点 M 作 y 轴的平行线,与抛物线交于点 D,是否存在这样的点 M,使得以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形？假如存在,求出点 M 的坐标；假如不存在,请说明理由；3如图 2,设 Bmn m0,过点 E01的直线 lx 轴,BRl 于 R,CSl 于 S,连接FR、FS试判断 RFS 的形状,并说明理由 解：1因为点 C 在抛物线上,所以 C1,又直线 BC 过 C、F 两点,故得方程组：解之,得,所以直线 BC 的解析式为：y=x+1；2

14、要使以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形,如此 MD=OF,如图 1 所示,.设 Mx,x+1,如此 Dx,x2,MDy 轴,MD=x+1x2,由 MD=OF,可得|x+1x2|=1,当x+1 x2=1 时,解得 x1=0舍或 x1=3,所以 M3,当x+1 x2,=1 时,解得,x=,所以 M,或 M,综上所述,存在这样的点 M,使以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形,M 点坐标为3,或,或,；3过点 F 作 FTBR 于点 T,如图 2 所示,点 Bm,n在抛物线上,m2=4n,在 Rt BTF 中,BF=,n0,BF=n+1,又BR=n+1,BF=BRBRF=BFR,

15、又BRl,EFl,BREF,BRF=RFE,RFE=BFR,同理可得EFS=CFS,RFS=BFC=90,RFS 是直角三角形 .4如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=ax+123 与 x 轴交于 A,B 两点点 A 在点 B 的左侧,与 y 轴交于点 C0,顶点为 D,对称轴与 x 轴交于点 H,过点 H 的直线 l 交抛物线于P,Q 两点,点 Q 在 y 轴的右侧 1求 a 的值与点 A,B 的坐标；2当直线 l 将四边形 ABCD 分为面积比为 3：7 的两局部时,求直线 l 的函数表达式；3当点 P 位于第二象限时,设 PQ 的中点为 M,点 N 在抛物线上,如此以 DP

16、为对角线的四边形DMPN 能否为菱形？假如能,求出点 N 的坐标；假如不能,请说明理由.解：1抛物线与 y 轴交于点 C0,a3=,解得：a=,y=x+123 当 y=0 时,有x+123=0,x1=2,x2=4,A4,0,B2,0 2A4,0,B2,0,C0,D1,3 S四边形ABCD=S ADH+S梯形OCDH+S BOC=33+31+2=10.从面积分析知,直线 l 只能与边 AD 或 BC 相交,所以有两种情况：当直线 l 边 AD 相交与点 M1时,如此 S=10=3,3y=3 y=2,点 M12,2,过点 H1,0和 M12,2的直线 l 的解析式为 y=2x+2 当直线 l 边

17、BC 相交与点 M2时,同理可得点 M2,2,过点 H1,0和 M2,2的直线 l 的解析式为 y=x 综上所述：直线 l 的函数表达式为 y=2x+2 或 y=x 3设 Px1,y1、Qx2,y2且过点 H1,0的直线 PQ 的解析式为 y=kx+b,k+b=0,b=k,y=kx+k 由,+kx k=0,x1+x2=2+3k,y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2,点 M 是线段 PQ 的中点,由中点坐标公式的点 Mk1,k2 假设存在这样的 N 点如图,直线 DNPQ,设直线 DN 的解析式为 y=kx+k3 由,解得：x1=1,x2=3k1,N3k1,3k23 四边形 DMPN 是菱

18、形,DN=DM,3k2+3k22=2+2,整理得：3k4k24=0,k2+10,3k24=0,解得 k=,k0,k=,P31,6,M1,2,N21,1 PM=DN=2,PMDN,四边形 DMPN 是平行四边形,DM=DN,四边形 DMPN 为菱形,以 DP 为对角线的四边形 DMPN 能成为菱形,此时点 N 的坐标为21,1 .5 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点1,4,且与直线 y=x+1 相交于 A、B 两点 如图,A点在 y 轴上,过点 B 作 BCx 轴,垂足为点 C3,0 1求二次函数的表达式；2点 N 是二次函数图象上一点点 N 在 AB 上方,过 N 作 NPx 轴,

19、垂足为点 P,交 AB 于点M,求 MN 的最大值；3在2的条件下,点 N 在何位置时,BM 与 NC 相互垂直平分？并求出所有满足条件的 N 点的坐标 方法一：解：1由直线 y=x+1 可知 A0,1,B3,又点1,4经过二次函数,.根据题意得：,解得：,如此二次函数的解析式是：y=x+1；2设 Nx,x2x+1,如此 Mx,x+1,Px,0 MN=PNPM=x2x+1 x+1=x2x=x+2+,如此当 x=时,MN 的最大值为；3连接 MC、BN、BM 与 NC 互相垂直平分,即四边形 BCMN 是菱形,如此 MN=BC,且 BC=MC,即x2x=,且 x+12+x+32=,解 x2+3x

20、+2=0,得：x=1 或 x=2舍去 故当 N1,4时,BM 和 NC 互相垂直平分 方法二：1略 2设 Nt,Mt,t+1,MN=NYMY=+t1,MN=,当 t=时,MN 有最大值,MN=3假如 BM 与 NC 相互垂直平分,如此四边形 BCMN 为菱形 NCBM 且 MN=BC=,即=,t1=1,t2=2,t1=1,N1,4,C3,0,KNC=2,KAB=,KNCKAB=1,NCBM t2=2,N2,C3,0,KNC=,KAB=,KNCKAB1,此时 NC 与 BM 不垂直 满足题意的 N 点坐标只有一个,N1,4 .6直角梯形 ABCD 中 ADBC,B=90,AB=8,AD=24,B

21、C=26,点 P 从 A 点出发,沿 AD 边以 1 的速度向点 D 运动,点 Q 从点 C 开始沿 CB 边以 3 的速度向点 B 运动,P,Q 分别从点 A、C 同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为 t 1当 t 为何值时,四边形 PQCD 为平行四边形？.2当 t 为何值时,四边形 PQCD 为等腰梯形？解：1根据题意得：PA=t,CQ=3t,如此 PD=ADPA=24t,ADBC,PDCQ,当 PD=CQ 时,四边形 PQCD 为平行四边形,即 24t=3t,解得：t=6,即当 t=6 时,四边形 PQCD 为平行四边形；.2过 D 作 DEBC 于 E,如此四边形 ABED 为矩形,BE=AD=24cm,EC=BCBE=2cm,当 PQ=CD 时,四边形 PQCD 为等腰梯形,如以下图：过点 P 作 PFBC 于点 F,过点 D 作 DEBC 于点 E,如此四边形 PDEF 是矩形,EF=PD,PF=DE,在 Rt PQF 和 Rt CDE 中,Rt PQFRt CDEHL,QF=CE,QCPD=QCEF=QF+EC=2CE,即 3t24t=4,解得：t=7,即当 t=7 时,四边形 PQCD 为等腰梯形