《正余弦定理复习课》教案.pdf

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1、正余弦定理复习课教案 教材：人教 A 版必修 5 第一章 授课教师：浙江省温州中学 邹琼艳 一、教学目标 1.知识与技能：(1)正弦定理和余弦定理结合起来，能够很好地解决三角形的问题，注意定理的变式及合理选用公式；(2)掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；(3)掌握三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；(4)能运用两个定理转化三角形中的一些边角关系式。2.过程与方法：(1)体会解三角形的实质就是由正弦定理与余弦定理联立得到方程组，由方程的思想求解未知的边角；(2)通过引导学生分析，解答两个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及

2、三角形有关性质求解三角形问题。3.情感、态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。二、教学重点、难点 重点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。三、教学过程【例题】已知ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，已知 c=8,C=60o【问 1】你能否解此三角形？【设计意图】此问

3、主要是想让学生抓住问题的本质，三角形中六个基本元素，任何一条正余弦定理的公式都对着四个未知量，所以必须要有三个已知量才能求解。渗透解三角形问题中的方程思想。【问 2】若固定 A、B 两点，符合题意的点 C 的运动轨迹是什么？【设计意图】此问的目的之二是回顾正弦定理的内容，三角形中一边和其对角确定，该三角形的外接圆半径是确定的，学生容易回答点 C 的轨迹是以 AB 为 60o圆周角所对弦、半径确定的圆；同时利用几何画板的优势，把图形静与动的相对关系淋漓尽致地体现在学生的面前，让学生对图形有较强的把握，A、B、C 三点共圆的图形可对接下来一些问题的研究提供数形结合的依据。【问 3】用几何画板做出圆

4、后问：点 C 可以在圆上任取吗？【设计意图】此问是为了培养学生严谨科学的思维习惯，严格地说，点 C 的轨迹是圆上AB 所对的优弧。【问 4】你能增加一个条件，使点 C 确定吗？【设计意图】此问通过开放问题充分发挥学生的联想能力，通过一题多解，拓宽学生的思路，再次渗透解三角形问题中的方程思想，体验如何合理选择公式。预设学生的想法有以下几种：1 给定一个角 A（或角 B），利用正弦定理即可求得其余两边。2 给定一条边 a(或 b)，利用正弦定理和余弦定理均可求得其余的边和角。当学生给出这个方案时，追问（1）：边 a 的长可以任意给吗？（为了书写方便，下面就以给 a 边为例）【设计意图】有意识地培养

5、学生数形结合的思考方式，用动态的图形来研究静态的问题。由图可知，增加的边长应有一个限制范围，即16(0,3 追问（2）：在给定的范围内取哪个值，三角形的形状较为特殊？【设计意图】学生很容易看出，当 a=8 时，此时三角形为正三角形。自然地过渡到当a=7 和 a=9 两种情况的探究。通过对照余弦定理所对应的方程，发现当 a=7 时，三角形唯一确定；当 a=9 时，三角形有两解。激发学生的刨根究底的探究欲望，自然地抛出解三角形中的一个难点问题。【问 5】若此三角形有两解，求 a 的取值范围。【设计意图】一方面是想“趁热打铁”让学生再次利用几何画板的动态演示，发现点 C即以 B 为圆心以给定的 a

6、为半径的圆与已经圆弧的交点，当16083aa或时，有唯一交点，当1683a时，有两个交点，于是，难点轻松突破；另一方面，学生还可以结合正余弦定理建立方程,从方程角度探求两解问题,通过一题多解，拓宽学生的思路，进一步体验解析几何的解题技巧和规律。【问 6】刚才同学们增加的都是边和角使三角形确定，能否给出其他与三角形相关的量，间接地确定边角进而确定三角形呢？【设计意图】引导学生利用面积、周长等相关量去制约三角形，使基本量思想得到合理的延伸。在解决这个问题的过程中，需要利用化归转化的思想，使问题转化为待定的两条边长的方程组，进而再次渗透解三角形问题中的方程思想。另外，这个问题承上启下，给出面积其实是

7、给出的边ab、的乘积，即ab、的一种制约关系，结合多条制约关系可从方程组角度求解,进一步深入渗透方程思想。【变式】已知ABC中，abc、分别是角ABC、的对边，已知c=8,A=2B，2abc，求边ab、的值。【设计意图】此问将角 C=600这一条件变为A=2B这样一种三角的制约关系，间接地给出三角，自然地过渡到边角互化的问题研究中去；同时，这个问题的解决体现了正余弦定理应用的两个重要方向，即将边转化成角和将角转化为边，通过一题多解，使学生看到公式转化的灵活性、多样性以及多种方法思想上的统一性。将解题上升为对思想方法的探究。该问的两种解法如下：解法一：A=2B由得:cos2aBb，结合余弦定理得

8、22222acbaacb 又因为28abc，解方程可得边ab、的值。解法二：由 2abc可得sinsin2sinABCA=2B,A+B+C=，可先解出sin B，进而求sin A和sinC，最后利用正弦定理求得边ab、的值。【又变】已知ABC中，abc、分别是角ABC、的对边，已知A=2B，2abc，你可以确定三角形中的哪些量？【设计意图】进一步删减条件，将问题转化为只含纯粹的边角制约关系，挖掘题目背景中更为深层的隐含条件。结合上题的解决过程，发现两条方程三个未知量，边长ab、不可求，但角ABC、都是可以确定的，求三角也可以从上题解题过程中的两种方法解决 对于解法二仍旧成立，而对于解法一可调整

9、利用方程22222acbaacb和2abc求出三边的比值:a b c。追问：根据三边的比值如何求三角？【设计意图】强化对解三角形形问题的两种本质思想:从形上说，三边比值确定得到的一系列三角形均为相似三角形；从数上说，余弦定理公式为齐二次式，因此利用三边比值即可求角，进一步熟悉公式的特征，并从形和数两方面展开讨论分析。【再变】已知ABC中，abc、分别是角ABC、的对边，已知2abc，你还可以确定此三角形中角吗？若不能，试研究角的变化范围。【设计意图】充分利用变式,让学生从题海中解脱出来，形成知识网络，增强知识的系统性与连贯性，从而使学生能够抓住问题的本质，加深对问题的理解，从“变”的现象中发现

10、“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律。另外,此问进一步删减条件,从方程角度来说只有一条方程不可能求解三边和三角。但三边的2abc的制约关系肯定对角的大小有所限制，任取正弦定理或余弦定理展开研究均可。进一步探求三角形中的边角制约的奥秘，进一步分析公式的特点，学会灵活、正确、合理地选取公式进行解题。具体解法有如下几种：解法一:联系余弦定理222cos2abcCab22222312284ababababab 可得1cos2C,所以03C 解法二:由2abc可得sinsin2sinABC,进而有cos2cos22ABAB,于是10cos22AB,得10sin22C,从而得到03C 解法三

11、:由2abc可得sinsin2sinABC,进而有sin()sin2sinBCBC,于是sinsin1cos2cosCBCB,即22tan2tan23tan12BCB 进而有3tan23C,所以03C【课堂小结】请你从以下三个方面谈谈学习这节课的体会：1.这节课我的收获是 2.我想进一步探究的问题是 3.这节课我最感兴趣的地方是【设计意图】课堂小结改变以往教师自己阐述的方式，真正地做到让学生成为课堂的主体，淋漓尽致倾听学生内心最真实的想法,直接展示本节课的教学效果,为课堂评价提供有力的事实依据.【课后作业】整理、总结这节课所学的内容。【设计意图】目的在于培养学生自主对所学知识进行总结的能力。整个备课工作都围绕着一个原则：让学生尽可能去把别人的思维过程转变为自己的思维过程，而不是单纯地去记方法，尽可能提高课堂时效性。