一维波动方程的达郎贝尔公式.pdf

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1、 数理方程 学院：制冷及低温工程 姓名：赵瑞昌 学号：120160159 一维波动方程的达郎贝尔公式 1 达郎贝尔公式 在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无限长弦的自由振动问题)(|),(|0,0022222xtuxutxxuatutt 作自变量的代换 atxatx 利用复合函数的微分法有：uauatu )2(22222222uuuatu 同理有：22222222uuuxu 将化为：02u并将它两端对进行积分得：)(0fu 其中)(0f是的任意函数，再将此式对积分)()()()(),(2120fffdftxu)()

2、(21atxfatxf 其中21ff、是任意两次连线可微函数，式即为方程的含有两个任意函数的通解。由初始条件可得：)()()(21xxfxf)()()(21xxfxaf 通过积分可得：atxatxdaatxatxtxu)(21)()(21),(称此式为一维波动方程的达郎贝尔公式。2 解的物理意义 由于波动方程的通解是两部分)(1atxf与)(2atxf。)(22atxfu表示了以速度a向x轴正方向传播的行波，称为右行波。同理，)(11atxfu表示了以速度a向x轴负方向传播的行波，称为左行波。由达郎贝尔公式，解在点),(tx的值由初始条件在区间,atxatx内的值决定，称区间,atxatx为点

3、),(tx的依赖区域，在tx平面上，它可看作是过点),(tx，斜率分别a1 为的两条直线在x轴上截得的区间。这里要掌握半无限长弦的自由振动问题和一维非齐次波动方程的柯西问题的解。3 半限长弦的自由振动问题 定解问题)10.4()(|),(|)9.4(0|)8.40,000022222（，xtuxuuxtxuatutxx 用延拓法求解，注意边界条件（4.9），采用奇延拓。令 0),(0,)()(xxxxx 0),(0,)()(xxxxx 考虑定解问题，)(|),(|0,0022222xtuxutxxuatutx 它的解可由达郎贝尔公式得：atxatxdaatxatxtxU)(21)()(21),

4、(。4 一维非齐次波动方程的柯西问题 定解问题)12.4()(|),(|)11.4(0,),(0022222，xtuxutxtxfxuatutx 令),(),(),(txVtxUtxu，可将此定解分解成下面两个定解问题：(I)，)(|),(|0,0022222xtuxutxxuatutx(II)，0|,0|0,),(0022222txtuutxtxfxuatu 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出：atxatxdaatxatxtxU)(21)()(21),(。对于问题(II)，有下面重要的定理。定理（齐次化原理）设),(tx是柯西问题，),(|,0|22222xfttxattx 的解)0(，

5、则tdtxtxV0),(),(是问题(II)的解。二 三维波动方程的柯西问题 1 三维波动方程的泊松公式 考虑三维波动方程的柯西问题 )18.4(),(|),(|4.17(0,)(00222222222）zyxtuzyxutzyxzuyuxuatutt(1)三维波动方程的球对称解 如果将三维波动方程的空间坐标用球坐标表示，则波动方程化为：2222222sin1)(sinsin1)(1ururrurrr=）（19.41222tua 如果波函数u与，变量无关，而只与变量tr,有关，即u是所谓球对称的，这时式可简化为：)(122rurrr=2221tua)2(22222rururatu 即有：222

6、22)()(rruatru。这是关于的一维波动方程，其通解为：)()(),(21atrfatrftrru 从而)()(1),(21atrfatrfrtrru即得到三维波动方程关于原点为球对称的解。(2)三维波动方程的泊松公式)18.4(),(|),(|4.17(0,)(00222222222）zyxtuzyxutzyxzuyuxuatutt 的解为：),(tzyxuta 41dsatMatS),(a41dsatMatS),(，称它为三维波动方程柯西问题的泊松公式。这里要求掌握三维波动方程柯西问题的泊松公式的推导过程。2 降维法 利用三维波动方程柯西问题的泊松公式来导出二维波动方程柯西问题的解。这种利用高维问题的解推导低维问题的方法称之为降维法。二维波动方程的柯西的问题：),(|),(|0,)(002222222yxtuyxutzyxyuxuatutt 令),(),(_zyxuzyxu，将上式的解视为特殊的三维问题，最后得到问题的解为：MatCddyxattatyxu222)()()(),(21),(+MatCddyxatta222)()()(),(21 称此式为二维波动方程柯西问题的泊松公式。随了掌握这个公式，还要掌握这个公式的物理意义。