量子力学习题答案.pdf

《量子力学习题答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子力学习题答案.pdf（13页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2.1 如图所示 左 右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论（一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以 为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 （二）的情形 令,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为 由在右边波函数的有界性得 为零（1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反

2、射波，所以 为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 E 0 x 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示（1）左 中 右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成 由波函数归一化条件得 所以波函数 （2）左 中 右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当，为任意整数，则 当，为任意整数，则 综合得 当时，波函数 归一化后 当时，波

3、函数 归一化后 2.4 如图所示 左 中 右 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解为 由在右边波函数的有界性得为零 再由连续性条件，即由 得 则 得 得 除以得 再由公式 ,注意到 令,其中 ，不同n对应不同曲线,图中只画出了在的取值范围之内的部分 6 n=6 5 n=5 n=4 n=3 n=2 n=1 0 n=0 只能取限定的离散的几个值，则E也取限定的离散的几个值，对每个E，确定 归一化条件得 2.5 则该一维谐振子的波函数的定态薛定谔方程为 令 则上式可化成 令 则 只有当有解 2.6 由 和已知条件可得 第三章 3.1 能量本征值方程为 即 分离变

4、量法，令 则有 令 则 同理 令则 式中 能级简并度为 3.2 角动量算符 在极坐标系下 则 由能量本征值方程 令 其解为 由周期性得 归一化条件 则 3.4 由能量本征值方程 令 当 令 此时 满足的方程为 时 时 只考虑时 令 其解分别为 由波函数有界性 得 由波函数连续性 得 再由公式 ,注意到 令,其中 ，不同n对应不同曲线,图中只画出了在的取值范围之内的部分 6 n=6 5 n=5 n=4 n=3 n=2 n=1 0 n=0 只能取限定的离散的几个值，则 E 也取限定的离散的几个值，对每个 E，确定 归一化条件得1 可求得 3.5 同理 方差算符 则 由测不准关系 代入，验证该式是成

5、立的 第四章 4.1 在动量表象中 ，则 代入 得 令 得 则 归一化后的 4.5 本征方程的矩阵形式 上式存在非零解的条件是 即 解得 当 再由 得 当 ，同样 第六章 6.3 解：在zS 表象，nS的矩阵元为 cos10012cos002cos01102iiSn coscoscoscoscoscos2iiSn 其相应的久期方程为 0cos2)cos(cos2)cos(cos2cos2ii 即0)cos(cos4cos4222222 0422 )1coscoscos(222利用 2 所以nS的本征值为2。设对应于2nS的本征函数的矩阵表示为baSn)(21，则 babaii2coscosco

6、scoscoscos2 bbiacos)cos(cos cos1coscosib 由归一化条件，得22*),(12121bababa 1cos1coscos222aia 1cos122a )cos1(2coscos1cos1)(21iSn 2121)cos1(2coscos2cos110)cos1(2coscos012cos1)(21iiSn 同理可求得 对应于2nS的本征函数为 )cos1(2coscos2cos1)(21iSn 6.1 设在的表象下的本征函数为 ，本征值为，在的表象下的本征函数为，本征值为 由在的表象下的矩阵得 方程有非零解的条件为det=0，即，的本征值、本征函数有两个

7、当时，代入得 由波函数归一化条件得 有 同理 由在的表象下的矩阵得 方程有非零解的条件为det=0，即，的本征值、本征函数有两个 当时，代入得 由波函数归一化条件得 有 同理 6.3 节的证明题 在中心场问题中（即氢原子中电子的状态）（1）当无自旋动量距与轨道动量矩的耦合（即存在 算符与 算符的相乘项）电子的哈密顿量为 求其本征值时转化为球坐标系下的方程 则方程左边可分解为三维表象下的三个方程，三个表象下各自的波函数相乘即是 的本征函数。表象下是阶连带拉盖尔多项式，记作算符的本征值 表象下的方程显示的对的作用关系即是算符 是球谐函数，是与的共同本征函数 表象下是 其本征函数为 主量子数 角量子

8、数 轨道量子数 自旋量子数（2）当存在自旋动量距与轨道动量矩的耦合 电子的哈密顿量为 同样求其本征值时转化为球坐标系下的方程 表象下也是阶连带拉盖尔多项式 表象下的方程显示的对 的作用关系即是总动量矩算符 ，是属于不同自由度的，分别为其分量 类似于在轨道角动量矩的性质，具有共同本征函数 下面先求 的本征函数 1 的本征函数为球谐函数 的本征函数为 则 的本征函数为，显然 的简并度为 属于本征值的本征函数可表示为 通过，确定可得表象下的本征函数 2 在表象下 由求得（以下只要记住就行）时 时 至此该情况下的本征函数为 主量子数 角量子数 磁量子数 内量子数 量子力学全书重点 1.量子力学三大作用

9、：奠基作用、渗透作用、设计作用 2.量子力学中粒子的特点 单一粒子具有波粒二象性 多粒子体系具有全同性 3.量子力学的三大原理：态叠加原理：若波函数，是描述粒子的一些可能态，则这些波函数线性叠加得到的也是描述粒子的可能态 测不准原理：对于任意两个不可对易的力学量算符，设其满足，则有 对于时间与能量 全同性原理：全同系的状态不因交换两个粒子而改变，其运动状态只能用对称或反对称的波函数来描述 4.量子力学的三大概率 分布概率 跃迁概率 散射概率 5.量子力学的三大景象 薛定谔景象 随时间变化，不变 海森伯景象 取时刻，含时 互作用景象（狄拉克景象）6.量子力学的三大方程 薛定谔方程：含时形式：定态

10、形式：海森伯方程 泡利方程 7.波函数 物理含义：描述微观物体的运动状态，是 描述的粒子在体积元内出现的概率 性质：连续性，有界性，单值性，归一性 厄米算符 线性条件：厄米条件：本征函数:正交归一性、完备性 具有完备的共同本征函数：两算符必须对易 力学量的完备集合 1.力学量的数目至少等于系统的自由度 2.这一组力学量必须两两对易 3.这一组力学量必须相互独立 8.常见力学量算符 9.力学量的表象与矩阵力学P122 10.自旋 电子自旋的两个假设 1.每个电子都有自旋动量距，在空间任意方向上只能取两个值 2.自旋磁距 泡利矩阵 自旋波函数 P176 6.30 式 11.双粒子系下波函数的形式P205，P206 12.散射截面