【2022高考数学专题精研精练】第2讲椭圆.pdf

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1、第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线 考情研析 1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质，特别是椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线 2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).核心知识回顾 1.圆锥曲线的定义式(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2a0，b0)的渐近线方程为 03 ybax；焦点坐标 F104(c,0)，F205(c,0)；双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程为 06 yabx，焦点坐标 F107(0，c)，F208(0，c).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程 抛物线 y22px(p0)的焦

2、点坐标为 09p2，0，准线方程为 10 xp2；抛物线 x22py(p0)的焦点坐标为 110，p2，准线方程为 12 yp2.3弦长问题(1)弦长公式 设直线的斜率为 k，直线与圆锥曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，则|AB|1k2|x1x2|1k2x1x224x1x2或|AB|11k2|y1y2|11k2y1y224y1y2.(2)过抛物线焦点的弦长 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的弦 AB，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2p24，y1y2p2，弦长|AB|01 x1x2p.热点考向探究 考向 1 圆锥曲线的定义和标准方程 例 1(1)(202

3、0河南一模)已知 P 为圆 C：(x5)2y236 上任意一点，A(5,0)，若线段 PA 的垂直平分线交直线 PC 于点 Q，则 Q 点的轨迹方程为()A.x29y2161 Bx29y2161 C.x29y2161(x0)答案 B 解析 点 Q 是线段 AP 垂直平分线上的点，|AQ|PQ|，又|QA|QC|PC|60)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程为()Ay232x By23x Cy292x Dy29x 答案 B 解析 如图，分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，设准线与 x 轴的交点为 G，|BF|a，

4、则由已知得|BC|2a，由定义得|BD|a，故BCD30.在 RtACE 中，|AE|AF|3，|AC|33a,2|AE|AC|，33a6，从而得 a1.BDFG，1p23，解得 p32，抛物线的方程为 y23x.(3)(2020山东省青岛市高三三模)若方程x2my21m1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围为_.答案 0，12 解析 由题可知，方程x2my21m1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，可得 1mm0，解得 0m12，所以实数 m 的取值范围为0，12.圆锥曲线的定义、标准方程的关注点(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲

5、线、抛物线方程的不同表示形式 (2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定 (3)焦点三角形的作用：借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构建方程组，便于解决问题 (4)圆锥曲线基本问题考查的另一个重点是定义的应用，根据圆锥曲线的定义分析判断一些问题，在椭圆、双曲线中如果已知曲线上一点与一个焦点的连线，则要把另一个焦点也考虑进去 1(2020山东省淄博市二模)当 3，56时，方程 x2cosy2sin1 表示的轨迹不可能是()A两条直线 B圆 C椭圆 D双曲线 答案 B 解析 当 3，2时，0cossin1，方程 x2cosy2sin1 表示的曲线为椭圆；当 2时

6、，方程为 y21，即 y1，方程 x2cosy2sin1 表示两条直线；当 2，56时，cos0b0)的左、右焦点，点 P 是椭圆上位于第二象限内的点，延长 PF1交椭圆于点 Q，若 PF2PQ，且|PF2|PQ|，则椭圆的离心率为()A.6 3 B 21 C 3 2 D2 2 答案 A 解析 由 PF2PQ 且|PF2|PQ|，可得PQF2为等腰直角三角形，设|PF2|t，则|QF2|2t，由椭圆的定义可得|PF1|2at，2t 2t4a，则 t2()2 2a，在直角三角形 PF1F2中，可得 t2(2at)24c2,4(64 2)a2(128 2)a24c2，化为 c2(96 2)a2，可

7、得 eca 6 3.故选 A.3 P 是双曲线 C：x22y21 右支上一点，直线 l 是双曲线 C 的一条渐近线，P 在 l 上的射影为 Q，F1是双曲线 C 的左焦点，则|PF1|PQ|的最小值为()A1 B2155 C4155 D2 21 答案 D 解析 如图所示，设双曲线的右焦点为 F2，则|PF1|PQ|2a|PF2|PQ|，即当|PQ|PF2|最小时，|PF1|PQ|取最小值，由图知当 F2，P，Q 三点共线时|PQ|PF2|取得最小值，即 F2到直线 l 的距离 d1，故所求最小值为 2a12 21.故选 D.考向 2 圆锥曲线的几何性质 例 2(1)(2020山东省潍坊市二模)

8、以抛物线 E：x24y 的焦点为圆心，且与E 的准线相切的圆的方程为()A(x1)2y24 Bx2(y1)24 C(x1)2y24 Dx2(y1)24 答案 D 解析 抛物线 E：x24y 的焦点为(0,1)，准线方程为 y1，圆与 E 的准线相切，则圆的半径 r2，故圆的方程为 x2(y1)24.故选 D.(2)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线 PO 交双曲线 C 左支于点 M，直线 PF2交双曲线 C 右支于点 N，若|PF1|2|PF2|，且MF2N60，则双曲线 C的渐近线方程为()Ay

9、2x By22x Cy2x Dy2 2x 答案 A 解析 由题意得，|PF1|2|PF2|，|PF1|PF2|2a，|PF1|4a，|PF2|2a，由于 P，M 关于原点对称，F1，F2关于原点对称，线段 PM，F1F2互相平分，四边形 PF1MF2为平行四边形，PF1MF2，MF2N60，F1PF260，由余弦定理可得 4c216a24a224a2acos60，c 3a，bc2a2 2a.ba 2，双曲线 C 的渐近线方程为 y 2x.故选 A.(3)(多选)(2020山东省潍坊市三模)已知椭圆 C：x2ay2b1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，且|F1F2|2，点 P(1,1)在

10、椭圆内部，点 Q 在椭圆上，则以下说法正确的是()A|QF1|QP|的最小值为 2 a1 B椭圆 C 的短轴长可能为 2 C椭圆 C 的离心率的取值范围为0，512 D若PF1F1Q，则椭圆 C 的长轴长为 5 17 答案 ACD 解析 因为|F1F2|2，所以 F2(1,0)，|PF2|1，所以|QF1|QP|2 a|QF2|QP|2 a|PF2|2 a1，当 Q，F2，P 三点共线时，取等号，故 A 正确；若椭圆 C 的短轴长为 2，则 b1，a2，所以椭圆方程为x22y211，12111，则点 P 在椭圆外，故 B 错误；因为点 P(1,1)在椭圆内部，所以1a1b1，又 ab1，所以

11、ba1，所以1a1a10，解得 a3 5262 541 524，所以 a1 52，所以 e1a0，b0)渐近线的斜率 k 与离心率 e 之间满足关系式 e21k2.1设 F1，F2分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，过 F1的直线l 交椭圆 C 于 A，B 两点，l 在 y 轴上的截距为 1，若|AF1|2|F1B|，且 AF2x 轴，则此椭圆的短轴的长为()A5 B2 5 C10 D 5 答案 B 解析 AF2x 轴，直线 l 在 y 轴上的截距为 1，A(c,2)，又|AF1|2|F1B|，B(2c，1)，则 c2a24b21，4c2a21b21，16b21b23，即

12、 b25，b 5，故选 B.2已知 F 是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点，过点 F 作垂直于 x轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点 M，若|FM|2a，记该双曲线的离心率为e，则 e2()A.1 172 B1 174 C.2 52 D2 54 答案 A 解析 由题意，得 F(c,0)，该双曲线的一条渐近线为 ybax，将 xc代入 ybax 得 ybca，bca2a，即 bc2a2，4a4b2c2c2(c2a2)，e4e240，解得 e21 172，故选 A.考向 3 直线与圆锥曲线 角度 1 弦中点、弦分点问题 例 3(1)已知椭圆 E：x29y241，直线 l 交椭圆

13、于 A，B 两点，若 AB 的中点坐标为12，1，则 l 的方程为()A2x9y100 B2x9y100 C2x9y100 D2x9y100 答案 D 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x219y2141，x229y2241，两式作差并化简整理得y2y1x2x149x1x2y1y2，而 x1x21，y1y22，所以y2y1x2x149x1x2y1y229，所以直线l的方程为y129x12，即2x9y100.经验证可知符合题意 故选 D.(2)(2020河北省保定市一模)抛物线 y22px(p0)焦点为 F，点 P 满足OPOF(O 为坐标原点)，若过点 O 作互相垂直的两弦 OA

14、，OB，则当弦 AB 过点 P时，的所有可能取值的集合为()A4 B3 C.14，4，3 D13，3，4 答案 A 解析 由已知得 Fp2，0，因为OPOF，所以OPp2，0 p2，0，所以 Pp2，0，由题意知，弦 AB 所在直线的斜率不为 0，可设直线 AB 的方程为 xmyp2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 xmyp2，y22px，得 y22pmyp20，所以 y1y22pm，y1y2p2，所以 x1x2my1p2 my2p2m2y1y2pm2(y1y2)2p24m2(p2)pm22pm2p242p24.因为 OAOB，所以OAOB0，又OA(x1，y1)，OB(x2，y2)，

15、所以 x1x2y1y20，即2p24p20，又 p0，所以240，解得 4 或 0(不符合题意，舍去)，当 4 时，满足 4p2m24p20，所以 的所有可能取值的集合为4故选 A.(1)弦中点问题：在涉及圆锥曲线弦中点的问题中，基本的处理方法有两个：一是设出弦的端点坐标，使用“点差法”；二是设出弦所在的直线方程，利用直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一元二次方程，根据根与系数的关系建立弦的端点坐标与中点坐标间的关系后解决问题(2)弦分点问题：解决与弦分点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为弦端点及弦分点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的关系，构建方程(组

16、)求解 1(2020汉中市重点中学高三联考)已知抛物线 C：y26x，直线 l 过点 P(2,2)，且与抛物线 C 交于 M，N 两点，若线段 MN 的中点恰好为点 P，则直线 l 的斜率为()A.13 B54 C32 D14 答案 C 解析 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，代入抛物线 C：y26x，得 y216x1，y226x2，得(y1y2)(y1y2)6(x1x2)因为线段 MN 的中点恰好为点 P，所以 x1x24，y1y24，从而 4(y1y2)6(x1x2)，即直线 l 的斜率为y1y2x1x232.故选 C.2(2020湖南省雅礼中学高三 5 月质检)已知双曲线x2a2y

17、2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，以 F1F2为直径的圆与一条渐近线交于点 P(P 在第一象限)，PF1交双曲线的左支于点 Q，若PQ2QF1，则双曲线的离心率为()A.1 102 B1012 C.102 D1021 答案 A 解析 以F1F2为直径的圆x2y2c2与渐近线ybax联立得P(a，b)设Q(x0，y0)，由PQ2QF1得 x0a2c3，y0b3，代入x2a2y2b21 整理，得 4e24e90，解得 e1 102.故选 A.角度 2 弦长问题 例 4(2020广东省汕头市三模)已知抛物线 E：y22px 上一点(m,2)到其准线的距离为 2.(1)求抛物线 E

18、 的方程；(2)如图，A，B，C 为抛物线 E 上三个点，D(8,0)，若四边形 ABCD 为菱形，求四边形 ABCD 的面积 解(1)由已知可得 42mp，mp22，消去 m 得 p24p40，解得 p2，抛物线 E 的方程为 y24x.(2)设 A(x1，y1)，C(x2，y2)，菱形 ABCD 的中心 M(x0，y0)当 ACx 轴，则 B 在原点，M(4,0)，|AC|8，|BD|8，菱形 ABCD 的面积S12|AC|BD|32.解法一：当 AC 与 x 轴不垂直时，设直线 AC 的方程为 xtym(t0)，则直线 BD 的斜率为t.联立 y24x，xtym消去 x，得 y24ty4

19、m0，y1y24t，y1y24m，x1x2y21y224y1y222y1y244t22m，x02t2m，y02t，M 为 BD 的中点，B(4t22m8,4t)，又点 B 在抛物线上，且直线 BD 的斜率为t，16t244t22m8，2t2t2m8t(t0)，解得 m4，t1，满足 16t216m0，B(4，4)，|BD|4 2，|AC|1t2|y1y2|1t2 16t216m 216644 10.菱形 ABCD 的面积 S12|AC|BD|16 5.综上，菱形 ABCD 的面积 S32 或 16 5.解法二：设 B(a2,2a)，直线 BD 的斜率为 k(k0)，则 k2aa28，Ma282

20、，a，直线 AC 的斜率为1k，直线 AC 的方程为 xa282k(ya)，xa282kya，y24x，消去 x，得 y24ky4ka2a2160，y1y22y02a，4k2a，ka2.解方程a22aa28(a0)，得 a2，k1，满足 16k241(4ka2a216)16k216ka8a2640，接下去同解法一 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解 (2)弦长计算公式：直线 AB 与圆锥曲线有两个交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|1k2x1x224x1x2，其中

21、 k 为弦 AB 所在直线的斜率 已知点 M 到定点 F(4,0)的距离和它到直线 l：x254的距离的比是常数45.(1)求点 M 的轨迹 C 的方程；(2)若直线 l：ykxm 与圆 x2y29 相切，切点 N 在第四象限，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求证：FAB 的周长为定值 解(1)设 M(x，y)，由题意得x42y2|x254|45，x225y291 为点 M 的轨迹 C 的方程(2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题知 k0，m0，x1x250km25k29，x1x225m222525k29，|AB|k21|x1x2|k21 50km25k292425

22、m222525k29 120kk2125k29，|FA|FB|545x1545x21045(x1x2)1040km25k2910120kk2125k29，|FA|FB|AB|10，FAB 的周长为定值 10.真题押题 真题检验 1(2020全国卷)已知 A 为抛物线 C：y22px(p0)上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p()A2 B3 C6 D9 答案 C 解析 设抛物线的焦点为 F，由抛物线的定义知|AF|xAp212，即 9p212，解得 p6.故选 C.2(2020全国卷)设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F

23、2，离心率为 5.P 是 C 上一点，且 F1PF2P.若PF1F2的面积为 4，则 a()A1 B2 C4 D8 答案 A 解析 ca 5，c 5a，根据双曲线的定义可得|F1P|F2P|2a，SPF1F212|F1P|F2P|4，|F1P|F2P|8.F1PF2P，|F1P|2|F2P|2(2c)2，(|F1P|F2P|)22|F1P|F2P|4c2，即(2a)2284(5a)2，解得 a1，故选A.3(多选)(2020新高考卷)已知曲线 C：mx2ny21，()A若 mn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B若 mn0，则 C 是圆，其半径为 n C若 mn0，则 C 是两条直线 答

24、案 ACD 解析 对于 A，若 mn0，则 mx2ny21 可化为 x21my21n1，因为 mn0，所以 01m0，则 mx2ny21 可化为 x2y21n，此时曲线 C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故 B 不正确；对于 C，若 mn0，则 mx2ny21 可化为 y21n，ynn，此时曲线 C 表示平行于 x 轴的两条直线，故D 正确故选 ACD.4(2020全国卷)设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线为 y 2x，则 C 的离心率为_.答案 3 解析 由双曲线方程x2a2y2b21 可得其焦点在 x 轴上，因为双曲线的一条渐近线方程为 y 2x，所以ba 2，所以

25、 eca1b2a2 3.5(2020新高考卷)斜率为 3的直线过抛物线 C：y24x 的焦点，且与 C交于 A，B 两点，则|AB|_.答案 163 解析 抛物线的方程为 y24x，抛物线的焦点为 F(1,0)，又直线 AB 过焦点 F 且斜率为 3，直线 AB 的方程为 y 3(x1)，代入抛物线方程消去 y并化简得 3x210 x30，解法一：解得 x113，x23，|AB|1k2|x1x2|13|133|163.解法二：10036640，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2103，过 A，B 分别作准线 x1 的垂线，设垂足分别为 C，D，如图所示，则|AB|AF|BF|

26、AC|BD|x11x21x1x22163.6(2020全国卷)已知椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的右焦点 F 与抛物线 C2的焦点重合，C1的中心与 C2的顶点重合过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1于 A，B 两点，交 C2于 C，D 两点，且|CD|43|AB|.(1)求 C1的离心率；(2)设 M 是 C1与 C2的公共点，若|MF|5，求 C1与 C2的标准方程 解(1)F(c,0)，ABx 轴且与椭圆 C1相交于 A，B 两点，则直线 AB 的方程为 xc，联立 xc，x2a2y2b21，a2b2c2，解得 xc，yb2a，则|AB|2b2a.抛物线 C2的方程为 y24

27、cx，把 xc 代入 y24cx，得 y2c，|CD|4c.|CD|43|AB|，即 4c8b23a，2b23ac.又 b2a2c2，2c23ac2a20，即 2e23e20，解得 e12或 e2，0e1，e12，椭圆 C1的离心率为12.(2)由(1)知 a2c，b 3c，椭圆 C1的方程为x24c2y23c21，联立 y24cx，x24c2y23c21，消去 y 并整理得 3x216cx12c20，解得 x23c 或 x6c(舍去)，由抛物线的定义可得|MF|23cc5c35，解得 c3.曲线 C1的标准方程为x236y2271，曲线 C2的标准方程为 y212x.金版押题 7已知 A，B

28、 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足AF2FB，SOAB23|AB|，则抛物线的标准方程为()Ay24x By214x Cy28x Dy218x 答案 A 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AF2FB，所以 y12y2，又由抛物线焦点弦的性质，得 y1y2p2，所以2y22p2，解得|y2|22p，|y1|2p，所以1|AF|1|BF|32|BF|2p，解得|BF|34p，|AF|32p，|AB|94p，SOAB12p2(|y1|y2|)3 28p22394p，解得 p2，所以抛物线的标准方程为 y24x，故选 A.8已知双曲线

29、 x2y231 的左、右焦点分别为 F1，F2，圆 x2y21 上的点到直线 x 3y60 的距离的最小值为 m，若双曲线上一点 P，使sinPF2F1sinPF1F2m，则F2PF2F1的值为()A3 B2 C3 D2 答案 B 解析 由双曲线 x2y231，得 a1，b 3，c2，圆 x2y21 的圆心(0,0)到直线 x 3y60 的距离为 d6133，所以圆上的点到直线 x 3y60 的距离的最小值为 m312，设|PF1|s，|PF2|t，且 P 在双曲线的右支上，可得 st2at2，又sinPF2F1sinPF1F2m2，由正弦定理可得st|PF1|PF2|sinPF2F1sinP

30、F1F22，解得 s4，t2，由余弦定理可得 cosPF2F122424222414，则F2PF2F124142.故选 B.专题作业 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若圆锥曲线 C：x2my21 的离心率为 2，则 m()A33 B33 C13 D13 答案 C 解析 因为圆锥曲线 C 的离心率为 2，故为双曲线，所以 m0)的左焦点的直线交双曲线的左支于 A，B 两点，且|AB|6，这样的直线可以作 2 条，则 b 的取值范围是()A(0,2 B(0,2)C(0，6 D(0，6)答案 D 解析 因为双曲线过焦点的弦中与轴垂直的弦是最短的弦，且过一个焦点只能作

31、一条，所以过左焦点的直线与双曲线的左支交于 A，B 两点，|AB|6，且可作两条，则要求2b2a6，又 a2，即 b20，故 b 的取值范围为(0，6)，故选 D.3已知抛物线 C：y14x2的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，直线 PF与抛物线交于 A，B 两点，若PA2AF，则|AB|为()A.409 B40 C16 D163 答案 D 解析 抛物线 C 的方程为 x24y，焦点 F(0,1)，准线方程为 y1，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线的定义可知，|AB|AF|BF|y1y22.PA2AF，直线 AB 的斜率为33，直线 AB 的方程为 y33x1，联立

32、方程 y33x1，x24y，消去 x 得 3y210y30，y1y2103，|AB|AF|BF|y1y22163，故选 D.4(2020河北省衡水中学高三一模)已知椭圆 C1：x2m2y21(m1)与双曲线C2：x2n2y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为 C1，C2的离心率，则()Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21 Cm1 Dmn 且 e1e20，m1，n0，mn.e1m21m11m2，e2n21n11n2，e1e2 11m211n211n21m21m2n2 1m2n21m2n211m2n21，故选 A.5已知双曲线x23y21 的右焦点是抛物线 y22px(p0)的焦点，

33、直线 ykxm 与抛物线相交于 A，B 两个不同的点，点 M(2,2)是 AB 的中点，则AOB(O为坐标原点)的面积是()A4 3 B3 13 C 14 D2 3 答案 D 解析 双曲线右焦点为(2,0)，抛物线焦点为(2,0)，y28x，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y218x1，y228x2，得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，y1y2x1x28y1y2842.直线 AB 的斜率为 2，又过点 M(2,2)，直线 AB 的方程为 y2x2.将直线 AB 的方程与 y28x 联立得 x24x10，x1x24，x1x21，|AB|k21x1x224x1x2 51642 1

34、5.又 O 到直线 AB 的距离 d252 55.SAOB122 152 552 3.故选D.6(2020山东省实验中学高考预测卷)已知点 P 在椭圆：x2a2y2b21(ab0)上，点 P 在第一象限，点 P 关于原点 O 的对称点为 A，点 P 关于 x 轴的对称点为 Q，设PD34PQ，直线 AD 与椭圆 的另一个交点为 B，若 PAPB，则椭圆 的离心率 e()A.12 B22 C32 D33 答案 C 解析 设 P(x0，y0)，由题意可得 A(x0，y0)，Q(x0，y0)，由 PD34PQ可得 Dx0，y02，所以 kPAy0 x0，kADy02y0 x0 x0y04x0，设 B

35、(x，y)，则 kPBkAByy0 xx0yy0 xx0y2y20 x2x20.因为 P，B 在椭圆上，所以 x2a2y2b21，x20a2y20b21，两式相减可得y2y20 x2x20b2a2，所以可得 kPBkABb2a2，所以 kPBb2a21kABb2a21kADb2a24x0y0.因为 PAPB，所以 kPAkPB1，即y0 x0b2a24x0y01，整理可得 a24b2，所以离心率 ecac2a2 1b2a2 11432，故选 C.7已知曲线 C1是以原点 O 为中心，F1，F2为焦点的椭圆，曲线 C2是以 O为顶点，F2为焦点的抛物线，A 是曲线 C1与 C2的交点，且AF2F

36、1为钝角，若|AF1|72，|AF2|52，则AF1F2的面积是()A.3 B2 C 6 D4 答案 C 解析 不妨设曲线 C1，C2的焦点在 x 轴上画出图形如图所示，ADF1D，根据抛物线的定义可知|AF2|AD|52，故 cosF1AD57，也即cosAF1F257，在AF1F2中，由余弦定理得57494|F1F2|2254272|F1F2|，解得|F1F2|2或|F1F2|3，由于AF2F1为钝角，故|AD|F1F2|，所以|F1F2|3 舍去，故|F1F2|2.而 sinAF1F215722 67，所以 SAF1F2127222 67 6.故选 C.8(2020石家庄模拟)过双曲线

37、C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点 F 的直线l 交 C 的右支于 A，B 两点，直线 AO(O 是坐标原点)交 C 的左支于点 D，若 DFAB，且|BF|2|DF|，则双曲线 C 的离心率为()A.102 B 10 C293 D873 答案 C 解析 设左焦点为 F.因为直线 AO 交 C 的左支于点 D，所以 A，D 两点关于原点对称，连接 AF，DF，BF，因为 DFAB，且|AF|DF|，|AF|DF|，所以四边形 AFDF为矩形因为|BF|2|DF|，所以令|DF|t，则|BF|2t，|AF|t，|AF|t2a，|BF|2t2a，在ABF中，|AF|2|AB|2|BF|2

38、，即 t2(3t2a)2(2t2a)2，解得 t103a.在AFF中，|AF|2|AF|2|FF|2，即103a2103a2a24c2，解得 e293，故选 C.二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9(2020济南一中模拟)已知曲线 C 的方程为x2k22y26k1(kR)，则下列结论正确的是()A当 k8 时，曲线 C 为椭圆，其焦距为 4 15 B当 k2 时，曲线 C 为双曲线，其离心率为 3 C对任意实数 k，曲线 C 都不可能为焦点在 y 轴上的双曲线 D当 k3 时，曲线 C 为双曲线，其渐近线与圆(x4)2y29 相切 答案 BC 解析 对于 A，当 k8 时，

39、曲线 C 的方程为x262y221，该曲线为椭圆，焦距 2c26224 15，A 错误；对于 B，当 k2 时，曲线 C 的方程为x22y241，该曲线为双曲线，则 a 2，c 6，其离心率 eca 3，B 正确；对于 C，若曲线 C 为焦点在 y 轴上的双曲线，则 6k0，k220，b0)的一条渐近线方程为 x2y0，双曲线的左焦点在直线 xy 50 上，A，B 分别是双曲线的左、右顶点，点 P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，直线 PA，PB 的斜率分别为k1，k2，则 k1k2的取值可能为()A.34 B1 C43 D2 答案 CD 解析 由双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条

40、渐近线方程为 x2y0，可得 a2b，由双曲线的左焦点在直线xy 50 上，可得 c 5，则 a2b25，得 a2，b1，双曲线的方程为x24y21，由题意可得 A(2,0)，B(2,0)，设 P(m，n)(m2，n0)，则m24n21，即n2m2414，k1k2nm2nm2n2m2414，易知k1，k20，则 k1k22 k1k21，由 A，B 分别为双曲线的左、右顶点，可得 k1k2，则 k1k21.故选 CD.11(2020邯郸一中模拟)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，点 P在椭圆 C 上，点 Q 在圆 E：(x3)2(y4)24 上，且圆 E 上的所有点均在椭

41、圆C 外，若|PQ|PF|的最小值为 2 56，且椭圆 C 的长轴长恰与圆 E 的直径长相等，则下列说法正确的是()A椭圆 C 的焦距为 2 B椭圆 C 的短轴长为 3 C|PQ|PF|的最小值为 2 5 D过点 F 的圆 E 的切线斜率为4 73 答案 AD 解析 由题意，知圆 E 的圆心为 E(3,4)，半径为 2.因为椭圆 C 的长轴长恰与圆 E 的直径长相等，所以 2a4，即 a2.如图，设椭圆的左焦点为 F1，连接 PF1，EF1，由椭圆的定义知|PF|PF1|2a4，所以|PF|4|PF1|，所以|PQ|PF|PQ|(4|PF1|)|PF1|PQ|4|PF1|PE|24|EF1|6

42、2 56，当且仅当 P，Q，E，F1四点共线，且当 P，Q分 别 为 线 段 EF1与 椭 圆 C、圆 E 的 交 点 时，等 号 成 立，则|EF1|3c2402c32162 5.对于 A，因为 0c0)的焦点，AB，CD 是经过点 F 的弦且ABCD，AB 的斜率为 k，且 k0，C，A 两点在 x 轴上方则下列结论中一定成立的是()A.OCOD34p2 B四边形 ACBD 面积的最小值为 16p2 C.1|AB|1|CD|12p D若|AF|BF|4p2，则直线 CD 的斜率为 3 答案 ACD 解析 设 AB 的倾斜角为，则有|AB|2psin2，|CD|2psin222pcos2，所

43、以1|AB|1|CD|12p，C 正确；|AF|p1cos，|BF|p1cos，若|AF|BF|4p2，则 sin12，tan33，所以直线 CD 的斜率为 3，D 正确；S四边形ACBD12|AB|CD|2p2sin2cos28p2sin228p2，当 4时等号成立，即四边形ACBD 面积的最小值为 8p2，所以 B 不正确；设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，由抛物线过焦点弦的性质可知，x1x2p24，y1y2p2，所以OCODx1x2y1y234p2，所以 A 正确故选 ACD.三、填空题 13已知椭圆x216y241 上的两点 A，B 关于直线 2x2y30 对称，则弦AB 的中点

44、坐标为_.答案 2，12 解析 设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦 AB 的中点 M(x0，y0)，由题意得 x2116y2141，x2216y2241，两式相减得 2x0 x1x2162y0y1y240，因为点 A，B 关于直线 2x2y30 对称，所以 kABy1y2x1x21，故x08y020，即 x04y0.又点 M(x0，y0)在直线 2x2y30 上，所以 x02，y012，即弦 AB 的中点坐标为2，12.14(2020泰安一模)过点 M(m,0)(m0)的直线 l 与直线 3xy30 垂直，直线 l 与双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线分别交于点

45、 A，B，若点P(m，0)满足|PA|PB|，则双曲线 C 的渐近线方程为_，离心率为_.答案 y12x 52 解析 过点 M(m,0)(m0)的直线 l 与直线 3xy30 垂直，可得直线 l：x3ym0(m0)，由双曲线的方程可知，渐近线方程为 ybax，分别与 x3ym0(m0)联立，解得 Aama3b，bma3b，Bama3b，bma3b，AB的中点坐标为ma29b2a2，3mb29b2a2，点 P(m,0)满足|PA|PB|，3mb29b2a20ma29b2a2m3，a2b，双曲线 C 的渐近线方程为 y12x，c5b，eca52.15已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)

46、，若存在过右焦点 F 的直线与双曲线 C 相交于 A，B 两点，且AF3BF，则双曲线 C 的离心率的最小值为_.答案 2 解析 因为过右焦点 F 的直线与双曲线 C 交于 A，B 两点，且AF3BF，故点 A 在双曲线的左支上，B 在双曲线的右支上，如图所示设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点 F(c,0)，因为AF3BF，所以 cx13(cx2)，即 3x2x12c，由图可知，x1a，x2a，所以x1a，3x23a，故 3x2x14a，即 2c4a，故e2，所以双曲线 C 的离心率的最小值为 2.16(2020河北省唐山市一模)已知 F 为抛物线 C：y22px(p0)的焦点，K

47、为 C 的准线与 x 轴的交点，点 P 在抛物线 C 上，设KPF，PKF，PFK，有以下三个结论：的最大值是4；tansin；存在点 P，满足 2.其中正确结论的序号是_.答案 解析 设点 P(m，n)(n0)，则 n22pm，(*)当直线 PK 与抛物线相切时，可使 取得最大值 y22px，不妨取 y 2px12，则 y2p2x12，此时直线 PK 的斜率为2p2m12，由 P(m，n)，Kp2，0 可知，直线 PK 的斜率为nmp22p2m12，(*)由(*)(*)可知，mp2，于是直线 PK 的斜率为2p21p21，tan1，即 4，故正确；过 P 作 PQx 轴于点 Q，在 RtPQ

48、K 中，tanPQKQnmp2，在 RtPQF 中，sinsinPFQPQPFnmp2，tansin，即正确；在PKF 中，由正弦定理知，PFsinKFsin，若 2，则mp2sinp2sincos，解得 mp21cos1，n22pmp21cos1，故存在点 P 符合题意，即正确 四、解答题 17已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，且经过点 M3，12.(1)求椭圆 C 的方程；(2)与 x 轴不垂直的直线 l 经过 N(0，2)，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，若坐标原点 O 在以 AB 为直径的圆内，求直线 l 斜率的取值范围 解(1)由题意可得 3a214b21，

49、a2b2c2，ca32，解得 a2，b1，椭圆 C 的方程为x24y21.(2)设直线 l 的方程为 ykx 2，代入椭圆方程x24y21 整理可得(14k2)x28 2kx40，(8 2k)216(14k2)0，解得 k12或 k12.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，又 x1x28 2k14k2，x1x2414k2，y1y2k2x1x2 2k(x1x2)2.坐标原点 O 在以 AB 为直径的圆内，OAOB0，x1x2y1y2(1k2)x1x2 2k(x1x2)2(1k2)414k2 2k8 2k14k220，解得 k62.故直线 l 斜率的取值范围为，6262，.18(2020天津市

50、高三 6 月模拟)已知抛物线 C：y24 2x 的焦点为椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点，C 的准线与 E 交于 P，Q 两点，且|PQ|2.(1)求椭圆 E 的方程；(2)过椭圆 E 的左顶点 A 作直线 l 交 E 于另一点 B，且 BO(O 为坐标原点)的延长线交 E 于点 M，若直线 AM 的斜率为 1，求 l 的方程 解(1)由抛物线方程得，抛物线 C 的焦点 F 的坐标为(2，0)，准线方程为x 2，椭圆 E 的右焦点 F(2，0)，左焦点为 F(2，0)设椭圆 E 的半焦距为 c，依题意得 c 2，|PQ|2b2a2，a2b2c2，解得 a2，b 2.故所求椭圆 E